Identidad ciclotómica

En matemáticas, la identidad ciclotómica establece que

11− − α α z=∏ ∏ j=1JUEGO JUEGO ()11− − zj)M()α α ,j){displaystyle {1 over 1-alpha z}=prod _{j=1}{infty }left({1 over 1-z^{j}}right)^{M(alphaj)}}}

where M is Moreau 's necklace-counting function,

M()α α ,n)=1n.. dSilencionμ μ ()nd)α α d,{displaystyle M(alphan)={1over n}sum _{d, arrest,n}mu left({nover d}right)alpha ^{d}

y μ es la función clásica de Möbius de la teoría de números.

El nombre proviene del denominador, 1 − z ^j, que es el producto de polinomios ciclotómicos.

El lado izquierdo de la identidad ciclotómica es la función generadora del álgebra asociativa libre en generadores α, y el lado derecho es la función generadora del álgebra envolvente universal del álgebra de Lie libre en generadores α. La identidad ciclotómica atestigua el hecho de que estas dos álgebras son isomorfas.

También hay una generalización simétrica de la identidad ciclotómica encontrada por Strehl:

∏ ∏ j=1JUEGO JUEGO ()11− − α α zj)M()β β ,j)=∏ ∏ j=1JUEGO JUEGO ()11− − β β zj)M()α α ,j){displaystyle prod _{j=1}infty }left({1 over 1-alpha z^{j}}right)^{M(betaj)}=prod _{j=1}{infty }left({1 over 1-beta z^{j}}right)}{M {alpha}al