Integral exponencial

En matemáticas, la exponencial integral Ei es una función especial en el plano complejo.

Se define como una integral definida particular de la relación entre una función exponencial y su argumento.

Definiciones

Para valores reales distintos de cero de x, la integral exponencial Ei(x) se define como

${displaystyle operatorname {Ei} (x)=-int ¿Qué?$

El algoritmo de Risch muestra que Ei no es una función elemental. La definición anterior se puede utilizar para valores positivos de x, pero la integral debe entenderse en términos del valor principal de Cauchy debido a la singularidad del integrando en cero.

Para valores complejos del argumento, la definición se vuelve ambigua debido a puntos de rama en 0 y ${displaystyle infty }$. En lugar de Ei, se utiliza la siguiente notación,

${displaystyle E_{1}(z)=int _{z}{infty }{frac {-t}{t}}},dt,qquad Н{rm {Arg} {rm} {cHFF} {i} {cHFF}} {cH00}}} {cH00}}} {cH00}}f}}}}}}}f}}f}f}f}f}f}f}cH00}cH00}cH00}$

Para valores positivosx, tenemos ${displaystyle -E_{1}(x)=operatorname {Ei} (-x)}$.

En general, un corte de rama se toma en el eje real negativo y E₁ puede definirse mediante una continuación analítica en cualquier otra parte del plano complejo.

Para valores positivos de la parte real de ${displaystyle z}$, esto puede ser escrito

${displaystyle E_{1}(z)=int _{1}{infty }{frac {e^{-tz}{t}},dt=int ¿Qué? {e^{-z/u} {u},du,qquad Re (z)geq 0.}$

El comportamiento de E₁ cerca del corte de la rama se puede ver mediante la siguiente relación:

${displaystyle lim _{delta to 0+}E_{1}(-xpm idelta)=-operatorname {Ei} (x)mp ipiqquad x confianza0.}$

Propiedades

Varias propiedades de la integral exponencial a continuación, en ciertos casos, permiten evitar su evaluación explícita a través de la definición anterior.

Serie convergente

Para argumentos reales o complejos fuera del eje real negativo, ${displaystyle E_{1}(z)}$ se puede expresar como

${displaystyle E_{1}(z)=-gamma - ¿Qué? (left sometidaoperatorname {Arg} (z)right sobreviviópi)}$

Donde ${displaystyle gamma }$ es la constante Euler-Mascheroni. La suma converge para todo complejo ${displaystyle z}$, y tomamos el valor habitual del logaritmo complejo que tiene una rama cortada a lo largo del eje real negativo.

Esta fórmula se puede utilizar para calcular ${displaystyle E_{1}(x)}$ con operaciones de punto flotante para real ${displaystyle x}$ entre 0 y 2.5. Para ${displaystyle x título2.5}$, el resultado es inexacto debido a la cancelación.

Ramanujan encontró una serie convergente más rápida:

$[displaystyle {rm {rm}(x)=gamma +ln x+exp {(x/2)}sum _{n=1}{infty }{frac {(-1)^{n-1}x}{n}{n}{n}}}sum}}} ¿Por qué?$

Estas series alternas también se pueden utilizar para dar buenos límites asintóticos para x pequeña, por ejemplo:

${displaystyle 1-{frac {3x}{4}leq {rm {}(x)-gamma -ln xleq 1-{frac {3x}{4}}+{frac {11x^{2}{36}}} {f}} {f}} {f}} {f}}}} {f}}}}} {f}}}} {f}}}}}} {f}} {f}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\$

para ${displaystyle xgeq 0}$.

Series asintóticas (divergentes)

Lamentablemente, la convergencia de la serie anterior es lenta para los argumentos de mayor módulo. Por ejemplo, se requieren más de 40 términos para obtener una respuesta correcta a tres cifras significativas para ${displaystyle E_{1}(10)}$. Sin embargo, para valores positivos de x, hay una aproximación de serie divergente que se puede obtener mediante la integración ${displaystyle xe^{x}E_{1}(x)}$ por partes:

${displaystyle E_{1}(x)={frac {exp(-x)}{x}left(sum) ¿Por qué? ¡Sí!$

El error relativo de la aproximación anterior se trama en la figura a la derecha para diversos valores de ${displaystyle N}$, el número de términos en la suma truncada (${displaystyle N=1}$ en rojo, ${displaystyle N=5}$ en rosa).

Asintóticas más allá de todos los órdenes

Utilizando la integración por partes podemos obtener una fórmula explícita

$${displaystyle operatorname {Ei} (z)={frac {e^{z}{z}left(sum) ¿Por qué? {k!}{k}}+e_{n}(z)right),quad e_{n}(z)equiv (n+1)! ¿Qué?$$

${displaystyle z}$

${displaystyle Silencio_{n}(z)$

${displaystyle nsim ANTERITORIO$

${displaystyle vert e_{n}(z)vert leq {sqrt {frac {2pi - ¿Qué?$

Comportamiento exponencial y logarítmico: bracketing

De las dos series sugeridas en subsecciones anteriores, sigue que ${displaystyle E_{1}$ se comporta como un exponencial negativo para grandes valores del argumento y como un logaritmo para pequeños valores. Para valores reales positivos del argumento, ${displaystyle E_{1}$ puede ser entre corchete por funciones elementales como sigue:

${displaystyle {frac {1}{2}}}e^{-x},ln !left(1+{frac {2}{x}}right) seleccionE_{1}(x) seleccione^{-x},ln !left(1+{frac {1}{x}right)qquad x}$