Hexágono mágico

Orden n = 1 M = 1	Orden n = 3 M = 38

Un hexágono mágico de orden n es una disposición de números en un patrón hexagonal centrado con n celdas en cada borde, de tal manera que manera que los números en cada fila, en las tres direcciones, suman la misma constante mágica M. Un hexágono mágico normal contiene los números enteros consecutivos del 1 al 3n² − 3n + 1. Resulta descubrimos que los hexágonos mágicos normales existen sólo para n = 1 (lo cual es trivial, ya que está compuesto por sólo 1 celda) y n = 3. Además, la solución de orden 3 es esencialmente único. Meng también dio una prueba constructiva menos compleja.

El hexágono mágico de orden 3 se ha publicado muchas veces como un 'nuevo' descubrimiento. Una referencia temprana, y posiblemente el primer descubridor, es Ernst von Haselberg (1887).

Prueba de hexágonos mágicos normales

Los números en el hexágono son consecutivos, y funcionan de 1 a 1 3n2− − 3n+1{displaystyle 3n^{2}-3n+1}. De ahí que su suma sea un número triangular, a saber:

s=12()3n2− − 3n+1)()3n2− − 3n+2)=9n4− − 18n3+18n2− − 9n+22{displaystyle s={1over {2}(3n^{2}-3n+1)(3n^{2}-3n+2)={9n^{4}-18n^{3}+18n^{2}-9n+2}} {2}}}}}}} {}}}} {}}}}

Hay r = 2n − 1 filas corriendo por cualquier dirección dada (E-W, NE-SW, o NW-SE). Cada una de estas filas suma hasta el mismo número M. Por lo tanto:

M=sr=9n4− − 18n3+18n2− − 9n+22()2n− − 1){displaystyle M={s over {}={9n^{4}-18n^{3}+18n^{2}-9n+2 over {2(2n-1)}}}}

Esto puede ser reescrito como

M=()9n34− − 27n28+45n16− − 2732)+532()2n− − 1){displaystyle M=left({frac {9n^{3}{4}}-{frac {27n^{2}}{8}+{frac {45n}{16}}-{frac {27}{32}}right)+{frac {5}{32left(2n-1right)}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {

Multiplicar por 32 da

32M=72n3− − 108n2+90n− − 27+52n− − 1{displaystyle 32M=72n^{3}-108n^{2}+90n-27+{5 over 2n-1}

que muestra 52n− − 1{displaystyle {frac {5}{2n-1}} debe ser un entero, por lo tanto 2n − 1 debe ser un factor de 5, a saber, 2n ± 1 o 2n − 1 = ±5. n≥ ≥ 1{displaystyle ngeq 1} que cumplen con esta condición n=1{displaystyle n=1} y n=3{displaystyle n=3}, demostrando que no hay hexágonos mágicos normales excepto los del orden 1 y 3.

Hexágonos mágicos anormales

Aunque no existen hexágonos mágicos normales con orden superior a 3, sí existen ciertos anormales. En este caso, anormal significa comenzar la secuencia de números que no sean 1. Arsen Zahray descubrió estos hexágonos de orden 4 y 5:

Orden No 4 M = 111	Orden 5 M = 244

El orden 4 hexágono comienza con 3 y termina con 39, sus filas resumiendo a 111. El hexágono orden 5 comienza con 6 y termina con 66 y suma a 244.

Un hexágono de orden 5 que comienza con 15, termina en 75 y suma 305 es este:

No es posible una suma superior a 305 para hexágonos de orden 5.

Ordena 5 hexágonos, donde la "X" son marcadores de posición para hexágonos de orden 3, que completan la secuencia numérica. El de la izquierda contiene el hexágono de suma 38 (números del 1 al 19) y el de la derecha, uno de los 26 hexágonos de suma 0 (números −9 al 9). Para obtener más información, visite el artículo de Wikipedia en alemán.

A continuación se puede ver un hexágono de orden 6. Fue creado por Louis Hoelbling el 11 de octubre de 2004:

Empieza con 21, termina en 111 y su suma es 546.

Este hexágono mágico de orden 7 fue descubierto mediante recocido simulado por Arsen Zahray el 22 de marzo de 2006:

Empieza con 2, termina en 128 y su suma es 635.

Louis K. Hoelbling generó un hexágono mágico de orden 8 el 5 de febrero de 2006:

Empieza con −84 y termina con 84, y su suma es 0.

Hexágonos en T mágicos

Los hexágonos también se pueden construir con triángulos, como lo muestran los siguientes diagramas.

Orden 2	Orden 2 con números 1–24

Este tipo de configuración se puede llamar hexágono en T y tiene muchas más propiedades que el hexágono de hexágonos.

Como con lo anterior, las filas de triángulos corren en tres direcciones y hay 24 triángulos en un T-hexágono de orden 2. En general, un T-hexágono de orden n tiene 6n2{displaystyle 6n^{2} triángulos. La suma de todos estos números se da por:

S=3n2()6n2+1){displaystyle S=3n^{2}(6n^{2}+1)}

Si intentamos construir un hexágono T mágico de lado n, tenemos que elegir que n sea par, porque hay r = 2n filas, por lo que la suma en cada fila debe ser

M=SR=3n2()6n2+1)2n{displaystyle M={frac {fn} {fn} {fn}} {fn}}} {fn}}}} {fn}}}} {fn}}}} {fn}}} {fn}}}}} {fn}}}}} {fn}}}} {fn}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}} {m}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}} {f}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\

Para que esto sea un entero, n tiene que ser uniforme. Hasta la fecha, se han descubierto T-hexágonos mágicos de orden 2, 4, 6 y 8. El primero fue un T-hexágono mágico de orden 2, descubierto por John Baker el 13 de septiembre de 2003. Desde entonces, Juan ha estado colaborando con David King, quien descubrió que hay 59,674,527 no congruentes magia T-hexágonos del orden 2.

Magia T-hexagons tienen una serie de propiedades en común con cuadrados mágicos, pero también tienen sus propias características especiales. Lo más sorprendente es que la suma de los números en los triángulos que apuntan hacia arriba es la misma que la suma de los en triángulos que apuntan hacia abajo (no importa cuán grande sea el T-hexágono). En el ejemplo anterior,

17 + 20 + 22 + 21 + 2 + 6 + 10 + 14 + 3 + 16 + 12 + 7

= 5 + 11 + 19 + 8 + 13 + 4 + 1 + 24 + 15 + 23 + 18

= 150