Teoría de anillos

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En álgebra, la teoría de anillos es el estudio de anillos: estructuras algebraicas en las que se definen la suma y la multiplicación y tienen propiedades similares a las operaciones definidas para los números enteros. La teoría de anillos estudia la estructura de los anillos, sus representaciones o, en otro lenguaje, módulos, clases especiales de anillos (anillos de grupo, anillos de división, álgebras envolventes universales), así como un conjunto de propiedades que resultaron de interés tanto dentro la teoría misma y sus aplicaciones, como propiedades homológicas e identidades polinómicas.

Los anillos conmutativos se entienden mucho mejor que los no conmutativos. La geometría algebraica y la teoría algebraica de números, que brindan muchos ejemplos naturales de anillos conmutativos, han impulsado gran parte del desarrollo de la teoría de anillos conmutativos, que ahora se denomina álgebra conmutativa., un área importante de las matemáticas modernas. Debido a que estos tres campos (geometría algebraica, teoría algebraica de números y álgebra conmutativa) están tan íntimamente conectados, por lo general es difícil y sin sentido decidir a qué campo pertenece un resultado en particular. Por ejemplo, el Nullstellensatz de Hilbert es un teorema fundamental para la geometría algebraica, y se enuncia y demuestra en términos de álgebra conmutativa. De manera similar, el último teorema de Fermat se establece en términos de aritmética elemental, que es parte del álgebra conmutativa, pero su prueba involucra resultados profundos tanto de la teoría algebraica de números como de la geometría algebraica.

Los anillos no conmutativos tienen un sabor bastante diferente, ya que pueden surgir comportamientos más inusuales. Si bien la teoría se ha desarrollado por sí misma, una tendencia bastante reciente ha buscado un paralelo al desarrollo conmutativo mediante la construcción de la teoría de ciertas clases de anillos no conmutativos de una manera geométrica como si fueran anillos de funciones en (inexistente) 'no conmutativo'. espacios'. Esta tendencia comenzó en la década de 1980 con el desarrollo de la geometría no conmutativa y con el descubrimiento de los grupos cuánticos. Ha llevado a una mejor comprensión de los anillos no conmutativos, especialmente los anillos noetherianos no conmutativos.

Para conocer las definiciones de un anillo y los conceptos básicos y sus propiedades, consulte Anillo (matemáticas). Las definiciones de los términos utilizados en la teoría de anillos se pueden encontrar en Glosario de teoría de anillos.

Anillos conmutativos

Un anillo se llama conmutativo.si su multiplicación es conmutativa. Los anillos conmutativos se parecen a los sistemas numéricos familiares, y varias definiciones de anillos conmutativos están diseñadas para formalizar las propiedades de los números enteros. Los anillos conmutativos también son importantes en la geometría algebraica. En la teoría del anillo conmutativo, los números a menudo se reemplazan por ideales, y la definición del ideal primo intenta capturar la esencia de los números primos. Los dominios integrales, anillos conmutativos no triviales donde dos elementos distintos de cero no se multiplican para dar cero, generalizan otra propiedad de los números enteros y sirven como el dominio adecuado para estudiar la divisibilidad. Los dominios de ideales principales son dominios integrales en los que cada ideal puede ser generado por un solo elemento, otra propiedad compartida por los números enteros. Los dominios euclidianos son dominios integrales en los que se puede llevar a cabo el algoritmo euclidiano. Se pueden construir ejemplos importantes de anillos conmutativos como anillos de polinomios y sus anillos de factores. Resumen: dominio euclidiano ⊂ dominio ideal principal ⊂ dominio de factorización única ⊂ dominio integral ⊂ anillo conmutativo.

Geometría algebraica

La geometría algebraica es, en muchos sentidos, la imagen especular del álgebra conmutativa. Esta correspondencia comenzó con el Nullstellensatz de Hilbert que establece una correspondencia uno a uno entre los puntos de una variedad algebraica y los ideales máximos de su anillo de coordenadas. Esta correspondencia ha sido ampliada y sistematizada para traducir (y probar) la mayoría de las propiedades geométricas de variedades algebraicas en propiedades algebraicas de anillos conmutativos asociados. Alexander Grothendieck completó esto introduciendo esquemas, una generalización de variedades algebraicas, que pueden construirse a partir de cualquier anillo conmutativo. Más precisamente, el espectro de un anillo conmutativo es el espacio de sus ideales primos equipado con la topología de Zariski y aumentado con un haz de anillos. Estos objetos son los "esquemas afines" (generalización de variedades afines),

