Identidad trigonométrica pitagórica

La identidad trigonométrica de Pitágoras, también llamada simplemente identidad pitagórica, es una identidad que expresa el teorema de Pitágoras en términos de funciones trigonométricas. Junto con las fórmulas de suma de ángulos, es una de las relaciones básicas entre las funciones seno y coseno.

La identidad es

${displaystyle sin ^{2}theta +cos ^{2}theta = 1.}$

Como siempre, ${displaystyle sin ^{2}theta }$ medios ${textstyle (sin theta)} {2}$.

pruebas y sus relaciones con el teorema de Pitágoras

Demostración basada en triángulos rectángulos

Todos los triángulos semejantes tienen la propiedad de que si seleccionamos el mismo ángulo en todos ellos, la proporción de los dos lados que definen el ángulo es la misma independientemente de qué triángulo similar se seleccione, independientemente de su tamaño real: las proporciones dependen sobre los tres ángulos, no sobre las longitudes de los lados. Así, para cualquiera de los triángulos rectángulos semejantes de la figura, la razón entre su lado horizontal y su hipotenusa es la misma, es decir, cos θ.

Las definiciones elementales de las funciones seno y coseno en términos de los lados de un triángulo rectángulo son:

${displaystyle sin theta ={frac {mathrm {opposite} }{mathrm {hypotenuse} }={frac {b}{c}}$

${displaystyle cos theta ={frac {mathrm {adjacent} }{mathrm {hypotenuse} }={frac {a}{c}}$

La identidad Pythagorean sigue escudriñando ambas definiciones arriba, y agregando; el lado izquierdo de la identidad entonces se convierte en

${displaystyle {frac {mathrm {opposite} ¿Qué?$

que por el teorema pitagórico es igual a 1. Esta definición es válida para todos los ángulos, debido a la definición de definición ${displaystyle x=cos theta }$ y ${displaystyle y=sin theta }$ para el círculo de la unidad y así ${displaystyle x=ccos theta }$ y ${displaystyle y=csin theta }$ para un círculo de radio c y reflejando nuestro triángulo en el eje y ${displaystyle a=x}$ y ${displaystyle b=y}$.

Alternativamente, se pueden emplear las identidades encontradas en simetría, desplazamientos y periodicidad trigonométrica. Por las identidades de periodicidad podemos decir si la fórmula es verdadera para −π < θ ≤ π entonces es cierto para todos los θ reales. A continuación demostramos la identidad en el rango π/2 < θ ≤ π, para hacer esto dejamos t = θ − π/2, t ahora estará en el rango 0 < t ≤ π/2. Luego podemos hacer uso de versiones al cuadrado de algunas identidades de desplazamiento básicas (el cuadrado elimina convenientemente los signos menos):

${displaystyle sin ^{2}theta +cos ^{2}theta =sin ^{2}left(t+{tfrac {1}{2}piright)+cos ^{2}left(t+{tfrac {1}{2}piright)=cos ^{2}t+sin ^{2}t=1.}$

Todo lo que queda es probarlo para −π < θ < 0; esto se puede hacer elevando al cuadrado las identidades de simetría para obtener

${displaystyle sin ^{2}theta =sin ^{2} {theta){text{ and }}cos ^{2}theta =cos ^{2}(-theta).}$

Identidades relacionadas

las identidades

${displaystyle 1+tan ^{2}theta =sec ^{2}theta$

y

${displaystyle 1+cot ^{2}theta =csc ^{2}theta }$

también se llaman identidades trigonométricas pitagóricas. Si un cateto de un triángulo rectángulo tiene longitud 1, entonces la tangente del ángulo adyacente a ese cateto es la longitud del otro cateto y la secante del ángulo es la longitud de la hipotenusa.

