Cometa (geometría)

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Simétrico cuadrilátero a través de un diagonal

En geometría euclidiana, una cometa es un cuadrilátero con simetría de reflexión a lo largo de una diagonal. Debido a esta simetría, una cometa tiene dos ángulos iguales y dos pares de lados adyacentes de igual longitud. Las cometas también se conocen como deltoides, pero la palabra deltoides también puede referirse a una curva deltoidea, un objeto geométrico no relacionado que a veces se estudia en relación con los cuadriláteros. Una cometa también puede llamarse dardo, especialmente si no es convexa.

Toda cometa es un cuadrilátero ortodiagonal (sus diagonales forman ángulos rectos) y, cuando es convexa, un cuadrilátero tangencial (sus lados son tangentes a un círculo inscrito). Las cometas convexas son exactamente los cuadriláteros que son tanto ortodiagonales como tangenciales. Incluyen como casos especiales las cometas derechas, con dos ángulos rectos opuestos; los rombos, con dos ejes diagonales de simetría; y los cuadrados, que también son casos especiales tanto de cometas rectas como de rombos.

El cuadrilátero con la mayor relación entre el perímetro y el diámetro es una cometa, con ángulos de 60°, 75° y 150°. Cometas de dos formas (una convexa y otra no convexa) forman los prototipos de una de las formas del mosaico de Penrose. Las cometas también forman las caras de varios poliedros y teselaciones con simetría de caras, y se han estudiado en relación con los billares exteriores, un problema en las matemáticas avanzadas de los sistemas dinámicos.

Definición y clasificación

Kits de convex y concave

Una cometa es un cuadrilátero con simetría de reflexión en una de sus diagonales. De manera equivalente, es un cuadrilátero cuyos cuatro lados se pueden agrupar en dos pares de lados adyacentes de igual longitud. Se puede construir una cometa a partir de los centros y puntos de cruce de dos círculos que se cruzan. Las cometas, tal como se describen aquí, pueden ser convexas o cóncavas, aunque algunas fuentes restringen cometa para referirse únicamente a cometas convexas. Un cuadrilátero es una cometa si y solo si se cumple cualquiera de las siguientes condiciones:

Los cuatro lados se pueden dividir en dos pares de lados adyacentes de igual longitud.
Una diagonal cruza el punto medio de la otra diagonal a un ángulo recto, formando su bisector perpendicular. (En el caso de cóncava, la línea a través de uno de los bisectes diagonales el otro.)
Una diagonal es una línea de simetría. Se divide el cuadrilátero en dos triángulos congruentes que son imágenes espejo uno del otro.
Un bisecto diagonal ambos de los ángulos en sus dos extremos.

Los cuadriláteros de cometas reciben su nombre de las cometas voladoras impulsadas por el viento, que a menudo tienen esta forma y que, a su vez, reciben el nombre de un pájaro que revolotea y el sonido que hace. Según Olaus Henrici, el nombre "cometa" fue dado a estas formas por James Joseph Sylvester.

Los cuadriláteros se pueden clasificar jerárquicamente, lo que significa que algunas clases de cuadriláteros incluyen otras clases, o particionalmente, lo que significa que cada cuadrilátero pertenece a una sola clase. Clasificadas jerárquicamente, las cometas incluyen los rombos (cuadriláteros con cuatro lados iguales) y los cuadrados. Todas las cometas equiláteras son rombos y todas las cometas equiángulos son cuadrados. Cuando se clasifican particionalmente, los rombos y los cuadrados no serían cometas, porque pertenecen a una clase diferente de cuadriláteros; De manera similar, las cometas correctas que se analizan a continuación no serían cometas. El resto de este artículo sigue una clasificación jerárquica; Los rombos, los cuadrados y las cometas rectas se consideran cometas. Al evitar la necesidad de considerar casos especiales, esta clasificación puede simplificar algunos datos sobre las cometas.

Al igual que las cometas, un paralelogramo también tiene dos pares de lados de igual longitud, pero son opuestos entre sí en lugar de adyacentes. Cualquier cuadrilátero que no se cruce a sí mismo y tenga un eje de simetría debe ser una cometa, con un eje de simetría diagonal; o un trapezoide isósceles, con un eje de simetría a través de los puntos medios de dos lados. Estos incluyen como casos especiales el rombo y el rectángulo respectivamente, y el cuadrado, que es un caso especial de ambos. Los cuadriláteros autocruzados incluyen otra clase de cuadriláteros simétricos, los antiparalelogramos.

