Infinito real

En la filosofía de las matemáticas, la abstracción del infinito real implica la aceptación (si se incluye el axioma del infinito) de entidades infinitas como objetos dados, reales y completos. Estos pueden incluir el conjunto de números naturales, números reales extendidos, números transfinitos o incluso una secuencia infinita de números racionales. El infinito real debe contrastarse con el infinito potencial, en el que un proceso que no termina (como "sumar 1 al número anterior") produce una secuencia sin último elemento, y donde cada resultado individual es finito y se logra en un número finito de pasos. Como resultado, el infinito potencial a menudo se formaliza utilizando el concepto de límite.

Anaximandro

El antiguo término griego para el infinito potencial o impropio era apeiron (ilimitado o indefinido), en contraste con el aphorismenon infinito real o propio. Apeiron se opone a lo que tiene un peras (límite). Estas nociones se denotan hoy por potencialmente infinitas y actualmente infinitas, respectivamente.

Anaximandro (610–546 a. C.) sostenía que el apeiron era el principio o elemento principal que componía todas las cosas. Claramente, el 'apeiron' era una especie de sustancia básica. La noción de Platón del apeiron es más abstracta y tiene que ver con la variabilidad indefinida. Los principales diálogos donde Platón discute el 'apeiron' son los diálogos tardíos Parménides y el Filebo.

Aristóteles

Aristóteles resume las opiniones de sus predecesores sobre el infinito de la siguiente manera:

"Sólo los pitagóricos colocan el infinito entre los objetos del sentido (no consideran el número como separable de éstos), y afirman que lo que está fuera del cielo es infinito. Plato, por otro lado, sostiene que no hay cuerpo fuera (las Formas no están fuera porque no están en ninguna parte), sin embargo que el infinito está presente no sólo en los objetos del sentido, sino también en las Formas". (Aristotle)

El tema fue planteado por la consideración de Aristóteles del apeiron, en el contexto de las matemáticas y la física (el estudio de la naturaleza):

"El infinito resulta ser lo opuesto a lo que la gente dice que es. No es 'lo que no tiene nada más allá de sí mismo' que es infinito, sino 'lo que siempre tiene algo más allá de sí mismo'." (Aristotle)

La creencia en la existencia del infinito proviene principalmente de cinco consideraciones:

1. De la naturaleza del tiempo – porque es infinita.
2. De la división de magnitudes – para los matemáticos también usan la noción del infinito.
3. Si llegar a ser y pasar no dan, es sólo porque aquello de lo que viene a ser es infinito.
4. Porque el limitado siempre encuentra su límite en algo, para que no haya límite, si todo está siempre limitado por algo diferente de sí mismo.
5. La mayoría de todo, una razón que es peculiarmente apropiada y presenta la dificultad que siente todo el mundo – no sólo número sino también magnitudes matemáticas y lo que está fuera del cielo se supone que es infinito porque nunca dan en nuestro pensamiento. (Aristotle)

Aristóteles postuló que un infinito real era imposible, porque si fuera posible, entonces algo habría alcanzado una magnitud infinita y sería "más grande que los cielos". Sin embargo, dijo, las matemáticas relacionadas con el infinito no estaban privadas de su aplicabilidad por esta imposibilidad, porque los matemáticos no necesitaban el infinito para sus teoremas, solo una magnitud finita y arbitrariamente grande.

La distinción entre potencial y realidad de Aristóteles

Aristóteles manejó el tema del infinito en Física y en Metafísica. Distinguió entre el infinito real y el potencial. El infinito real es completo y definido, y consta de infinitos elementos. El infinito potencial nunca es completo: siempre se pueden sumar elementos, pero nunca una cantidad infinita.

"Por lo general el infinito tiene este modo de existencia: una cosa siempre se toma después de otra, y cada cosa que se toma es siempre finita, pero siempre diferente."

—Aristóteles, Física, libro 3, capítulo 6.

Aristóteles distinguía entre el infinito con respecto a la suma y la división.

Pero Platón tiene dos infinitos, el Grande y el Pequeño.

—Física, libro 3, capítulo 4.

"Como ejemplo de una serie potencialmente infinita respecto al aumento, siempre se puede añadir un número después de otro en la serie que comienza 1,2,3,... pero el proceso de añadir más y más números no se puede agotar o completar."

Con respecto a la división, podría comenzar una secuencia potencialmente infinita de divisiones, por ejemplo, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, pero el proceso de división no puede agotarse ni completarse.

