Integral de superficie

En matemáticas, particularmente en cálculo multivariable, una integral de superficie es una generalización de integrales múltiples para la integración de superficies. Puede considerarse como la integral doble análoga a la integral de línea. Dada una superficie, se puede integrar un campo escalar (es decir, una función de posición que devuelve un escalar como valor) sobre la superficie, o un campo vectorial (es decir, una función que devuelve un vector como valor). Si una región R no es plana, entonces se llama superficie, como se muestra en la ilustración.

Las integrales de superficie tienen aplicaciones en física, particularmente en las teorías del electromagnetismo clásico.

Integrales de superficie de campos escalares

Supongamos que f es un campo escalar, vectorial o tensor definido en una superficie S. Para encontrar una fórmula explícita para la integral de superficie de f sobre S, necesitamos parametrizar S definiendo un sistema de coordenadas curvilíneas en S, como la latitud y longitud de una esfera. Sea dicha parametrización r(s, t), donde (s, t) varía en alguna región T en el avión. Entonces, la integral de superficie está dada por

${displaystyle iint _{S}f,mathrm {d} S=iint _{T}f(mathbf {r} (s,t)left{partial mathbf {r} over partial stime {partial mathbf {r} over partial t} {m}$

donde la expresión entre barras del lado derecho es la magnitud del producto cruzado de las derivadas parciales de r(s, t), y se conoce como elemento de superficie (que, por ejemplo, produciría un valor menor cerca de los polos de una esfera. donde las líneas de longitud convergen más dramáticamente, y las coordenadas latitudinales están espaciadas más compactamente). La integral de superficie también se puede expresar en la forma equivalente

${displaystyle iint _{S}f,mathrm {d} S=iint _{T}f(mathbf {r} (s,t){sqrt {g},mathrm {d} s,mathrm {d} t} t}$

donde g es el determinante de la primera forma fundamental del mapeo de superficie r(s, t).

Por ejemplo, si queremos encontrar el área de superficie de la gráfica de alguna función escalar, digamos z = f(< i>x, y), tenemos

${displaystyle A=iint _{S},mathbf {r} over partial x}times {partial mathbf {r} over partial x}times {partial mathbf {r} over partial y}rightPrincipum {d} x,mathrm {d} y}$

Donde r =x, Sí., z) =x, Sí., f()x, Sí.). Así que... ${displaystyle {partial mathbf {r} over partial x}=(1,0,f_{x}(x,y)}$, y ${displaystyle {partial mathbf {r} over partial y}=(0,1,f_{y}(x,y)}$. Entonces,

${displaystyle {begin{aligned}A paciente{}=iint _{T}leftleft(1,0,{partial f over partial x}right)times left(0,1,{partial f over partial y}right)justcolm {d} x,mathrmd} Y\\\\\\\\\\\\\\cH3}=iint ¿Por qué? Y\cHFF}iint _{T}{sqrt {left({partial f over partial x}right)^{2}+left({partial f over partial y}right)^{2}+1},,mathrm {d} x,mathrm {d} yend{d} {} {}}}}}}}}}}iint}iint}iint}iint}iint}iint}}iint}iint}iint}iint}iint}iint}iint}i}i}iint}iint}iint}iint}iint}iint}iint}iint}iint}iint}iint}iint}iint}iint}iint}}iint}i}iint}iint}iint}iint}$

que es la fórmula estándar para el área de una superficie descrita de esta manera. Se puede reconocer el vector en la penúltima línea de arriba como el vector normal a la superficie.

Debido a la presencia del producto cruzado, las fórmulas anteriores solo funcionan para superficies incrustadas en un espacio tridimensional.

Esto puede verse como la integración de una forma de volumen de Riemann en la superficie parametrizada, donde el tensor métrico viene dado por la primera forma fundamental de la superficie.