Casos especiales

Kit derecho

Equidiagonal kite en un triángulo Reuleaux

Lute of Pythagoras

Las cometas derechas tienen dos ángulos rectos opuestos. Las cometas correctas son exactamente las cometas que son cuadriláteros cíclicos, lo que significa que hay un círculo que pasa por todos sus vértices. Los cuadriláteros cíclicos pueden definirse de manera equivalente como los cuadriláteros en los que dos ángulos opuestos son suplementarios (suman 180°); si un par es complementario, el otro también lo es. Por lo tanto, las cometas correctas son las cometas con dos ángulos suplementarios opuestos, para cualquiera de los dos pares de ángulos opuestos. Debido a que las cometas rectas circunscriben un círculo y están inscritas en otro círculo, son cuadriláteros bicéntricos (en realidad tricéntricos, ya que también tienen un tercer círculo exteriormente tangente a las extensiones de sus lados). Si los tamaños de un círculo inscrito y circunscrito son fijos, la cometa derecha tiene el área más grande de cualquier cuadrilátero atrapada entre ellos.

Entre todos los cuadriláteros, la forma que tiene la mayor relación entre su perímetro y su diámetro es una cometa equidiagonal con ángulos de 60°, 75°, 150°, 75°. Sus cuatro vértices se encuentran en las tres esquinas y uno de los puntos medios laterales del triángulo de Reuleaux. Cuando un papalote equidiagonal tiene lados de longitud menor o igual a sus diagonales, como este o el cuadrado, es uno de los cuadriláteros con mayor relación de área a diámetro.

Una cometa con tres ángulos de 108° y un ángulo de 36° forma el casco convexo del laúd de Pitágoras, un fractal hecho de pentagramas anidados. Los cuatro lados de esta cometa se encuentran en cuatro de los lados de un pentágono regular, con un triángulo dorado pegado en el quinto lado.

Solo hay ocho polígonos que pueden teselar el plano de tal manera que reflejar cualquier tesela a través de cualquiera de sus bordes produzca otra tesela; esta disposición se denomina teselación de bordes. Uno de ellos es un teselado por una cometa derecha, con ángulos de 60°, 90° y 120°. Produce el mosaico trihexagonal deltoidal (ver § Mosaicos y poliedros).

En geometría no euclidiana, una cometa puede tener tres ángulos rectos y un ángulo no recto, formando un caso especial de cuadrilátero de Lambert. El cuarto ángulo es agudo en geometría hiperbólica y obtuso en geometría esférica.

Propiedades

Diagonales, ángulos y área

Cada cometa es un cuadrilátero ortodiagonal, lo que significa que sus dos diagonales forman ángulos rectos entre sí. Además, una de las dos diagonales (el eje de simetría) es la bisectriz perpendicular de la otra, y también es la bisectriz de los dos ángulos que forma. Debido a su simetría, los otros dos ángulos de la cometa deben ser iguales. El eje de simetría diagonal de una cometa convexa la divide en dos triángulos congruentes; la otra diagonal lo divide en dos triángulos isósceles.

Como es cierto más generalmente para cualquier cuadrilátero ortodiagonal, el área $A$ de una cometa se puede calcular como la mitad del producto de las longitudes de las diagonales $p$ y $q$ :

{displaystyle A={frac {pcdot q}{2}}.}

a

b

theta

{displaystyle displaystyle A=abcdot sin theta.}

Círculo inscrito

Dos círculos tangentes a los lados y los lados extendidos de una cometa convexa (top), kite no-convex (middle), y antiparallelograma (bottom). Las cuatro líneas a través de los lados de cada cuadrilátero son bitangents de los círculos.

Toda cometa convexa es también un cuadrilátero tangencial, un cuadrilátero que tiene una circunferencia inscrita. Es decir, existe un círculo que es tangente a los cuatro lados. Además, si una cometa convexa no es un rombo, hay un círculo fuera de la cometa que es tangente a las extensiones de los cuatro lados; por lo tanto, toda cometa convexa que no sea un rombo es un cuadrilátero ex-tangencial. Las cometas convexas que no son rombos son exactamente los cuadriláteros que son tangenciales y extangenciales. Para cada cometa cóncava existen dos circunferencias tangentes a dos de los lados y a las prolongaciones de los otros dos: una es interior a la cometa y toca los dos lados opuestos al ángulo cóncavo, mientras que la otra circunferencia es exterior a la cometa y toca la cometa en los dos bordes incidentes al ángulo cóncavo.