"Por el hecho de que el proceso de división nunca llega a un fin asegura que esta actividad existe potencialmente, pero no que el infinito existe por separado."

—Metafísica, libro 9, capítulo 6.

Aristóteles también argumentó que los matemáticos griegos conocían la diferencia entre el infinito real y el potencial, pero que "no necesitan el infinito [real] y no lo usan" (Phys. III 2079 29).

Pensadores escolásticos, renacentistas e ilustrados

La gran mayoría de los filósofos escolásticos se adhirieron al lema Infinitum actu non datur. Esto significa que solo hay un infinito potencial (en desarrollo, impropio, "sincategoremático") pero no un real (fijo, propio, "categoremático") infinito. Sin embargo, hubo excepciones, por ejemplo en Inglaterra.

Es bien sabido que en la Edad Media todos los filósofos escolásticos abogan por el "infinitum actu non datur" de Aristóteles como un principio irrefutable. (G. Cantor)

El infinito real existe en número, tiempo y cantidad. (J. Baconthorpe [9, pág. 96])

Durante el Renacimiento y los primeros tiempos modernos, las voces a favor del infinito real eran bastante raras.

El continuum en realidad consiste en infinitamente muchos indivisibles (G. Galilei [9, p. 97])

Estoy tan a favor del infinito real. (G.W. Leibniz [9, pág. 97])

Sin embargo, la mayoría de los pensadores premodernos coincidieron con la conocida cita de Gauss:

Protesto contra el uso de la magnitud infinita como algo completado, que nunca es permisible en las matemáticas. El infinito es simplemente una manera de hablar, el verdadero significado es un límite que ciertos ratios se acercan indefinidamente, mientras que otros se permiten aumentar sin restricción. (C.F. Gauss [en una carta a Schumacher, 12 de julio de 1831])

Era moderna

Ahora se acepta comúnmente el infinito real. El cambio drástico fue inicializado por Bolzano y Cantor en el siglo XIX.

Bernard Bolzano, quien introdujo la noción de conjunto (en alemán: Menge), y Georg Cantor, quien introdujo la teoría de conjuntos, se opusieron a la actitud general. Cantor distinguió tres reinos de la infinidad: (1) la infinidad de Dios (a la que llamó 'absolutum'), (2) la infinidad de la realidad (a la que llamó 'naturaleza') y (3) los números transfinitos y conjuntos de matemáticas.

Una multitud que es más grande que cualquier multitud finita, es decir, una multitud con la propiedad que cada conjunto finito [de los miembros del tipo en cuestión] es sólo una parte de ella, llamaré una multitud infinita. (B. Bolzano [2, pág. 6])

En consecuencia, distingo un infinito eterno o absolutum, que es debido a Dios y sus atributos, y un infinito creado o transfinitum, que tiene que ser utilizado dondequiera en la naturaleza creada un infinito real tiene que ser notado, por ejemplo, con respecto a, según mi convicción firme, el número realmente infinito de individuos creados, en el universo así como en nuestra tierra y, más probablemente, incluso en cada espacio arbitrariamente pequeño. (Georg Cantor) (G. Cantor [8, pág. 252])

Los números son una creación libre de la mente humana. (R. Dedekind [3a, pág. III])

Una prueba se basa en la noción de Dios. En primer lugar, desde la perfección más alta de Dios, inferimos la posibilidad de la creación del transfinito, entonces, de su toda gracia y esplendor, inferimos la necesidad de que la creación del transfinito de hecho haya ocurrido. (G. Cantor [3, pág. 400])

Cantor distinguió dos tipos de infinito actual; lo transfinito y lo absoluto, sobre lo cual afirmó:

Estos conceptos deben ser estrictamente diferenciados, en la medida en que el primero es, para estar seguros, infinito, pero capaz de aumento, mientras que este último es incapaz de aumentar y, por consiguiente, indeterminable como un concepto matemático. Este error que encontramos, por ejemplo, en Panteísmo. (G. Cantor, Über verschiedene Standpunkte in bezug auf das aktuelle Unendliche, dentro Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, págs. 375 y 378)