Anillos no conmutativos

Los anillos no conmutativos se parecen a los anillos de matrices en muchos aspectos. Siguiendo el modelo de la geometría algebraica, recientemente se han hecho intentos para definir la geometría no conmutativa basada en anillos no conmutativos. Los anillos no conmutativos y las álgebras asociativas (anillos que también son espacios vectoriales) a menudo se estudian a través de sus categorías de módulos. Un módulo sobre un anillo es un grupo abeliano en el que el anillo actúa como un anillo de endomorfismos, muy similar a la forma en que los campos (dominios integrales en los que todos los elementos distintos de cero son invertibles) actúan en espacios vectoriales. Ejemplos de anillos no conmutativos son los anillos de matrices cuadradas o, más generalmente, los anillos de endomorfismos de grupos o módulos abelianos, y los anillos monoides.

Teoría de la representación

La teoría de la representación es una rama de las matemáticas que se basa en gran medida en los anillos no conmutativos. Estudia estructuras algebraicas abstractas representandosus elementos como transformaciones lineales de espacios vectoriales, y estudia módulos sobre estas estructuras algebraicas abstractas. En esencia, una representación hace que un objeto algebraico abstracto sea más concreto al describir sus elementos mediante matrices y las operaciones algebraicas en términos de suma y multiplicación de matrices, que no es conmutativa. Los objetos algebraicos susceptibles de tal descripción incluyen grupos, álgebras asociativas y álgebras de Lie. La más destacada de ellas (e históricamente la primera) es la teoría de la representación de grupos, en la que los elementos de un grupo se representan mediante matrices invertibles de tal forma que la operación del grupo es la multiplicación de matrices.

Algunos teoremas relevantes

General

Teoremas de isomorfismo para anillos
Lema de Nakayama

Teoremas de estructura

El teorema de Artin-Wedderburn determina la estructura de anillos semisimples
El teorema de la densidad de Jacobson determina la estructura de los anillos primitivos
El teorema de Goldie determina la estructura de los anillos semiprimos de Goldie
El teorema de Zariski-Samuel determina la estructura de un anillo ideal principal conmutativo
El teorema de Hopkins-Levitzki da las condiciones necesarias y suficientes para que un anillo noetheriano sea un anillo artiniano.
La teoría de Morita consiste en teoremas que determinan cuándo dos anillos tienen categorías de módulos "equivalentes".
El teorema de Cartan-Brauer-Hua da una idea de la estructura de los anillos de división
El pequeño teorema de Wedderburn establece que los dominios finitos son campos

Otro

El teorema de Skolem-Noether caracteriza los automorfismos de anillos simples

Estructuras e invariantes de anillos.

Dimensión de un anillo conmutativo

En esta sección, R denota un anillo conmutativo. La dimensión de Krull de R es el supremo de las longitudes n de todas las cadenas de ideales primos ${mathfrak {p}}_{0}subsetneq {mathfrak {p}}_{1}subsetneq cdots subsetneq {mathfrak {p}}_{n}$ . Resulta que el anillo polinomial $k[t_{1},cdots,t_{n}]$ sobre un campo k tiene dimensión n. El teorema fundamental de la teoría de la dimensión establece que los siguientes números coinciden para un anillo local noetheriano $(R,{mathfrak{m}})$ :

La dimensión de Krull de R.
El número mínimo de generadores de ${mathfrak {m}}$ ideales primarios.
La dimensión del anillo graduado ${displaystyle textstyle operatorname {gr} _{mathfrak {m}}(R)=bigoplus _{kgeq 0}{mathfrak {m}}^{k}/{{mathfrak {m} }^{k+1}}}$ (equivalentemente, 1 más el grado de su polinomio de Hilbert).

Se dice que un anillo conmutativo R es catenario si para cada par de ideales primos ${mathfrak {p}}subconjunto {mathfrak {p}}'$ existe una cadena finita de ideales primos ${mathfrak {p}}={mathfrak {p}}_{0}subsetneq cdots subsetneq {mathfrak {p}}_{n}={mathfrak {p}}'$ que es máxima en el sentido de que es imposible insertar un ideal primo adicional entre dos ideales en la cadena, y todo tales cadenas máximas entre ${ matemáticas {p}}$ y ${ matemáticas {p}}'$ tienen la misma longitud. Prácticamente todos los anillos noetherianos que aparecen en las aplicaciones son de catenaria. Ratliff demostró que un dominio integral local noetheriano R es catenaria si y solo si para todo ideal primo ${ matemáticas {p}}$ , $operatorname {dim} R=operatorname {ht} {mathfrak {p}}+operatorname {dim} R/{mathfrak {p}}$

donde ${ estilo de visualización nombre del operador {ht} { mathfrak {p}}}$ es la altura de ${ matemáticas {p}}$ .

