Icosaedro regular

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Uno de los cinco sólidos platónicos

Regular icosahedron
(Haga clic aquí para el modelo giratorio)
Tipo	sólido platónico
Elementos	F = 20, E = 30 V = 12 (χ = 2)
Caras por lados	20{3}
Notación de Conway	I s T
Símbolos de Schläfli	{3,5}
Símbolos de Schläfli	S{3,4} o $s{begin{Bmatrix}3\3end{Bmatrix}}$
Configuración facial	V5.5.5
Signatura Wythoff	5 Silencio 2 3
Coxeter diagrama
Simmetría	Ih, H₃[5,3], (*532)
Grupo de rotación	I, [5,3]⁺, (532)
Referencias	U₂₂, C₂₅, W₄
Propiedades	regular, convexdeltahedron
Ángulo Dihedral	138.189685° = arcos (−√5.3)
3.3.3.3.3 (Vertex figure)	Dodecahedron regular (poliedro dual)
Cifras netas

Modelo 3D de un icosahedron regular

En geometría, un icosaedro regular (o) es un poliedro convexo con 20 caras, 30 aristas y 12 vértices. Es uno de los cinco sólidos platónicos, y el que tiene más caras.

Tiene cinco caras triangulares equiláteras que se unen en cada vértice. Se representa por su símbolo de Schläfli {3,5} o, a veces, por su figura de vértice como 3.3.3.3.3 o 3⁵. Es el dual del dodecaedro regular, que se representa por {5,3}, teniendo tres caras pentagonales alrededor de cada vértice. En la mayoría de los contextos, el uso incondicional de la palabra "icosaedro" se refiere específicamente a esta figura.

Un icosaedro regular es un deltaedro estrictamente convexo y una bipirámide pentagonal giroalargada y un antiprisma pentagonal biaumentado en cualquiera de las seis orientaciones.

El nombre proviene del griego εἴκοσι (eíkosi) 'veinte', y ἕδρα (hédra) 'asiento'. El plural puede ser "icosaedros" o "icosaedros" ().

Dimensiones

Red plegable en icosahedron

Si la longitud de borde de un icosahedro regular es $a$ , el radio de una esfera circunscrita (una que toca el icosahedro en todos los vértices) es

{displaystyle r_{u}={frac {a}{2}}{sqrt {varphi {sqrt {5}}}}={frac {a}{4}}{sqrt {10+2{sqrt {5}}}}=asin {frac {2pi }{5}}approx 0.951,056,5163cdot a}

{displaystyle r_{i}={frac {varphi ^{2}a}{2{sqrt {3}}}}={frac {sqrt {3}}{12}}left(3+{sqrt {5}}right)aapprox 0.755,761,3141cdot a}

{displaystyle r_{m}={frac {avarphi }{2}}={frac {1}{4}}left(1+{sqrt {5}}right)a=acos {frac {pi }{5}}approx 0.809,016,99cdot a}

varphi

Área y volumen

La superficie $A$ y el volumen $V$ de un icosahedro regular de longitud de borde $a$ son:

{displaystyle A=5{sqrt {3}}a^{2}approx 8.660,254,04a^{2}}

{displaystyle V={frac {5}{12}}left(3+{sqrt {5}}right)a^{3}approx 2.181,694,99a^{3}}

F = 20

{displaystyle {frac {sqrt {3}}{4}}a^{2}}

r_{i}

El factor de llenado de volumen de la esfera circunscrita es:

{displaystyle f={frac {V}{{frac {4}{3}}pi r_{u}^{3}}}={frac {20left(3+{sqrt {5}}right)}{left(2{sqrt {5}}+10right)^{frac {3}{2}}pi }}approx 0.605,461,3829,}

La esfera media de un icosaedro tendrá un volumen 1,01664 veces el volumen del icosaedro, que es, con mucho, la similitud más cercana en volumen de cualquier sólido platónico con su esfera media. Podría decirse que esto hace que el icosaedro sea el "más redondo" de los sólidos platónicos.