Práctica matemática actual

El infinito real es ahora comúnmente aceptado, porque los matemáticos han aprendido a construir declaraciones algebraicas utilizando. Por ejemplo, uno puede escribir un símbolo, ${displaystyle omega }$, con la descripción verbal que "${displaystyle omega }$ significa el infinito completo (contable). Este símbolo se puede añadir como un elemento ur a cualquier conjunto. Uno también puede proporcionar axiomas que definen la adición, la multiplicación y la desigualdad; específicamente, ordinal aritmético, tal que expresiones como ${displaystyle n madeomega }$ se puede interpretar como "cualquier número natural es menor que el infinito completado". Incluso declaraciones "sentido común" como ${displaystyle omega = 0}$ son posibles y coherentes. La teoría está suficientemente desarrollada, que expresiones álgebraicas bastante complejas, como ${displaystyle omega ^{2}$, ${displaystyle omega ^{omega }$ e incluso ${displaystyle 2^{omega }$ se puede interpretar como expresiones algebraicas válidas, se puede dar una descripción verbal, y se puede utilizar en una amplia variedad de teoremas y afirmaciones de una manera consistente y significativa. La capacidad de definir los números ordinal de una manera consistente y significativa, hace que gran parte del debate se disuelva; cualquier opinión personal que uno pueda tener sobre la infinidad o la constructibilidad, la existencia de una rica teoría para trabajar con infinitos utilizando las herramientas de álgebra y lógica está claramente en la mano.

Oposición de la escuela Intuicionista

El significado matemático del término "real" en infinito actual es sinónimo de definido, completo, extendido o existencial, pero no debe confundirse con físicamente existente. La cuestión de si los números naturales o reales forman conjuntos definidos es, por lo tanto, independiente de la cuestión de si existen cosas infinitas físicamente en la naturaleza.

Los defensores del intuicionismo, desde Kronecker en adelante, rechazan la afirmación de que en realidad existen infinitos objetos o conjuntos matemáticos. En consecuencia, reconstruyen los fundamentos de las matemáticas de una manera que no asume la existencia de infinitos reales. Por otro lado, el análisis constructivo acepta la existencia del infinito completo de los números enteros.

Para los intuicionistas, el infinito se describe como potencial; los términos sinónimos de esta noción son convertirse o constructivo. Por ejemplo, Stephen Kleene describe la noción de una cinta de máquina de Turing como "una 'cinta' lineal, (potencialmente) infinita en ambas direcciones". Para acceder a la memoria en la cinta, una máquina de Turing mueve una cabeza de lectura a lo largo de ella en un número finito de pasos: por lo tanto, la cinta es solo "potencialmente" infinito, ya que — si bien siempre existe la posibilidad de dar otro paso — el infinito mismo nunca se alcanza realmente.

Los matemáticos generalmente aceptan infinitos reales. Georg Cantor es el matemático más significativo que defendió los infinitos reales, equiparando el Infinito Absoluto con Dios. Decidió que es posible que los números naturales y reales sean conjuntos definidos, y que si uno rechaza el axioma de la finitud euclidiana (que establece que las realidades, individualmente y en conjunto, son necesariamente finitas), entonces uno no está involucrado en ninguna contradicción..

La interpretación finitista convencional actual de los números ordinales y cardinales es que consisten en una colección de símbolos especiales y un lenguaje formal asociado, dentro de los cuales se pueden hacer declaraciones. Todas estas declaraciones son necesariamente de longitud finita. La solidez de las manipulaciones se basa únicamente en los principios básicos de un lenguaje formal: álgebras de términos, reescritura de términos, etc. De manera más abstracta, tanto la teoría del modelo (finito) como la teoría de la prueba ofrecen las herramientas necesarias para trabajar con infinitos. Uno no tiene que "creer" en el infinito para escribir expresiones algebraicamente válidas empleando símbolos para el infinito.

Teoría clásica de conjuntos

El problema filosófico del infinito real se refiere a si la noción es coherente y epistémicamente sólida.

La teoría clásica de conjuntos acepta la noción de infinitos reales y completos. Sin embargo, algunos filósofos finitistas de las matemáticas y constructivistas se oponen a la noción.

