Hipocicloide
En geometría, una hipocicloide es una curva de plano especial generada por el trazo de un punto fijo en un pequeño círculo que rueda dentro de un círculo más grande. A medida que aumenta el radio del círculo más grande, la hipocicloide se vuelve más como la cicloide creada rodando un círculo en una línea.
Historia
La hipocicloide de 2 platos llamada pareja Tusi fue descrita por primera vez por el astrónomo persa del siglo XIII y el matemático Nasir al-Din al-Tusi en Tahrir al-Majisti (Commentario sobre el Almagest). El pintor alemán y el teórico renacentista alemán Albrecht Dürer describió epitrocoides en 1525, y más tarde Roemer y Bernoulli se concentraron en algunos hipocicloides específicos, como el astroide, en 1674 y 1691, respectivamente.
Propiedades
Si el círculo más pequeño tiene radio r, y el círculo más grande tiene radio R = kr, entonces el ecuaciones paramétricas para la curva pueden ser dadas por cualquiera:
o:
Si k es un entero, entonces la curva está cerrada, y tiene k cusps (es decir, esquinas afiladas, donde la curva no es diferente). Especialmente para k = 2 la curva es una línea recta y los círculos se llaman Círculos de Cardano. Girolamo Cardano fue el primero en describir estos hipocicloides y sus aplicaciones a la impresión de alta velocidad.
Si k es un número racional, digamos k = p/q expresado en términos más simples, entonces la curva tiene p Cusps.
Si k es un número irracional, entonces la curva nunca se cierra y llena el espacio entre el círculo más grande y un círculo. de radio R − 2r.
Cada hipocicloide (para cualquier valor de r) es una braquistócrona para el potencial gravitacional dentro de una esfera homogénea de radio R.
El área encerrada por una hipocicloide viene dada por:
La longitud del arco de una hipocicloide viene dada por:
Ejemplos
- Ejemplos hipocicloides
k=3 → a deltoide
k=4 → un astroide
k=5 → un pentoide
k=6 → un exoide
k=2.1 = 21/10
k=3.8 = 19/5
k=5.5 = 11/2
k=7.2 = 36/5
El hipocicloide es un tipo especial de hipotrocoide, que es un tipo particular de ruleta.
Un hipocicloide con tres cúspides se conoce como deltoides.
Una curva hipocicloide con cuatro cúspides se conoce como astroide.
El hipocicloide con dos "cúspides" Es un caso degenerado pero aún muy interesante, conocido como el matrimonio Tusi.
Relación con la teoría del grupo
Cualquier hipocicloide con un valor integral de k y, por lo tanto, k cúspides, puede moverse cómodamente dentro de otro hipocicloide con k+1 cúspides, de modo que los puntos del hipocicloide más pequeño siempre estarán en contacto con el más grande. Este movimiento parece "rodar", aunque técnicamente no es un movimiento en el sentido de la mecánica clásica, ya que implica un deslizamiento.
Las formas hipocicloides pueden estar relacionadas con grupos unitarios especiales, SU denotadok), que consiste en k × k matrices unitarias con determinantes 1. Por ejemplo, los valores permitidos de la suma de entradas diagonales para una matriz en SU(3), son precisamente los puntos en el plano complejo que se encuentra dentro de un hipocicloide de tres cusps (un deltoide). Asimismo, sumar las entradas diagonales de las matrices SU(4) da puntos dentro de un astroide, y así sucesivamente.
Gracias a este resultado, se puede utilizar el hecho de que SU(k) encaja dentro SU(k+1) como subgrupo para probar que una epicicloide con k cusps se mueve snugly dentro de uno con k+1 cusps.
Curvas derivadas
La evolución de un hipocicloide es una versión ampliada del propio hipocicloide, mientras que la involuta de un hipocicloide es una copia reducida de sí mismo.
El pedal de un hipocicloide con polo en el centro del hipocicloide es una curva rosa.
La isóptica de un hipocicloide es un hipocicloide.
Hipocicloides en la cultura popular
Se pueden dibujar curvas similares a las hipocicloides con el juguete Spirograph. Específicamente, el espirógrafo puede dibujar hipotrocoides y epitrocoides.
Los Pittsburgh Steelers' El logotipo, que se basa en Steelmark, incluye tres astroides (hipocicloides de cuatro cúspides). En su columna semanal de NFL.com "Tuesday Morning Quarterback", Gregg Easterbrook a menudo se refiere a los Steelers como los hipocicloides. El equipo de fútbol chileno CD Huachipato basó su escudo en el escudo de los Steelers. logotipo y, como tal, presenta hipocicloides.
La primera temporada de Drew Carey El precio es correcto 's set cuenta con astroides en las tres puertas principales, etiqueta de precio gigante, y la zona de mesa. Los astroides en las puertas y la mesa giratoria fueron removidos cuando el programa cambió a las transmisiones de alta definición a partir de 2008, y sólo el propulsión de precio gigante todavía los presenta hoy.
Contenido relacionado
Conjunto vacío
Historia de la lógica
Menor que <