Coordenadas cartesianas

Los vértices de Icosahedro forman tres rectángulos dorados ortogonales

Los vértices de un icosahedro centrados en el origen con una longitud de borde de 2 y un circunradius de ${textstyle {sqrt {varphi ^{2}+1}}approx 1.902}$ son

{displaystyle (0,pm 1,pm varphi)}

{displaystyle (pm 1,pm varphi0)}

{displaystyle (pm varphi0,pm 1)}

Donde ${textstyle varphi ={frac {1+{sqrt {5}}}{2}}}$ es la relación de oro. Tomar todas las permutaciones de estas coordenadas (no sólo permutaciones cíclicas) resulta en el Compound de dos icosahedra.

Los vértices del icosaedro forman cinco conjuntos de tres rectángulos áureos ortogonales entre sí, concéntricos, cuyas aristas forman anillos borromeos.

Si el icosahedro original tiene longitud de borde 1, su dodecahedro dual tiene longitud de borde ${textstyle {frac {1}{varphi }}=varphi -1={frac {{sqrt {5}}-1}{2}}}$ .

Modelo de un icosahedro hecho con esferas metálicas y conectores magnéticos

Las 12 aristas de un octaedro regular se pueden subdividir en la proporción áurea para que los vértices resultantes definan un icosaedro regular. Esto se hace colocando primero vectores a lo largo de las aristas del octaedro de modo que cada cara esté delimitada por un ciclo, y luego subdividiendo de manera similar cada arista en la media áurea a lo largo de la dirección de su vector. Los cinco octaedros que definen cualquier icosaedro dado forman un compuesto poliédrico regular, mientras que los dos icosaedros que se pueden definir de esta manera a partir de cualquier octaedro dado forman un compuesto poliédrico uniforme.

El icosahedro regular y su esfera circunscrita. Vertices del icosahedro regular se encuentran en cuatro planos paralelos, formando en ellos cuatro triángulos equiláteros; esto fue probado por Pappus de Alejandría

Coordenadas esféricas

Las ubicaciones de los vértices de un icosaedro regular se pueden describir usando coordenadas esféricas, por ejemplo, como latitud y longitud. Si se toman dos vértices en los polos norte y sur (latitud ±90°), entonces los otros diez vértices están en la latitud ± arctan 1/2 = ±26,57°. Estos diez vértices se encuentran en longitudes uniformemente espaciadas (a 36° de distancia), alternando entre latitudes norte y sur.

Este esquema aprovecha el hecho de que el icosaedro regular es una bipirámide giroalargada pentagonal, con simetría diédrica D_5d, es decir, está formada por dos pirámides pentagonales congruentes unidas por un antiprisma pentagonal.

Proyecciones ortogonales

El icosaedro tiene tres proyecciones ortogonales especiales, centradas en una cara, una arista y un vértice:

Proyecciones ortogonales
Centrado por	Cara	Edge	Vertex
Coxeter avión	A₂	A₃	H₃
Gráfico
Projective simetría	[6]	[2]	[10]
Gráfico	Cara normal	Edge normal	Vertex normal

Como configuración

Esta matriz de configuración representa el icosaedro. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas y caras. Los números diagonales indican cuántos de cada elemento se encuentran en todo el icosaedro. Los números no diagonales indican cuántos elementos de la columna se encuentran en o en el elemento de la fila.

${displaystyle {begin{bmatrix}{begin{matrix}12&5&5\2&30&2\3&3&20end{matrix}}end{bmatrix}}}$

Aquí está la configuración ampliada con elementos de cara k y figuras k. Los recuentos de elementos diagonales son la proporción del grupo Coxeter completo H₃, orden 120, dividido por el orden del subgrupo con la eliminación del espejo.