Si el número positivo n se hace infinitamente grande, la expresión 1/n va a la nada (o se hace infinitamente pequeño). En este sentido se habla del impropio o potencial infinito. En contraste agudo y claro, el conjunto que acaba de considerar es un conjunto infinito cerrado, fijado en sí mismo, que contiene infinitamente muchos elementos exactamente definidos (los números naturales) ninguno más y nada menos. (A. Fraenkel [4, pág. 6])

Así, la conquista del infinito real puede considerarse una expansión de nuestro horizonte científico no menos revolucionario que el sistema Copérnico o que la teoría de la relatividad, o incluso de la física cuántica y nuclear. (A. Fraenkel [4, pág. 245])

Para ver el universo de todos los conjuntos no como una entidad fija sino como una entidad capaz de "crecer", es decir, somos capaces de "producir" conjuntos más grandes y grandes. (A. Fraenkel et al. [5, pág. 118]

(Brouwer) sostiene que un verdadero continuum que no es desnumerable se puede obtener como un medio de libre desarrollo; es decir, además de los puntos que existen (están listos) debido a su definición por leyes, como e, pi, etc. otros puntos del continuum no están listos sino que se desarrollan como las llamadas secuencias de elección. (A. Fraenkel et al. [5, pág. 255])

Los intuitionistas rechazan la misma noción de una secuencia arbitraria de enteros, como denotar algo terminado y definido como ilegítimo. Tal secuencia se considera un objeto creciente sólo y no un objeto terminado. (A. Fraenkel et al. [5, pág. 236])

Hasta entonces, nadie imaginó la posibilidad de que las infinidades vengan en diferentes tamaños, y además, los matemáticos no tenían ningún uso para el "infinito real". Los argumentos usando el infinito, incluyendo el cálculo diferencial de Newton y Leibniz, no requieren el uso de conjuntos infinitos. (T. Jech [1])

Debido a los gigantescos esfuerzos simultáneos de Frege, Dedekind y Cantor, el infinito fue puesto en un trono y revelido en su triunfo total. En su vuelo atrevido, el infinito alcanzó las alturas vertiginosas del éxito. (D. Hilbert [6, pág. 169])

Una de las ramas más vigorosas y fructíferas de las matemáticas [...] un paraíso creado por Cantor desde el que nadie nos expulsará [...] la flor más admirable de la mente matemática y en conjunto uno de los logros destacados de la actividad puramente intelectual del hombre. (D. Hilbert on set theory [6])

Por último, volvamos a nuestro tema original, y sacamos la conclusión de todas nuestras reflexiones sobre el infinito. El resultado general es entonces: El infinito no se da cuenta. Tampoco está presente en la naturaleza ni es admisible como fundamento de nuestro pensamiento racional, una notable armonía entre el ser y el pensamiento. (D. Hilbert [6, 190])

Las totalidades infinitas no existen en ningún sentido de la palabra (es decir, realmente o idealmente). Más precisamente, cualquier mención, o mención pretendida, de sumas infinitas es, literalmente, sin sentido. (A. Robinson [10, pág. 507])

De hecho, creo que hay una necesidad real, en formalismo y en otros lugares, de vincular nuestra comprensión de las matemáticas con nuestra comprensión del mundo físico. (A. Robinson)

La gran meta-narrativa de Georg Cantor, Teoría de Conjunto, creada por él casi de una mano en el lapso de unos quince años, se asemeja a una pieza de arte alto más que una teoría científica. (Y. Manin [2])

Así, el exquisito minimalismo de los medios expresivos es utilizado por Cantor para lograr un objetivo sublime: entender el infinito, o más bien el infinito de los infinitos. (Y. Manin [3])

No hay infinidad real, que los cantorianos han olvidado y han estado atrapados por las contradicciones. (H. Poincaré [Les mathématiques et la logique III, Rev. métaphys. moral 14 (1906) pág. 316]

Cuando los objetos de discusión son entidades lingüísticas [...] entonces esa colección de entidades puede variar como resultado de un debate sobre ellas. Una consecuencia de esto es que los "números naturales" de hoy no son los mismos que los "números naturales" de ayer. (D. Isles [4])

Hay por lo menos dos maneras diferentes de ver los números: como un infinito completado y como un infinito incompleto... respecto a los números como un infinito incompleto ofrece una alternativa viable e interesante a los números como un infinito completo, que conduce a grandes simplificaciones en algunas áreas de matemáticas y que tiene fuertes conexiones con problemas de complejidad computacional. (E. Nelson [5])

Durante el renacimiento, especialmente con Bruno, transferencias de infinito reales de Dios al mundo. Los modelos mundiales finitos de la ciencia contemporánea muestran claramente cómo este poder de la idea del infinito real ha cesado con la física clásica (moderna). Bajo este aspecto, la inclusión de la infinidad real en las matemáticas, que comenzó explícitamente con G. Cantor sólo hacia finales del siglo pasado, parece desagradable. Dentro de la imagen intelectual general de nuestro siglo... la infinidad real da una impresión del anacronismo. (P. Lorenzen[6])