Si R es un dominio integral que es un k -álgebra finitamente generada, entonces su dimensión es el grado de trascendencia de su campo de fracciones sobre k. Si S es una extensión integral de un anillo conmutativo R, entonces S y R tienen la misma dimensión.

Conceptos estrechamente relacionados son los de profundidad y dimensión global. En general, si R es un anillo local noetheriano, entonces la profundidad de R es menor o igual que la dimensión de R. Cuando se cumple la igualdad, R se denomina anillo de Cohen-Macaulay. Un anillo local regular es un ejemplo de un anillo Cohen-Macaulay. Es un teorema de Serre que R es un anillo local regular si y solo si tiene dimensión global finita y en ese caso la dimensión global es la dimensión de Krull de R. La importancia de esto es que una dimensión global es una noción homológica.

Equivalencia morita

Se dice que dos anillos R, S son equivalentes de Morita si la categoría de módulos izquierdos sobre R es equivalente a la categoría de módulos izquierdos sobre S. De hecho, dos anillos conmutativos que son equivalentes de Morita deben ser isomorfos, por lo que la noción no agrega nada nuevo a la categoría de anillos conmutativos. Sin embargo, los anillos conmutativos pueden ser equivalentes de Morita a los anillos no conmutativos, por lo que la equivalencia de Morita es más gruesa que el isomorfismo. La equivalencia de Morita es especialmente importante en topología algebraica y análisis funcional.

Módulo proyectivo generado finitamente sobre un anillo y un grupo de Picard

Sea R un anillo conmutativo y $mathbf {P} (R)$ el conjunto de clases de isomorfismos de módulos proyectivos generados finitamente sobre R; deje también $mathbf {P} _{n} (R)$ subconjuntos que consisten en aquellos con rango constante n. (El rango de un módulo M es la función continua $operatorname {Spec} Rto mathbb {Z},,{mathfrak {p}}mapsto dim Motimes _{R}k({mathfrak {p}})$ .) $mathbf {P} _{1} (R)$ normalmente se denota con Pic(R). Es un grupo abeliano llamado grupo de Picard de R. Si R es un dominio integral con el campo de fracciones F de R, entonces existe una secuencia exacta de grupos: $1to R^{*}to F^{*}{overset {fmapsto fR}{to }}operatorname {Cart} (R)to operatorname {Foto} (R)to 1$

donde $operatorname {Carrito} (R)$ es el conjunto de ideales fraccionarios de R. Si R es un dominio regular (es decir, regular en cualquier ideal primo), entonces Pic(R) es precisamente el grupo de clase divisor de R.

Por ejemplo, si R es un dominio ideal principal, Pic(R) desaparece. En teoría algebraica de números, R se tomará como el anillo de los números enteros, que es Dedekind y, por lo tanto, regular. De ello se deduce que Pic(R) es un grupo finito (finitud del número de clase) que mide la desviación del anillo de enteros de ser un PID.

También se puede considerar la finalización grupal de $mathbf {P} (R)$ ; esto da como resultado un anillo conmutativo K ₀ (R). Tenga en cuenta que K ₀ (R) = K ₀ (S) si dos anillos conmutativos R, S son equivalentes de Morita.

Estructura de anillos no conmutativos

La estructura de un anillo no conmutativo es más complicada que la de un anillo conmutativo. Por ejemplo, existen anillos simples, que no contienen ideales propios no triviales (de dos lados), que contienen ideales propios izquierdos o derechos no triviales. Existen varias invariantes para anillos conmutativos, mientras que las invariantes de anillos no conmutativos son difíciles de encontrar. Como ejemplo, el nilradical de un anillo, el conjunto de todos los elementos nilpotentes, no necesita ser un ideal a menos que el anillo sea conmutativo. Específicamente, el conjunto de todos los elementos nilpotentes en el anillo de todos los n x nmatrices sobre un anillo de división nunca forman un ideal, independientemente del anillo de división elegido. Hay, sin embargo, análogos del nilradical definido para anillos no conmutativos, que coinciden con el nilradical cuando se supone conmutatividad.