H₃	k-face	f_k	f₀	f₁	f₂	k-fig	Notas
A₂	()	f₀	12	5	5	{5}	H₃/H₂ = 120/10 = 12
A₁A₁	{}	f₁	2	30	2	{}	H₃/A₁A₁ = 120/4 = 30
H₂	{3}	f₂	3	3	20	()	H₃/A₂ = 120/6 = 20

Alicatados esféricos

El icosaedro también puede representarse como un mosaico esférico y proyectarse en el plano a través de una proyección estereográfica. Esta proyección es conforme, preservando ángulos pero no áreas o longitudes. Las líneas rectas sobre la esfera se proyectan como arcos circulares sobre el plano.

Proyección ortográfica	Proyección estereográfica

Otros hechos

Un icosahedro tiene 43.380 redes distintas.
Para colorear el icosahedron, tal que no dos caras adyacentes tienen el mismo color, requiere al menos 3 colores.
Un problema que data de los antiguos griegos es determinar cuál de dos formas tiene mayor volumen, un icosahedro inscrito en una esfera, o un dodecaedro inscrito en la misma esfera. El problema fue resuelto por Hero, Pappus y Fibonacci, entre otros. Apolonio de Perga descubrió el curioso resultado de que la proporción de volúmenes de estas dos formas es la misma que la proporción de sus superficies. Ambos volúmenes tienen fórmulas que involucran la relación de oro, pero tomada a diferentes poderes. Como resulta, el icosahedro ocupa menos del volumen de la esfera (60,54%) que el dodecaedro (66,49%).
Ángulo Icosahedral - el ángulo entre los vértices más cercanos del icosahedron, relativo al centro del cuerpo del icosahedro (3D), es igual al ángulo diagonal de un doble y / o medio cuadrado (Entendido 63.4349°)

Construcción por un sistema de líneas equiángulos

Icosahedron H₃ Coxeter avión	6-orthoplex D₆ Coxeter avión
Esta construcción puede verse geométricamente como los 12 vértices del 6-orthoplex proyectados a 3 dimensiones. Esto representa un plegado geométrico de la D₆ a H₃ Grupos de coxeter: Visto por estas proyecciones ortogonales de plano 2D Coxeter, los dos vértices centrales superpuestos definen el tercer eje en esta asignación.

La siguiente construcción del icosahedron evita computaciones tediosas en el campo número ${displaystyle mathbb {Q} [{sqrt {5}}]}$ necesario en enfoques más elementales.

La existencia del icosahedro equivale a la existencia de seis líneas equiangulares en $mathbb{R} ^{3}$ . De hecho, la intersección de un sistema de líneas equiangulares con una esfera euclidiana centrada en su intersección común produce los doce vértices de un icosahedro regular como se puede comprobar fácilmente. Por el contrario, suponiendo la existencia de un icosahedro regular, las líneas definidas por sus seis pares de vértices opuestos forman un sistema equiangular.

Para construir un sistema equiángulo de este tipo, comenzamos con esta matriz cuadrada de 6 × 6:

{displaystyle A=left({begin{array}{crrrrr}0&1&1&1&1&1\1&0&1&-1&-1&1\1&1&0&1&-1&-1\1&-1&1&0&1&-1\1&-1&-1&1&0&1\1&1&-1&-1&1&0end{array}}right).}

Un rendimiento de cálculo directo ${displaystyle A^{2}=5I}$ (donde) $I$ es la matriz de identidad 6 × 6. Esto implica que $A$ ha eigenvalues ${displaystyle -{sqrt {5}}}$ y ${sqrt {5}}$ , ambos con multiplicidad 3 desde $A$ es simétrico y de traza cero.