Para una cometa convexa con longitudes diagonales $p$ y $q$ y longitudes laterales $a$ y $b$ , el radio $r$ del círculo inscrito es

{displaystyle r={frac {pq}{2(a+b)}},}

rho

{displaystyle rho ={frac {pq}{2|a-b|}}.}

Un cuadrilátero tangencial también es una cometa si y solo si se cumple cualquiera de las siguientes condiciones:

El área es la mitad del producto de las diagonales.
Las diagonales son perpendiculares. (Así los kites son exactamente los cuadriláteros que son tanto cursi como ortodiagonal.)
Los dos segmentos de línea que conectan puntos opuestos de la tangencia tienen igual longitud.
Las longitudes tangentes, distancias de un punto de tangencia a un vértice adyacente del cuadrilátero, son iguales a dos vértices opuestos del cuadrilátero. (En cada vértice, hay dos puntos adyacentes de la tangencia, pero son la misma distancia que uno del vértice, por lo que cada vértice tiene una sola longitud tangente.)
Los dos bimedios, segmentos de línea que conectan puntos intermedios de bordes opuestos, tienen igual longitud.
Los productos de longitudes laterales opuestas son iguales.
El centro del incircle se encuentra en una línea de simetría que también es diagonal.

Si las diagonales en un cuadrilátero tangencial $ABCD$ intersección en $P$ , y los círculos de triángulos ${displaystyle ABP}$ , ${displaystyle BCP}$ , ${displaystyle CDP}$ , ${displaystyle DAP}$ tienen radio $r_{1}$ , $r_{2}$ , $r_3$ , y ${displaystyle r_{4}}$ respectivamente, entonces el cuadrilátero es una cometa si y sólo si

{displaystyle r_{1}+r_{3}=r_{2}+r_{4}.}

P

R_{1}

R_{2}

R_{3}

R_{4}

{displaystyle R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4}.}

Dualidad

Una cometa y su doble isosceles trapezoid

Las cometas y los trapecios isósceles son duales entre sí, lo que significa que existe una correspondencia entre ellos que invierte la dimensión de sus partes, llevando los vértices a los lados y los lados a los vértices. De cualquier cometa, la circunferencia inscrita es tangente a sus cuatro lados en los cuatro vértices de un trapezoide isósceles. Para cualquier trapezoide isósceles, las líneas tangentes al círculo que lo circunscribe en sus cuatro vértices forman los cuatro lados de una cometa. Esta correspondencia también se puede ver como un ejemplo de reciprocidad polar, un método general para puntos correspondientes con líneas y viceversa dado un círculo fijo. Aunque no tocan el círculo, los cuatro vértices de la cometa son recíprocos en este sentido a los cuatro lados del trapezoide isósceles. Las características de las cometas y los trapecios isósceles que se corresponden entre sí bajo esta dualidad se comparan en la siguiente tabla.

Isosceles trapezoid	Kite
Dos pares de ángulos adyacentes iguales	Dos pares de lados adyacentes iguales
Dos lados opuestos iguales	Dos ángulos opuestos iguales
Dos lados opuestos con un bisector perpendicular compartido	Dos ángulos opuestos con un bisector de ángulo compartido
Un eje de simetría a través de dos lados opuestos	Un eje de simetría a través de dos ángulos opuestos
Circunscripción círculo a través de todos los vértices	Tangente círculo inscrito a todos los lados

Disección

El problema de la equidisección se refiere a la subdivisión de polígonos en triángulos que todos tienen áreas iguales. En este contexto, el espectro espectro espectro espectro espectro espectro espectro espectro espectro espectro espectro espectro espectro espectro de un polígono es el conjunto de números $n$ tal que el polígono tiene una equidisección en $n$ triángulos de la misma zona. Debido a su simetría, el espectro de una cometa contiene todos incluso enteros. Algunos kits especiales también contienen algunos números extraños en sus espectros.

Cada triángulo se puede subdividir en tres kits derecho reunión en el centro de su círculo inscrito. Más generalmente, un método basado en el embalaje del círculo se puede utilizar para subdivide cualquier polígono con $n$ partes en $O(n)$ kites, reunión a punto.

Teselaciones y poliedros

Recursive construction of the kite and dart Penrose tiling

roseta fractal de kits de pene

Todos los kites tilean el plano por repetida reflexión punto alrededor de los puntos intermedios de sus bordes, como lo hacen más generalmente todos los cuadriláteros. Kits y dardos con ángulos 72°, 72°, 72°, 144° y 36°, 72°, 36°, 216°, respectivamente, forman los prototiles de una versión de la baldosa Penrose, un revestimiento aperódico del plano descubierto por el físico matemático Roger Penrose. Cuando una cometa tiene ángulos que, en su ápice y un lado, suma a ${displaystyle pi (1-{tfrac {1}{n}})}$ para algunos enteros positivos $n$ , entonces copias escaladas de esa cometa se puede utilizar para inclinar el plano en una roseta fractal en la que sucesivamente anillos más grandes de $n$ Los kites rodean un punto central. Estas rosetas se pueden utilizar para estudiar el fenómeno del colapso inelástico, en el que un sistema de partículas móviles que se reúnen en colisiones inelásticas coalesce en un punto común.