Integrales de superficie de campos vectoriales

Una superficie curvada ${displaystyle S.$ con un campo vectorial ${displaystyle mathbf {F}$ pasando por ella. Las flechas rojas (vectores) representan la magnitud y dirección del campo en varios puntos sobre la superficie

Superficie dividida en pequeños parches ${displaystyle dS=du,dv}$ por una parametrización de la superficie ${displaystyle [u(mathbf {x}),v(mathbf {x})}$

El flujo a través de cada parche es igual al componente normal (perpendicular) del campo ${displaystyle F_{n}(mathbf {x})=F(mathbf {x})cos theta }$ en la ubicación del parche ${displaystyle mathbf {x}$ multiplicado por el área ${displaystyle dS}$. El componente normal es igual al producto de puntos ${displaystyle mathbf {F} (mathbf {x})}$ con el vector normal de la unidad ${displaystyle mathbf {n} (mathbf {x})}$ (flechas azules)

El flujo total a través de la superficie se encuentra añadiendo ${displaystyle mathbf {F} cdot mathbf {n} ;dS}$ para cada parche. En el límite a medida que los parches se vuelven infinitamente pequeños, esta es la superficie integral
${textstyle int ¿Qué?$

Considere un campo vectorial v en una superficie S, es decir, para cada r = (x, y, z) en S, v(r) es un vector.

La integral de v en S se definió en la sección anterior. Supongamos ahora que se desea integrar sólo la componente normal del campo vectorial sobre la superficie, siendo el resultado un escalar, generalmente llamado flujo que pasa a través de la superficie. Por ejemplo, imagine que tenemos un fluido que fluye a través de S, de modo que v(r) determina la velocidad del fluido en r. El flujo se define como la cantidad de fluido que fluye a través de S por unidad de tiempo.

Esta ilustración implica que si el campo vectorial es tangente a S en cada punto, entonces el flujo es cero porque el fluido fluye en paralelo a SY ni dentro ni fuera. Esto también implica que si v no sólo fluye S, eso es, si v tiene un componente tangencial y normal, entonces sólo el componente normal contribuye al flujo. Basado en este razonamiento, para encontrar el flujo, necesitamos tomar el producto del punto v con la superficie de la unidad normal n a S en cada punto, que nos dará un campo de escalar, e integrar el campo obtenido como arriba. En otras palabras, tenemos que integrar v con respecto al elemento de superficie vectorial ${displaystyle mathrm {d} mathbf {s} ={mathbf {n} }mathrm {d} s}$, que es el vector normal S en el momento dado, cuya magnitud es ${displaystyle mathrm {d} s=fncipemathrm {d} {fnMitbf} } 'sobreviviente.$

Encontramos la fórmula

${displaystyle {begin{aligned}iint ¿Qué? }cdot mathrm {d} {mathbf {s} {f} {f} {f} {f} {f}f}f} {f} {f}} {f} {f}f} {f}f}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}}f}f}f}f} {f} {f}f}f} {f} {f}f}f}f}f}f}}f}}f}}f}f}}p}}pnMinMinMinMit}}f}f} {f}f}f}f} {f}}}}}f}f}f}f}}f}f}f}}}}}}f}} {fnMicrosoft Sans Serif} t.end{aligned}}$

El producto vectorial en el lado derecho de esta expresión es una superficie normal (no necesariamente unital) determinada por la parametrización.

Esta fórmula definida la integral de la izquierda (tenga en cuenta el punto y la notación vectorial para el elemento de superficie).

También podemos interpretar esto como un caso especial de integración de 2 formas, donde identificamos el campo vectorial con una forma 1 y luego integramos su Hodge dual sobre la superficie. Esto es equivalente a la integración ${displaystyle leftlangle mathbf {v}mathbf {n} rightrangle mathrm {d} S}$ sobre la superficie inmersa, donde ${displaystyle mathrm {d} S}$ es la forma de volumen inducida en la superficie, obtenida por multiplicación interior de la métrica Riemanniana del espacio ambiente con la normalidad exterior de la superficie.

Integrales de superficie de 2 formas diferenciales

Dejar

${displaystyle f=f_{z},mathrm {d} xwedge mathrm {d} y+f_{x},mathrm {d} ywedge mathrm {d} z+f_{y},mathrm {d} zwedge mathrm {d} x}$

ser una forma diferencial 2 definida en una superficie S, y sea

${displaystyle mathbf {r} (s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t)}$

ser una orientación que preserva la parametrización S con ${displaystyle (s,t)}$ dentro D. Cambio de coordenadas desde ${displaystyle (x,y)}$ a ${displaystyle (s,t)}$, las formas diferenciales se transforman como

${displaystyle mathrm {d} x={frac {partial x}{partial s}mathrm {d} s+{frac {partial x}{partial t}mathrm {d} t} t}$

${displaystyle mathrm {d}y={frac {partial y}{partial s}mathrm {d} s+{frac {partial y}{partial t}mathrm {d} t} t} t}$

Así que... ${displaystyle mathrm {d} xwedge mathrm {d} y}$ transformaciones a ${displaystyle {frac {partial (x,y)}{partial (s,t)}mathrm {d} swedge mathrm {d} t}$, donde ${displaystyle {frac {partial (x,y)}{partial (s,t)}}}$ denota el determinante del Jacobiano de la función de transición ${displaystyle (s,t)}$ a ${displaystyle (x,y)}$. La transformación de las otras formas es similar.