La matriz ${displaystyle A+{sqrt {5}}I}$ induce así una estructura euclidiana en el espacio cociente ${displaystyle mathbb {R} ^{6}/operatorname {ker} (A+{sqrt {5}}I)}$ , que es isomorfo a $mathbb{R} ^{3}$ desde el núcleo ${displaystyle operatorname {ker} (A+{sqrt {5}}I)}$ de ${displaystyle A+{sqrt {5}}I}$ tiene dimensión 3. La imagen bajo la proyección ${displaystyle pi:mathbb {R} ^{6}to mathbb {R} ^{6}/operatorname {ker} (A+{sqrt {5}}I)}$ de los seis ejes de coordenadas ${displaystyle mathbb {R} ^{6}}$ forma un sistema de seis líneas equiangulares en $mathbb{R} ^{3}$ intersección de par en un ángulo agudo común ${displaystyle arccos 1/{sqrt {5}}}$ . Proyección ortogonal de los vectores de base positiva y negativa ${displaystyle mathbb {R} ^{6}}$ sobre ${sqrt {5}}$ - espacio de genes $A$ rinde así los doce vértices de los icosahedron.

Una segunda construcción directa de la icosahedron utiliza la teoría de la representación del grupo alternante $A_{5}$ actuando por isometrías directas en el icosahedron.

Simetría

Simetría Icosahedral completa tiene 15 planos de espejo (ver como círculos cian grandes en esta esfera) reunión en orden

{displaystyle pi /5,pi /3,pi /2}

ángulos, dividiendo una esfera en 120 dominios fundamentales del triángulo. Hay 6 ejes 5 (azul), 10 ejes 3 veces (rojo), y 15 ejes 2 veces (magenta). Los vértices del icosahedro regular existen en los 5 ejes de rotación.

El grupo de simetría rotacional del icosaedro regular es isomorfo al grupo alterno de cinco letras. Este grupo simple no abeliano es el único subgrupo normal no trivial del grupo simétrico de cinco letras. Dado que el grupo de Galois de la ecuación quíntica general es isomorfo al grupo simétrico de cinco letras, y este subgrupo normal es simple y no abeliano, la ecuación quíntica general no tiene solución en radicales. La prueba del teorema de Abel-Ruffini utiliza este simple hecho, y Felix Klein escribió un libro que hizo uso de la teoría de las simetrías icosaédricas para derivar una solución analítica a la ecuación quíntica general (Klein 1884). Consulte simetría icosaédrica: geometrías relacionadas para obtener más información y simetrías relacionadas en siete y once letras.

El grupo de simetría completa del icosahedro (incluyendo reflexiones) es conocido como el grupo icosahedral completo, y es isomorfo al producto del grupo de simetría rotacional y el grupo $C_{2}$ del tamaño dos, que es generado por la reflexión a través del centro del icosahedro.

Estelaciones

El icosaedro tiene un gran número de estelaciones. De acuerdo con reglas específicas definidas en el libro The Fifty-Nine Icosahedra, se identificaron 59 estelaciones para el icosaedro regular. La primera forma es el propio icosaedro. Uno es un poliedro regular de Kepler-Poinsot. Tres son poliedros compuestos regulares.

21 de 59 estelas
Las caras del icosahedro se extendieron hacia fuera mientras los planos se intersectan, definiendo regiones en el espacio como lo muestra este diagrama de la estelación de las intersecciones en un solo plano.

Fetaciones

El dodecaedro estrellado pequeño, el dodecaedro grande y el icosaedro grande son tres facetas del icosaedro regular. Comparten la misma disposición de vértices. Todos tienen 30 aristas. El icosaedro regular y el gran dodecaedro comparten la misma disposición de bordes pero difieren en las caras (triángulos frente a pentágonos), al igual que el pequeño dodecaedro estrellado y el gran icosaedro (pentagramas frente a triángulos).

Convex	Estrellas regulares
icosahedron	gran dodecahedron	pequeño dodecaedro estelar	grandes icosahedron

Relaciones geométricas

Inscrito en otros sólidos platónicos

El icosaedro regular es el poliedro dual del dodecaedro regular. Un icosaedro se puede inscribir en un dodecaedro colocando sus vértices en los centros de las caras del dodecaedro y viceversa.

Un icosaedro se puede inscribir en un octaedro colocando sus 12 vértices en las 12 aristas del octaedro de manera que dividan cada arista en sus dos secciones áureas. Debido a que las secciones áureas son desiguales, hay cinco formas diferentes de hacer esto de manera consistente, por lo que se pueden inscribir cinco icosaedros disjuntos en cada octaedro.