${displaystyle tan theta ={frac {b} {a}},}$

y:

${displaystyle sec theta ={frac {c}{a}}$

De esta manera, esta identidad trigonométrica que involucra la tangente y la secante se deriva del teorema de Pitágoras. El ángulo opuesto al cateto de longitud 1 (este ángulo se puede etiquetar como φ = π/2 − θ) tiene cotangente igual a la longitud del otro cateto y cosecante igual a la longitud de la hipotenusa. De esa manera, esta identidad trigonométrica que involucra la cotangente y la cosecante también se deriva del teorema de Pitágoras.

La siguiente tabla proporciona las identidades con el factor o divisor que los relaciona con la identidad principal.

Identidad original	Divisor	Divisor Equation	Identidad derivada	Identidad derivada (Alternate)
${displaystyle sin ^{2}theta +cos ^{2}theta =1}$	${displaystyle cos ^{2}theta }$	${displaystyle {frac {sin }theta }{cos ^{2}theta }+{frac {cos }theta }{cos ^{2}theta }={frac {1}{2}theta }$	${displaystyle tan ^{2}theta +1=sec ^{2}theta }$	${displaystyle {begin{aligned}sec ^{2}theta -tan ^{2}theta =1(seg theta -tan theta)(seg theta +tan theta)=1\end{aligned}}}}}}}$
	${displaystyle sin ^{2}theta }$	${displaystyle {frac {sin }theta }{sin ^{2}theta }+{frac {cos }theta }{sin ^{2}theta }={frac {1}{2}theta }$	${displaystyle 1+cot ^{2}theta =csc ^{2}theta }$	${displaystyle {begin{aligned}csc ^{2}theta -cot ^{2}theta =1csctheta -cot theta)(csctheta +cot theta)=1\\end{aligned}}}}}}}$

Demostración usando el círculo unitario

El círculo de la unidad centrado en el origen en el plano Euclideano se define por la ecuación:

${displaystyle x^{2}+y^{2}=1.$

Dado un ángulo θ, hay un punto único P en el círculo unitario en un ángulo antihorario de θ desde el eje x, y las coordenadas x e y de P son:

${displaystyle x=cos theta {text{ and } Y=sin theta.}$

En consecuencia, de la ecuación del círculo unitario:

${displaystyle cos ^{2}theta +sin ^{2}theta =1,}$

la identidad pitagórica.

En la figura, el punto P tiene una coordenada x negativa y está dada apropiadamente por x = cos θ , que es un número negativo: cos θ = −cos(π−θ). El punto P tiene una coordenada y positiva y sin θ = sin(π−θ) > 0. A medida que θ aumenta desde cero hasta el círculo completo θ = 2π, el seno y el coseno cambian de signo en los distintos cuadrantes para mantener x y y con los signos correctos. La figura muestra cómo varía el signo de la función seno a medida que el ángulo cambia de cuadrante.

Debido a que los ejes x e y son perpendiculares, esta identidad pitagórica es equivalente al teorema de Pitágoras para triángulos con hipotenusa de longitud 1 (que a su vez es equivalente al teorema de Pitágoras completo aplicando un argumento de triángulos semejantes). Consulte Círculo unitario para obtener una breve explicación.

Demostración mediante series de potencias

Las funciones trigonométricas también se pueden definir usando series de potencias, es decir (para x un ángulo medido en radianes):

${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fn} {fn} {fn} {fn}} {cn+1)}x^{2n+1}cfnfncccncccH00}cH00cH00} {cH0}cH0}fn0}cH00cH00}cH00cH00}cH00cH00}cH00}cH00}cH00}cH00cH00}cH00cH00cH00}cH00cH00}cH00cH00}cH00}cH00cH00}cH00cH00cH00}cH00}cH00}cH00cH00}cH00}cH00cH00}cH00}$

Usando la fórmula de multiplicación para series de potencias en Multiplicación y división de series de potencias (adecuadamente modificada para tener en cuenta la forma de la serie aquí) obtenemos

