Hiperplano

Dos aviones intersectiendo en espacio tridimensional. Un plano es un hiperplano de dimensión 2, cuando está incrustado en un espacio de dimensión 3.

En geometría, un hiperplano es un subespacio cuya dimensión es uno menos que la de su espacio ambiental. Por ejemplo, si un espacio es tridimensional, sus hiperplanos son los planos bidimensionales, mientras que si el espacio es bidimensional, sus hiperplanos son las líneas unidimensionales. Esta noción puede utilizarse en cualquier espacio general en el que se defina el concepto de dimensión de un subespacio.

En diferentes escenarios, los hiperplanos pueden tener diferentes propiedades. Por ejemplo, un hiperplano de un espacio afín n-dimensional es un subconjunto plano con dimensión n − 1 y separa el espacio en dos medios espacios. Mientras que un hiperplano de un espacio proyectivo n-dimensional no tiene esta propiedad.

La diferencia de dimensión entre un subespacio S y su espacio ambiental X se conoce como la codimensión de S con respecto a X. Por tanto, una condición necesaria y suficiente para que S sea un hiperplano en X es para S para tener la codimensión uno en X.

Descripción técnica

En geometría, un hiperplano de un espacio n-dimensional V es un subespacio de dimensión n − 1, o equivalentemente, de codimensión 1 en V. El espacio V puede ser un espacio euclidiano o, más generalmente, un espacio afín, o un espacio vectorial o un espacio proyectivo, y la noción de hiperplano varía en consecuencia ya que la definición de subespacio difiere en estos entornos; sin embargo, en todos los casos, cualquier hiperplano se puede dar en coordenadas como la solución de una sola ecuación algebraica de grado 1 (debido a la restricción de 'codimensión 1').

Si V es un espacio vectorial, se distinguen "hiperplanos vectoriales" (que son subespacios lineales, y por lo tanto deben pasar por el origen) y "hiperplanos afines" (que no necesitan pasar por el origen; se pueden obtener por traslación de un hiperplano vectorial). Un hiperplano en un espacio euclidiano separa ese espacio en dos semiespacios y define un reflejo que fija el hiperplano e intercambia esos dos semiespacios.

Tipos especiales de hiperplanos

Se definen varios tipos específicos de hiperplanos con propiedades que se adaptan bien a propósitos particulares. Algunas de estas especializaciones se describen aquí.

Hiperplanos afines

An affine hyperplane es un subespacio de afinidad de la codimensión 1 en un espacio de afinidad. En las coordenadas cartesianas, tal hiperplano se puede describir con una única ecuación lineal de la siguiente forma (donde al menos uno de los ai{displaystyle A_{i}s no es cero y b{displaystyle b} es una constante arbitraria:

a1x1+a2x2+⋯ ⋯ +anxn=b.{displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+cdots *

En el caso de un espacio afín real, es decir cuando las coordenadas son números reales, este espacio afín separa el espacio en dos semiespacios, que son las componentes conexas del complemento del hiperplano, y vienen dados por las desigualdades

<math alttext="{displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+cdots +a_{n}x_{n}a1x1+a2x2+⋯ ⋯ +anxn.b{displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+cdots - No.<img alt="a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+cdots +a_{n}x_{n}

y

b. }" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">a1x1+a2x2+⋯ ⋯ +anxn■b.{displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+cdots ¿Qué?b. " aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96f61f656ba4cdbc210c01ac6df13d0acd587c66" style="vertical-align: -0.671ex; width:31.287ex; height:2.509ex;"/>

Como ejemplo, un punto es un hiperplano en un espacio unidimensional, una línea es un hiperplano en un espacio bidimensional y un plano es un hiperplano en un espacio tridimensional. Una línea en un espacio tridimensional no es un hiperplano y no separa el espacio en dos partes (el complemento de dicha línea está conectado).

Cualquier hiperplano de un espacio euclidiano tiene exactamente dos vectores unitarios normales.

Los hiperplanos afines se utilizan para definir límites de decisión en muchos algoritmos de aprendizaje automático, como árboles de decisión de combinación lineal (oblicua) y perceptrones.

Hiperplanos vectoriales

En un espacio vectorial, un hiperplano vectorial es un subespacio de codimensión 1, solo posiblemente desplazado desde el origen por un vector, en cuyo caso se lo denomina plano. Tal hiperplano es la solución de una sola ecuación lineal.

Hiperplanos proyectivos

Hiperplanos proyectivos, se utilizan en geometría proyectiva. Un subespacio proyectivo es un conjunto de puntos con la propiedad de que para cualesquiera dos puntos del conjunto, todos los puntos de la línea determinada por los dos puntos están contenidos en el conjunto. La geometría proyectiva se puede ver como geometría afín con puntos de fuga (puntos en el infinito) agregados. Un hiperplano afín junto con los puntos asociados en el infinito forman un hiperplano proyectivo. Un caso especial de un hiperplano proyectivo es el infinito o hiperplano ideal, que se define con el conjunto de todos los puntos en el infinito.

En el espacio proyectivo, un hiperplano no divide el espacio en dos partes; más bien, se necesitan dos hiperplanos para separar puntos y dividir el espacio. La razón de esto es que el espacio esencialmente "envuelve" de modo que ambos lados de un hiperplano solitario estén conectados entre sí.

Aplicaciones

En geometría convexa, dos conjuntos convexos disjuntos en un espacio euclidiano n-dimensional están separados por un hiperplano, un resultado denominado teorema de separación de hiperplanos.

En el aprendizaje automático, los hiperplanos son una herramienta clave para crear máquinas de vectores de soporte para tareas como la visión artificial y el procesamiento del lenguaje natural.

El punto de datos y su valor predicho a través de un modelo lineal es un hiperplano.

Ángulos diedros

El ángulo diedro entre dos hiperplanos no paralelos de un espacio euclidiano es el ángulo entre los vectores normales correspondientes. El producto de las transformaciones en los dos hiperplanos es una rotación cuyo eje es el subespacio de codimensión 2 obtenido al intersecar los hiperplanos, y cuyo ángulo es el doble del ángulo entre los hiperplanos.

Apoyo a los hiperaviones

Un hiperplano H se llama hiperplano "apoyo" del poliedro P si P está contenido en uno de los dos espacios cerrados atados por H y H∩ ∩ Pل ل ∅ ∅ {displaystyle Hcap Pneq varnothing }. La intersección de P y H se define como una "cara" del poliedro. La teoría de la polihedra y la dimensión de las caras se analizan mirando estas intersecciones que implican hiperplanos.