Un icosahedro de longitud de borde ${textstyle {frac {1}{varphi }}approx 0.618}$ puede ser inscrito en un cubo de longitud de unidad colocando seis de sus bordes (3 pares opuestos ortogonales) en las caras cuadradas del cubo, centrado en los centros faciales y paralelo o perpendicular a los bordes de la plaza. Debido a que hay cinco veces más bordes icosahedron como caras de cubo, hay cinco maneras de hacer esto consistentemente, por lo que cinco icosahedra descomunal puede ser inscrito en cada cubo. Las longitudes del borde del cubo y el icosahedro inscrito están en la relación de oro.

Relaciones con 600 células y otros 4 politopos

El icosaedro es el análogo dimensional del politopo regular de 4 dimensiones de 600 celdas. La celda de 600 tiene secciones transversales icosaédricas de dos tamaños, y cada uno de sus 120 vértices es una pirámide icosaédrica; el icosaedro es la figura de vértice de la celda de 600.

La unidad-radius 600-cel tiene células tetraedral de longitud de borde ${textstyle {frac {1}{varphi }}approx 0.618}$ , 20 de los cuales se encuentran en cada vértice para formar una pirámide icosahedral (una pirámide de 4 con un icosahedro como su base). Así la 600 celda contiene 120 icosahedra de longitud de borde ${textstyle {frac {1}{varphi }}approx 0.618}$ . Los 600 celdas también contienen cubos de longitud unitaria y octava de longitud unitaria como características interiores formadas por sus acordes de longitud unitaria. En la unidad-radius 120-cell (otro 4-polytope regular que es tanto el doble de la 600-cell y un compuesto de 5 600-células) encontramos los tres tipos de icosahedra inscrita (en un dodecahedro, en un octaedro, y en un cubo).

Un 4 politopo semirregular, el chato de 24 células, tiene células icosaédricas.

Relaciones con otros politopos uniformes

El icosaedro es único entre los sólidos platónicos por poseer un ángulo diedro no inferior a 120°. Su ángulo diedro es de aproximadamente 138,19°. Así, al igual que los hexágonos tienen ángulos no menores de 120° y no pueden usarse como las caras de un poliedro regular convexo porque tal construcción no cumpliría con el requisito de que al menos tres caras se encuentren en un vértice y dejen un defecto positivo para plegarse. tres dimensiones, los icosaedros no pueden ser utilizados como las celdas de un policorón regular convexo porque, de manera similar, al menos tres celdas deben encontrarse en un borde y dejar un defecto positivo para el plegamiento en cuatro dimensiones (en general para un politopo convexo en n dimensiones, al menos tres facetas deben encontrarse en un pico y dejar un defecto positivo para el plegado en el espacio n). Sin embargo, cuando se combinan con celdas adecuadas que tienen ángulos diédricos más pequeños, los icosaedros se pueden usar como celdas en polícoros semirregulares (por ejemplo, el romo de 24 celdas), al igual que los hexágonos se pueden usar como caras en poliedros semirregulares (por ejemplo, el icosaedro truncado). Finalmente, los politopos no convexos no tienen los mismos requisitos estrictos que los politopos convexos, y los icosaedros son de hecho las celdas del icosaedro de 120 celdas, uno de los diez policoras regulares no convexos.

Hay distorsiones del icosaedro que, aunque ya no son regulares, son uniformes en los vértices. Estos son invariantes bajo las mismas rotaciones que el tetraedro, y son algo análogos al cubo chato y al dodecaedro chato, incluidas algunas formas que son quirales y algunas con T_h-simetría, es decir, tienen diferentes planos de simetría del tetraedro.

Un icosaedro también puede denominarse bipirámide pentagonal giroelongada. Se puede descomponer en una pirámide pentagonal giroalargada y una pirámide pentagonal o en un antiprisma pentagonal y dos pirámides pentagonales iguales.