${displaystyle {begin{aligned}sin ↑ ¿Por qué? {fn1} {fn} {fn1} {fn1} {fnfn}}nn}}nn}}nn}fn}cn} {n1} {nnnn1} {nn0} {nn1}n1}n0} {n1}}}}n}n}n}}}nn}nn1}}n}nnnnnnn}}}nn1}}n}n1}}}nnn}n1}}}}}}}}nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn ↑ {fn} {fn} {fn}}} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}}} {fn}}} {fn} {fn}}} {fn}}}}} {fn}}}}}i} {fnfn}} {fn}}}}} {fn}}}}}}}}fn}}}}}fnfnfn}}}}} {fn}}}}}}f}fnfnfn}}fnfn}}}}} {fnfnfnfn}fnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn}}fn}}}fnnnnnnnnnnnnnnn}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} ##{i=0}{n}{2nchoose 2i}right){frac {(-1)^{n}{(2n)}}}x^{2n}end{aligned}}}$

en la expresión de sen 2 , n debe ser al menos 1, mientras que en la expresión para cos 2 , el término constante es igual a 1. Los términos restantes de su suma son (con factores comunes eliminados)

${displaystyle sum _{i=0}{n}{2n choose 2i}-sum _{i=0}{n-1}{2n choose 2i+1}=sum _{j=0}^{2n}(-1)^{j}{2nchoose j}=(1-1)^{2n}=0}=0}$

por el teorema del binomio. Como consecuencia,

${displaystyle sin ^{2}x+cos ^{2}x=1,}$

que es la identidad trigonométrica pitagórica.

Cuando las funciones trigonométricas se definen de esta manera, la identidad en combinación con el teorema de Pitágoras muestra que estas series de potencias parametrizan el círculo unitario, que usamos en la sección anterior. Esta definición construye las funciones seno y coseno de manera rigurosa y demuestra que son diferenciables, de modo que en realidad subsume las dos anteriores.

Demostración mediante la ecuación diferencial

El seno y el coseno se pueden definir como las dos soluciones de la ecuación diferencial:

${displaystyle Y...$

satisfactorio respectivamente y(0) = 0, y′(0) = 1 y y(0) = 1, y′(0) = 0. De la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias se deduce que la primera solución, el seno, tiene como derivada la segunda, el coseno, y de esto se sigue que la derivada del coseno es el negativo del seno. La identidad es equivalente a la afirmación de que la función

${displaystyle z=sin ^{2}x+cos ^{2}x}$

es constante e igual a 1. La diferenciación utilizando la regla de la cadena da:

${displaystyle {frac {dx}z=2sin x+2cos x(-sin x)=0,}$

entonces z es constante. Un cálculo confirma que z(0) = 1 y z es una constante, por lo que z = 1 para todo x, así se establece la identidad pitagórica.

Se puede completar una prueba similar usando series de potencias como las anteriores para establecer que el seno tiene como derivada el coseno, y el coseno tiene como derivada el seno negativo. De hecho, las definiciones por ecuación diferencial ordinaria y por series de potencias conducen a derivaciones similares de la mayoría de las identidades.

Esta prueba de identidad no tiene conexión directa con la demostración del teorema de Pitágoras por parte de Euclides.

Demostración utilizando la fórmula de Euler

Usando la fórmula de Euler ${displaystyle e^{itheta }=cos theta +isin theta }$ y factorización ${displaystyle cos ^{2}theta +sin ^{2}theta }$ como la compleja diferencia de dos plazas,

${displaystyle {begin{aligned}1 limit=e^{itheta }e^{-itheta }[3mu] limit=(cos theta +itheta)(cos theta -isin theta)[3mu] limit=cos ^{2}theta +sin ^{2} {}}}}}}} {splaystyle {begin {begin {begin {begin{begin{al} {begin{al} {begin {begin{begin{begin{begin{begin{begin}}}}} {begin{begin{begin{begin{begin{}} {begin{begin{begin{begin{begin{begin{begin{begin{begin{begin{begin{begin}} {begin{}}}}}} {$