Una cometa con ángulos de 60°, 90°, 120°, 90° también puede formar mosaicos en el plano mediante reflejos repetidos en sus bordes; el teselado resultante, el teselado trihexagonal deltoidal, superpone un teselado del plano por hexágonos regulares y triángulos isósceles. El icositetraedro deltoidal, el hexecontaedro deltoidal y el trapezoedro son poliedros con caras congruentes en forma de cometa, que alternativamente pueden considerarse mosaicos de la esfera por cometas esféricas congruentes. Hay infinitas teselaciones con simetría de caras del plano hiperbólico por cometas. Estos poliedros (equivalentemente, mosaicos esféricos), los mosaicos trihexagonales cuadrados y deltoidales del plano euclidiano, y algunos mosaicos del plano hiperbólico se muestran en la siguiente tabla, etiquetados por configuración de caras (el número de vecinos de cada uno de los cuatro vértices de cada mosaico). Algunos poliedros y mosaicos aparecen dos veces, bajo dos configuraciones de caras diferentes.

Polyhedra			Euclidean
V4.3.4.3	V4.3.4.4	V4.3.4.5	V4.3.4.6
Polyhedra	Euclidean	Sellos hiperbólicos
V4.4.4.3	V4.4.4.4	V4.4.4.5	V4.4.4.6
Polyhedra	Sellos hiperbólicos
V4.3.4.5	V4.4.4.5	V4.5.4.5	V4.6.4.5
Euclidean	Sellos hiperbólicos
V4.3.4.6	V4.4.4.6	V4.5.4.6	V4.6.4.6

Diez dados laterales

Los trapezoedros son otra familia de poliedros que tienen caras congruentes en forma de cometa. En estos poliedros, los bordes de uno de los dos lados de la cometa se encuentran en dos "polos" vértices, mientras que las aristas de la otra longitud forman un camino ecuatorial en zigzag alrededor del poliedro. Son los poliedros duales de los antiprismas uniformes. Un ejemplo comúnmente visto es el trapezoedro pentagonal, usado para dados de diez caras.

Familia de n- trampa mortal
Nombre	Digonal trapezohedron (Tetraedro)	Trigonal	Tetragonal	Pentagonal	Hexagonal	Heptagonal	Octagonal	...	Apeirogonal
Polyhedron								...
Tessellation								...
Configuración facial	V2.3.3.3	V3.3.3.3	V4.3.3.3	V5.3.3.3	V6.3.3.3	V7.3.3.3	V8.3.3.3	...	V dieta.3.3.3

Billares exteriores

El matemático Richard Schwartz ha estudiado billar exterior en kites. Los billares exteriores es un sistema dinámico en el que, desde un punto fuera de un determinado convexo compacto establecido en el plano, se dibuja una línea tangente al conjunto convexo, viaja desde el punto de partida a lo largo de esta línea a otro punto igualmente lejos del punto de tangencia, y luego repite el mismo proceso. Se había abierto desde la década de 1950 si cualquier sistema definido de esta manera podría producir caminos que se alejan arbitrariamente de su punto de partida, y en un documento de 2007 Schwartz solucionó este problema encontrando caminos de billar sin límites para el kit con ángulos 72°, 72°, 72°, 144°, el mismo que el utilizado en el revestimiento Penrose. Más tarde escribió un monografía analizando billar exterior para formas de cometa más generalmente. Para este problema, cualquier transformación affine de una cometa conserva las propiedades dinámicas de los billares externos en ella, y es posible transformar cualquier cometa en una forma donde tres vértices están en los puntos $(-1,0)$ y ${displaystyle (0,pm 1)}$ , con la cuarta ${displaystyle (alpha0)}$ con $alpha$ en el intervalo de unidad abierta $(0,1)$ . El comportamiento de los billares externos en cualquier cometa depende fuertemente del parámetro $alpha$ y en particular si es racional. Para el caso de la cometa Penrose, ${displaystyle alpha =1/varphi ^{3}}$ , un número irracional, donde ${displaystyle varphi =(1+{sqrt {5}})/2}$ es la relación de oro.