Relación con el triacontaedro de 6 cubos y rómbico

El icosahedro se puede proyectar a 3D desde el 6D 6-demicube usando la misma base vectores que forman el casco del triacontahedro Rhombic desde el 6-cubo. Muestra aquí incluyendo los 20 vértices interiores que no están conectados por los 30 bordes de casco exterior de la longitud de la norma 6D ${sqrt {2}}$ . Los vértices interiores forman un dodecaedro.

Los vectores base de proyección 3D [u,v,w] utilizados son:

{displaystyle {begin{aligned}u&=(1,varphi0,-1,varphi0)\v&=(varphi0,1,varphi0,-1)\w&=(0,1,varphi0,-1,varphi)\end{aligned}}}

Simetrías

Subgrupos de simetría Icosahedral

Hay 3 colores uniformes del icosaedro. Estos colores se pueden representar como 11213, 11212, 11111, nombrando las 5 caras triangulares alrededor de cada vértice por su color.

El icosaedro se puede considerar un tetraedro chato, ya que la amortiguación de un tetraedro regular da como resultado un icosaedro regular con simetría tetraédrica quiral. También se puede construir como un octaedro truncado alternado, con simetría piritoédrica. La versión de simetría piritoédrica a veces se denomina pseudoicosaedro y es dual al piritoedro.

	Recursos ordinarios	Uniforme uniforme		2-uniform			3-uniform
Nombre	Recursos ordinarios icosahedron	Snuboctahedron	Snubtetratetrahedron	Gyroelongatedpentagonalbipyramid	Triangulargyrobianticupola	Snub triangular antiprismos	cuadrado bipyramid
Imagen
Facecoloring	(11111)	(11212)	(11213)	(11122) (22222)	(12332) (23333)	(11213) (11212)	(11424) (22434) (33414)
Coxeterdiagram
Schläflisymbol	{3,5}	S{3,4}	sr{3,3}	()		ss{2,6}	sdt{2,4}
Conway	I	HtO	s T	k5A5		SY3 = HtA3	HtdP4
Simmetría	I_h [5,3] (*532)	T_h [3]⁺,4] (3*2)	T [3,3]⁺ (332)	D_5d [2]⁺,10] (2*5)	D_3d [2]⁺,6] (2*3)	D₃ [3,2]⁺ (322)	D_2h [2,2] (*222)
Simmetría orden	120	24	12	20	12	6	8

Usos y formas naturales

nanopartícula de oro vista por microscopía electrónica de transmisión.

Estructura de γ-boron.

Biología

Muchos virus, p. virus del herpes, tienen conchas icosaédricas. Las estructuras virales están formadas por subunidades de proteínas idénticas repetidas conocidas como capsómeros, y el icosaedro es la forma más fácil de ensamblar usando estas subunidades. Se usa un poliedro regular porque se puede construir a partir de una sola unidad básica de proteína que se usa una y otra vez; esto ahorra espacio en el genoma viral.

También se encontraron varios orgánulos bacterianos con forma icosaédrica. Las enzimas que encapsulan la capa icosaédrica y los intermediarios lábiles están formados por diferentes tipos de proteínas con dominios BMC.

En 1904, Ernst Haeckel describió varias especies de Radiolaria, entre ellas Circogonia icosaedra, cuyo esqueleto tiene la forma de un icosaedro regular. Una copia de la ilustración de Haeckel para este radiolario aparece en el artículo sobre poliedros regulares.

Química

Los closo-carboranos son compuestos químicos con forma muy parecida a la del icosaedro. El maclado icosaédrico también ocurre en cristales, especialmente en nanopartículas.

Muchos boruros y alótropos de boro contienen icosaedro de boro B₁₂ como unidad de estructura básica.

Juguetes y juegos

Veintiuno muere de Egipto Ptolemaico

Muerto de veinte lados

Los dados icosaédricos de veinte caras se han utilizado desde la antigüedad.