Entonces, la integral de superficie de f en S está dada por

${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {f} {f} {m} {f} {m} {f}} {m} {f}m} {cH0}} {cH00}} {f}cH00} {cH00}cH00}}cH00}}}}}}ccH00ccH00cH00}cccH00cH00cH00}cH00cH00cH00cH00}cH00cH00cH00cccH00}}}cH00}}cH00}}}cH00}ccH00cH00cH00}cH00}cH00}cH00cH00}cH00cH00cH00}}cccH$

dónde

${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {c} {fnMicrosoft Sans Serif} {f}} {f}}} {f}} {f}f}}}}f}f}f}f}}fnMicrom} {f} {f}f} {f} {fnMicros}}}}}}}}}}}f}f}}}}}f} {f} {f}}}} {f}}f} {fnMinMinMinMinMis}}}fnMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMi$

es el elemento de superficie normal a S.

Tengamos en cuenta que la superficie integral de esta forma 2 es la misma que la superficie integral del campo vectorial que tiene como componentes ${displaystyle f_{x}$, ${displaystyle f_{y}$ y ${displaystyle f_{z}$.

Teoremas que involucran integrales de superficie

Se pueden derivar varios resultados útiles para integrales de superficie utilizando geometría diferencial y cálculo vectorial, como el teorema de divergencia y su generalización, según Stokes. teorema.

Dependencia de la parametrización

Observemos que definimos la integral de superficie utilizando una parametrización de la superficie S. Sabemos que una superficie determinada puede tener varias parametrizaciones. Por ejemplo, si movemos las ubicaciones del Polo Norte y el Polo Sur en una esfera, la latitud y la longitud cambian para todos los puntos de la esfera. Una pregunta natural es entonces si la definición de la integral de superficie depende de la parametrización elegida. Para integrales de campos escalares, la respuesta a esta pregunta es sencilla; el valor de la integral de superficie será el mismo sin importar qué parametrización se utilice.

Para integrales de campos vectoriales, las cosas son más complicadas porque está involucrada la normal a la superficie. Se puede demostrar que dadas dos parametrizaciones de la misma superficie, cuyas normales a la superficie apuntan en la misma dirección, se obtiene el mismo valor para la integral de superficie con ambas parametrizaciones. Sin embargo, si las normales para estas parametrizaciones apuntan en direcciones opuestas, el valor de la integral de superficie obtenida usando una parametrización es el negativo del obtenido mediante la otra parametrización. De ello se deduce que, dada una superficie, no necesitamos ceñirnos a ninguna parametrización única, pero, al integrar campos vectoriales, sí necesitamos decidir de antemano en qué dirección apuntará la normal y luego elegir cualquier parametrización consistente con esa dirección.

Otro problema es que a veces las superficies no tienen parametrizaciones que cubran toda la superficie. La solución obvia es entonces dividir esa superficie en varias partes, calcular la integral de superficie en cada pieza y luego sumarlas todas. De hecho, así es como funcionan las cosas, pero al integrar campos vectoriales, uno debe volver a tener cuidado al elegir el vector que apunta normal para cada pieza de la superficie, de modo que cuando las piezas se vuelvan a juntar, los resultados sean consistentes. Para el cilindro, esto significa que si decidimos que para la región lateral la normal apuntará hacia afuera del cuerpo, entonces para las partes circulares superior e inferior, la normal también debe apuntar hacia afuera del cuerpo.

Por último, hay superficies que no admiten una superficie normal en cada punto con resultados consistentes (por ejemplo, la tira de Möbius). Si dicha superficie se divide en pedazos, en cada pedazo se elige una parametrización y la normal de superficie correspondiente, y las piezas se vuelven a juntar, encontraremos que los vectores normales provenientes de diferentes pedazos no se pueden conciliar. Esto significa que en algún cruce entre dos piezas tendremos vectores normales apuntando en direcciones opuestas. Una superficie de este tipo se denomina no orientable y, en este tipo de superficie, no se puede hablar de integración de campos vectoriales.