Holomorfo (matemáticas)

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En matemáticas, especialmente en el área de álgebra conocida como teoría de grupo, el holomor de un grupo ${displaystyle G}$ , denotado ${displaystyle operatorname {Hol} (G)}$ , es un grupo que simultáneamente contiene (copias de) ${displaystyle G}$ y su grupo de automorfismo ${displaystyle operatorname {Aut} (G)}$ . Proporciona ejemplos interesantes de grupos, y permite tratar elementos de grupo y automorfismos de grupo en un contexto uniforme. El holomorfo se puede describir como un producto semidirecto o como un grupo de permutación.

Hol(G) como producto semidirecto

Si ${displaystyle operatorname {Aut} (G)}$ es el grupo de automorfismo ${displaystyle G}$ entonces

{displaystyle operatorname {Hol} (G)=Grtimes operatorname {Aut} (G)}

donde la multiplicación está dada por

{displaystyle (g,alpha)(h,beta)=(galpha (h),alpha beta).}

()1)

Típicamente, un producto semidirecto se da en la forma ${displaystyle Grtimes _{phi }A}$ Donde ${displaystyle G}$ y ${displaystyle A}$ son grupos y ${displaystyle phi:Arightarrow operatorname {Aut} (G)}$ es un homomorfismo y donde la multiplicación de elementos en el producto semidirecto se da como

{displaystyle (g,a)(h,b)=(gphi (a)(h),ab)}

que está bien definida, ya ${displaystyle phi (a)in operatorname {Aut} (G)}$ por lo tanto ${displaystyle phi (a)(h)in G}$ .

Para el holomorfo, ${displaystyle A=operatorname {Aut} (G)}$ y ${displaystyle phi }$ es el mapa de identidad, como tal suprimimos la escritura ${displaystyle phi }$ explícitamente en la multiplicación dada en la ecuación (1) arriba.

Por ejemplo,

${displaystyle G=C_{3}=langle xrangle ={1,x,x^{2}}}$ el grupo cíclico de orden 3
${displaystyle operatorname {Aut} (G)=langle sigma rangle ={1,sigma }}$ Donde ${displaystyle sigma (x)=x^{2}}$
${displaystyle operatorname {Hol} (G)={(x^{i},sigma ^{j})}}$ con la multiplicación dada por:

{displaystyle (x^{i_{1}},sigma ^{j_{1}})(x^{i_{2}},sigma ^{j_{2}})=(x^{i_{1}+i_{2}2^{^{j_{1}}}},sigma ^{j_{1}+j_{2}})}

donde los exponentes de

{displaystyle x}

se toman el mod 3 y los de

{displaystyle sigma }

mod. 2.

Observar, por ejemplo

{displaystyle (x,sigma)(x^{2},sigma)=(x^{1+2cdot 2},sigma ^{2})=(x^{2},1)}

y este grupo no es abeliano, como ${displaystyle (x^{2},sigma)(x,sigma)=(x,1)}$ Así que ${displaystyle operatorname {Hol} (C_{3})}$ es un grupo no-abeliano de orden 6, que, por teoría básica del grupo, debe ser isomorfo al grupo simétrico ${displaystyle S_{3}}$ .

Hol(G) como grupo de permutación

Un grupo G actúa naturalmente en sí misma por la multiplicación izquierda y derecha, cada una dando lugar a un homomorfismo G en el grupo simétrico sobre el conjunto subyacente G. Un homomorfismo se define como λ: G → Sym(G), ${displaystyle lambda _{g}}$ ()h) g·h. Eso es, g es mapeado a la permutación obtenida por el agrupamiento izquierdo cada elemento de G por g. Del mismo modo, un segundo homomorfismo ***: G → Sym(G) se define por ${displaystyle rho _{g}}$ ()h) h·g⁻¹, donde el inverso asegura que ${displaystyle rho _{gh}}$ ()k) ${displaystyle rho _{g}}$ () ${displaystyle rho _{h}}$ ()k)). Estos homomorfismos se llaman las representaciones regulares izquierda y derecha de G. Cada homomorfismo es inyectable, un hecho llamado teorema de Cayley.

Por ejemplo, si G = C₃ = {1, x, x² } es un grupo cíclico de orden tres, entonces

${displaystyle lambda _{x}}$ 1) x·1 = x,
${displaystyle lambda _{x}}$ ()x) x·x = x², y
${displaystyle lambda _{x}}$ ()x²) x·x² = 1,

Así que... λ()x) toma (1, x, x²... ax, x²1).

La imagen de λ es un subgrupo de Sym(G) isomorfo a G, y su normalizador en Sym(G) se define como el holomor N de G. Para cada uno n dentro N y g dentro G, hay un h dentro G tales que n· ${displaystyle lambda _{g}}$ = ${displaystyle lambda _{h}}$ ·n. Si un elemento n del holomorfo fija la identidad de G, entonces para 1 pulg G, (n· ${displaystyle lambda _{g}}$ )(1) = ${displaystyle lambda _{h}}$ ·n)(1), pero el lado izquierdo es n()g), y el lado derecho es h. En otras palabras, si n dentro N fija la identidad de G, entonces por cada g dentro G, n· ${displaystyle lambda _{g}}$ = ${displaystyle lambda _{n(g)}}$ ·n. Si g, h son elementos de G, y n es un elemento N fijación de la identidad G, luego aplicar esta igualdad dos veces a n· ${displaystyle lambda _{g}}$ · ${displaystyle lambda _{h}}$ y una vez a la expresión (equivalente) n· ${displaystyle lambda _{gh}}$ da eso n()g)·n()h) n()g·h). Es decir, cada elemento de N que fija la identidad de G es de hecho un automorfismo G. Tal n normaliza ${displaystyle lambda _{G}}$ , y el único ${displaystyle lambda _{g}}$ que fija la identidad λ1). Ajuste A ser el estabilizador de la identidad, el subgrupo generado por A y ${displaystyle lambda _{G}}$ es producto semidirecto con subgrupo normal ${displaystyle lambda _{G}}$ y complemento A. Desde ${displaystyle lambda _{G}}$ es transitivo, el subgrupo generado por ${displaystyle lambda _{G}}$ y el estabilizador de puntos A es todo N, que muestra el holomorfo como un grupo de permutación es isomorfo al holomorfo como producto semidirecto.

Es útil, pero no directamente relevante, que el centralizador de ${displaystyle lambda _{G}}$ en Sym(G) es ${displaystyle rho _{G}}$ , su intersección es ${displaystyle rho _{Z(G)}=lambda _{Z(G)}}$ , donde Z(G) es el centro de G, y eso A es un complemento común para ambos subgrupos normales de N.

Propiedades

***()G∩ AutG) = 1
Aut(G) normaliza ***()GAsí que canónicamente ***()G.G) G ⋊ AutG)
${displaystyle operatorname {Inn} (G)cong operatorname {Im} (gmapsto lambda (g)rho (g))}$ desde entonces λ()g)***()g)h) ghg⁻¹ () ${displaystyle operatorname {Inn} (G)}$ es el grupo de automorfismos internos de G)
K ≤ G es un subgrupo característico si y sólo si λ()K⊴ Hol(G)

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