En varios juegos de rol, como Dungeons & Dragones, el dado de veinte caras (d20 para abreviar) se usa comúnmente para determinar el éxito o el fracaso de una acción. Este dado tiene la forma de un icosaedro regular. Puede estar numerado desde "0" a "9" dos veces (en cuya forma suele servir como un dado de diez caras, o d10), pero la mayoría de las versiones modernas están etiquetadas de "1" a "20".

Un icosaedro es el tablero de juego tridimensional de Icosagame, anteriormente conocido como Ico Crystal Game.

Se utiliza un icosaedro en el juego de mesa Scattergories para elegir una letra del alfabeto. Se omiten seis letras (Q, U, V, X, Y y Z).

En el juego Nintendo 64 Kirby 64: The Crystal Shards, el jefe Miracle Matter es un icosaedro regular.

Dentro de una Magic 8-Ball, varias respuestas a preguntas de sí o no están inscritas en un icosaedro regular.

El "skwish" baby toy es un objeto de tensegridad en forma de icosaedro de Jessen, que tiene las mismas coordenadas de vértice que un icosaedro regular y el mismo número de caras, pero con seis aristas giradas 90° para conectarse a otros vértices.

Tensegridad

El octaedro ha sido ampliamente estudiado en el campo de la tensegridad. Debido a su simetría esférica y su alta relación resistencia/masa, la forma se convirtió en una buena candidata para estructuras espaciales desplegables de tensegridad como la SuperBALL de la NASA. El robot está compuesto por varillas, cables y actuadores de diferentes escalas y actualmente está en desarrollo entre el Grupo de Robótica Inteligente del Centro de Investigación Ames de la NASA y el Laboratorio de Robótica de Tensegridad Dinámica (DTRL). Su configuración no desplegada es muy compacta, por lo que es ideal para adaptarse a las limitaciones de espacio de los carenados de cohetes.

El Icosaedro en tensegridad está compuesto por seis puntales y veinticuatro cables que conectan doce nodos. Un estado de autoestrés está presente dentro de la combinación lograda mediante el uso de la morfogénesis celular.

Otros

R. Buckminster Fuller y el cartógrafo japonés Shoji Sadao diseñaron un mapa del mundo en forma de icosaedro desplegado, llamado proyección Fuller, cuya distorsión máxima es de solo el 2%.

El dúo estadounidense de música electrónica ODESZA utiliza un icosaedro normal como logotipo.

Gráfico icosaédrico

El esqueleto del icosaedro (los vértices y las aristas) forma un gráfico. Es uno de los 5 gráficos platónicos, cada uno un esqueleto de su sólido platónico.

El alto grado de simetría del polígono se replica en las propiedades de este gráfico, que es transitivo en distancia y simétrico. El grupo de automorfismos tiene orden 120. Los vértices se pueden colorear con 4 colores, las aristas con 5 colores y el diámetro es 3.

El grafo icosaédrico es hamiltoniano: hay un ciclo que contiene todos los vértices. También es un gráfico plano.

Proyección ortogonal

Icosaedros regulares disminuidos

Hay 4 sólidos de Johnson relacionados, incluidas caras pentagonales con un subconjunto de los 12 vértices. El icosaedro regular diseccionado similar tiene 2 vértices adyacentes disminuidos, dejando dos caras trapezoidales, y un bifastigium tiene 2 conjuntos opuestos de vértices eliminados y 4 caras trapezoidales. El antiprisma pentagonal se forma quitando dos vértices opuestos.