El concepto del radical de Jacobson de un anillo; es decir, la intersección de todos los aniquiladores derecho/izquierdo de módulos simples derecho/izquierdo sobre un anillo, es un ejemplo. El hecho de que el radical de Jacobson pueda verse como la intersección de todos los ideales máximos de derecha/izquierda en el anillo muestra cómo la estructura interna del anillo se refleja en sus módulos. También es un hecho que la intersección de todos los ideales máximos de derecha en un anillo es la misma que la intersección de todos los ideales máximos de izquierda en el anillo, en el contexto de todos los anillos; sea conmutativa o no conmutativa.

Los anillos no conmutativos sirven como un área activa de investigación debido a su ubicuidad en las matemáticas. Por ejemplo, el anillo de matrices n por n sobre un campo no es conmutativo a pesar de su ocurrencia natural en geometría, física y muchas partes de las matemáticas. De manera más general, los anillos de endomorfismo de los grupos abelianos rara vez son conmutativos, siendo el ejemplo más simple el anillo de endomorfismo del grupo de cuatro de Klein.

Uno de los anillos no conmutativos más conocidos es el anillo de división de cuaterniones.

Aplicaciones

El anillo de enteros de un campo numérico.

El anillo de coordenadas de una variedad algebraica

Si X es una variedad algebraica afín, entonces el conjunto de todas las funciones regulares en X forma un anillo llamado anillo de coordenadas de X. Para una variedad proyectiva, hay un anillo análogo llamado anillo de coordenadas homogéneas. Esos anillos son esencialmente lo mismo que las variedades: se corresponden esencialmente de una manera única. Esto puede verse a través del Nullstellensatz de Hilbert o de construcciones teóricas de esquemas (es decir, Spec y Proj).

Anillo de invariantes

Una pregunta básica (y quizás la más fundamental) en la teoría invariante clásica es encontrar y estudiar polinomios en el anillo de polinomios $k[V]$ que son invariantes bajo la acción de un grupo finito (o más generalmente reductivo) G en V. El ejemplo principal es el anillo de polinomios simétricos: los polinomios simétricos son polinomios que son invariantes bajo permutación de variable. El teorema fundamental de los polinomios simétricos establece que este anillo es $R[sigma _{1},ldots,sigma _{n}]$ donde $sigma _{i}$ se encuentran los polinomios simétricos elementales.

Historia

La teoría del anillo conmutativo se originó en la teoría algebraica de números, la geometría algebraica y la teoría invariante. Los anillos de números enteros en campos de números algebraicos y campos de funciones algebraicas, y los anillos de polinomios en dos o más variables, fueron fundamentales para el desarrollo de estos temas. La teoría del anillo no conmutativo comenzó con intentos de extender los números complejos a varios sistemas numéricos hipercomplejos. La génesis de las teorías de los anillos conmutativos y no conmutativos se remonta a principios del siglo XIX, mientras que su madurez se alcanzó recién en la tercera década del siglo XX.

Más precisamente, William Rowan Hamilton presentó los cuaterniones y bicuaterniones; James Cockle presentó tesarinas y cocuaterniones; y William Kingdon Clifford era un entusiasta de los bicuaterniones divididos, a los que llamó motores algebraicos. Estas álgebras no conmutativas y las álgebras de Lie no asociativas se estudiaron dentro del álgebra universal antes de dividir el tema en tipos particulares de estructuras matemáticas. Un signo de reorganización fue el uso de sumas directas para describir la estructura algebraica.

Joseph Wedderburn (1908) y Emil Artin (1928) identificaron los diversos números hipercomplejos con anillos de matriz. Los teoremas de estructura de Wedderburn se formularon para álgebras de dimensión finita sobre un campo, mientras que Artin los generalizó a anillos artinianos.

En 1920, Emmy Noether, en colaboración con W. Schmeidler, publicó un artículo sobre la teoría de los ideales en el que definían ideales de izquierda y derecha en un anillo. Al año siguiente, publicó un artículo histórico llamado Idealtheorie in Ringbereichen, que analiza las condiciones de la cadena ascendente con respecto a los ideales (matemáticos). El destacado algebraista Irving Kaplansky llamó a este trabajo "revolucionario"; la publicación dio lugar al término "anillo noetheriano", y varios otros objetos matemáticos se llamaron noetherianos.