Formulario	J2	Bifastigio	J63	J62	S{2,10}	J11
Vertices	6 of 12	8 de 12	9 of 12	10 of 12		11 of 12
Simmetría	C_5v[5], (*55) Orden 10	D_2h, [2,2], *222 Orden 8	C_3v, [3], (*33) Orden 6	C_2v, [2], (*22) Orden 4	D_5d, [2]⁺,10], (2*5) Orden 20	C_5v[5], (*55) Orden 10
Imagen

Polítopos y poliedros relacionados

El icosaedro se puede transformar mediante una secuencia de truncamiento en su dual, el dodecaedro:

Family of uniform icosahedral polyhedra
Simetría: [5,3], (*532)							[5,3]⁺, (532)


{5,3}	t{5,3}	r{5,3}	t{3,5}	{3,5}	rr{5,3}	tr{5,3}	sr{5,3}
Duals to uniform polyhedra

V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Como tetraedro chato y alternancia de un octaedro truncado, también existe en las familias de simetría tetraédrica y octaédrica:

Familia de polihedra de tetraedral uniforme
Simetría: [3,3], (*332)							[3,3]⁺, (332)


{3,3}	t{3,3}	r{3,3}	t{3,3}	{3,3}	rr{3,3}	tr{3,3}	sr{3,3}
Duals to uniform polyhedra

V3.3.3	V3.6.6	V3.3.3.3	V3.6.6	V3.3.3	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3

Uniform octaedral polyhedra
Simetría: [4,3], (*432)							[4,3]⁺ (432)	[1]⁺,4,3] = [3,3] (*332)		[3]⁺,4] (3*2)
{4,3}	t{4,3}	r{4,3} r{3^1.1}	t{3,4} t{3^1.1}	{3,4} {3}^1.1}	rr{4,3} s₂{3,4}	tr{4,3}	sr{4,3}	h{4,3} {3,3}	h2{4,3} t{3,3}	S{3,4} s{3^1.1}

		=	=	=				= o	= o	=

Duals to uniform polyhedra
V43	V3.82	V(3.4)2	V4.62	V34	V3.43	V4.6.8	V34.4	V33	V3.62	V35

Este poliedro está relacionado topológicamente como parte de una secuencia de poliedros regulares con los símbolos de Schläfli {3,n}, continuando en el plano hiperbólico.

*n32 mutación simetría de los revestimientos regulares: {3}n} v t e
Spherical				Euclid.	Hipersión compacta.		Paraco.	Hiperbólico no consumado

3.3	33	34	35	36	37	38	3 mujeres	3¹²ⁱ	3⁹ⁱ	3⁶ⁱ	3³ⁱ

El icosahedro regular, visto como snub tetrahedron, es un miembro de una secuencia de poliedros y revestimientos con figura de vértice (3.3.3.3.n) y el diagrama Coxeter-Dynkin . Estas cifras y sus duales tienen (n32) simetría rotatoria, estando en el plano euclidiano para $n=6$ , y plano hiperbólico para cualquier nivel superior $n$ . La serie se puede considerar para comenzar con $n=2$ , con un conjunto de caras degeneradas en digones.

n32 mutaciones de la simetría de las baldosas del snub: 3.3.3.3.n v t e
Simmetría n32	Spherical				Euclidean	Hiperbólico compacto		Paracomp.
Simmetría n32	232	332	432	532	632	732	832	JUEGO32
Snub cifras
Config.	3.3.3.2	3.3.3.3.3	3.3.3.3.4	3.3.3.3.5	3.3.3.6	3.3.3.3.7	3.3.3.3.8	3.3.3.3.
Gyro cifras
Config.	V3.3.3.3.2	V3.3.3.3	V3.3.3.3.4	V3.3.3.3.5	V3.3.3.3.6	V3.3.3.3.7	V3.3.3.3.8	V3.3.3.3.

Spherical		Sellos hiperbólicos v t e
{2,5}	{3,5}	{4,5}	{5,5}	{6,5}	{7,5}	{8,5}	...	{Libertad,5}

El icosaedro puede teselar el espacio hiperbólico en el panal icosaédrico de orden 3, con 3 icosaedros alrededor de cada borde, 12 icosaedros alrededor de cada vértice, con el símbolo de Schläfli {3,5,3}. Es una de las cuatro teselaciones regulares en el 3-espacio hiperbólico.

Se muestra aquí como un marco de borde en un modelo de disco Poincaré, con un icosahedron visible en el centro.