Heterocedasticidad condicional autorregresiva

En econometría, el modelo heteroscedasticidad condicional autorregresiva ( Arch ) es un modelo estadístico para datos de series de tiempo que describe la varianza del término de error actual o innovación en función de la función real tamaños de los períodos de tiempo anteriores ' términos de error; A menudo, la varianza está relacionada con los cuadrados de las innovaciones anteriores. El modelo ARCH es apropiado cuando la varianza de error en una serie de tiempo sigue un modelo autorregresivo (AR); Si se supone un modelo de promedio móvil autorregresivo (ARMA) para la varianza de error, el modelo es un modelo de heteroscedasticidad condicional autorregresiva generalizada ( Garch ).

Los modelos de Arch se emplean comúnmente en el modelado de series de tiempo financieras que exhiben la volatilidad y la agrupación de volatilidad que varían en el tiempo, es decir, períodos de columpios intercalados con períodos de calma relativa. Los modelos de tipo arco a veces se consideran en la familia de modelos de volatilidad estocástica, aunque esto es estrictamente incorrecto ya que en el tiempo t la volatilidad está completamente predeterminada (determinista) dados de valores anteriores.

Especificación del modelo

Para modelar una serie de tiempo utilizando un proceso ARCH, dejemos ${displaystyle ~epsilon ¿Qué?$denota los términos de error (retorno residuales, con respecto a un proceso medio), es decir, los términos de la serie. Éstos ${displaystyle ~epsilon ¿Qué?$ se dividen en una pieza estocástica ${displaystyle z_{t}$ y una desviación estándar dependiente del tiempo ${displaystyle sigma _{t}$ caracterizando el tamaño típico de los términos para que

${displaystyle ~epsilon ¿Qué? ¿Qué?$

La variable aleatoria ${displaystyle z_{t}$ es un fuerte proceso de ruido blanco. La serie ${displaystyle sigma _{2}}$ es modelado por

${displaystyle sigma ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? +alpha _{q}epsilon ¿Qué? ¿Qué? ##{i=1} {q}alpha ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué?$,

Donde ${displaystyle ~alpha ¿Por qué?$ y ${displaystyle alpha _{i}geq 0,~i confianza0}$.

Un ARCH(q) modelo se puede calcular utilizando los mínimos cuadrados ordinarios. Un método para probar si los residuos ${displaystyle epsilon _{t}$ exhibir heteroskedasticidad variando tiempo utilizando la prueba de multiplicador Lagrange fue propuesta por Engle (1982). Este procedimiento es el siguiente:

1. Estimar el mejor ajuste modelo autoregresivo AR(q) ${displaystyle Y... +a_{q}y_{t-q}+epsilon ¿Qué? ##{i=1} {q}a_{i}y_{t-i}+epsilon ¿Qué?$.
2. Obtener los cuadrados del error ${displaystyle {hat {epsilon } {2}$ y los regresen en una constante q valores marcados:

   ${displaystyle {hat {epsilon ♪♪♪ {t} {2}=alpha ¿Qué? ##{i=1} {q}alpha ¿Qué? }$

   Donde q es la longitud de los lagos ARCH.

3. La hipótesis nula es que, en ausencia de componentes ARCH, tenemos ${displaystyle alpha _{i}=0}$ para todos ${displaystyle i=1,cdotsq}$. La hipótesis alternativa es que, en presencia de componentes ARCH, al menos uno de los estimados ${displaystyle alpha _{i}$ los coeficientes deben ser significativos. En una muestra T residuales bajo la hipótesis nula de ningún error ARCH, la estadística de prueba T.R2 A continuación ${displaystyle chi ^{2}$ distribución con q grados de libertad, donde ${displaystyle T'}$ es el número de ecuaciones en el modelo que se ajusta a los residuales vs los lags (es decir,. ${displaystyle T'=T-q}$). Si T.R2 es más grande que el valor de la tabla Chi-square, nosotros Rechazo la hipótesis nula y concluir que hay un efecto ARCH en el modelo ARMA. Si T.R2 es más pequeño que el valor de la tabla Chi-square, no rechazamos la hipótesis nula.

Garch

Si se supone que un modelo de promedio móvil autorregresivo (ARMA) para la varianza de error, el modelo es un modelo generalizado de heteroscedasticidad condicional autorregresiva (GARCH).

En ese caso, el GARCH (GARCH)p, qModelo (donde) p es el orden de los términos GARCH ${displaystyle ~sigma ^{2}$ y q es el orden de los términos ARCH ${displaystyle ~epsilon ^{2}$), después de la notación del papel original, se da por

${displaystyle Y... ¿Qué?$

${displaystyle epsilon _{t} ¿Por qué?$

${displaystyle sigma ¿Qué? +alpha _{1}epsilon ¿Por qué? ¿Qué? _{1}sigma - ¿Qué? +beta _{p}sigma ################################################################################################################################################################################################################################################################ +sum ##{i=1} {q}alpha ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? ##{i=1} {p}beta ¿Qué? ¿Qué?$

Generalmente, cuando se prueba la heterocedasticidad en modelos econométricos, la mejor prueba es la prueba de White. Sin embargo, cuando se trata de datos de series temporales, esto significa probar los errores ARCH y GARCH.

La media móvil ponderada exponencialmente (EWMA) es un modelo alternativo en una clase separada de modelos de suavizado exponencial. Como alternativa al modelado GARCH, tiene algunas propiedades atractivas, como una mayor ponderación de las observaciones más recientes, pero también desventajas, como un factor de decaimiento arbitrario que introduce subjetividad en la estimación.

Especificación del modelo GARCH(p, q)

La longitud del retraso p de un proceso GARCH(p, q) se establece en tres pasos:

1. Estimar el mejor ajuste AR(q) modelo

   ${displaystyle Y... +a_{q}y_{t-q}+epsilon ¿Qué? ##{i=1} {q}a_{i}y_{t-i}+epsilon ¿Qué?$.

2. Computar y trazar las autocorraciones de ${displaystyle epsilon ^{2}$ por

   ${displaystyle rho ={{sum ¿Por qué? {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} - Sí. {fnMicrosoft Sans Ser _{hat {epsilon} }_{t} {2}-{hat {sigma }$

3. El asintotico, que es para muestras grandes, desviación estándar de ${displaystyle rho (i)}$ es ${displaystyle 1/{sqrt {}}$. Los valores individuales que son más grandes que esto indican errores de GARCH. Para estimar el número total de retrasos, utilice la prueba Ljung-Box hasta que el valor de estos sea inferior al 10% significativo. El Ljung-Box Q-statistic sigue ${displaystyle chi ^{2}$ distribución con n grados de libertad si los residuales cuadrados ${displaystyle epsilon _{2}}$ no están relacionados. Se recomienda considerar hasta los valores T/4 de n. La hipótesis nula indica que no hay errores ARCH o GARCH. Rechazar el nulo significa así que tales errores existen en la varianza condicional.

NGARCH

NAGARCH

GARCH(1,1) asimétrico no lineal (NAGARCH) es un modelo con la especificación:

${displaystyle ~sigma ################################################################################################################################################################################################################################################################ Alpha (~epsilon) ~sigma - ¿Qué? ~sigma _{t-1} {2}$,

Donde ${displaystyle ~alpha geq 0,~beta geq 0,~omega }$ y ${displaystyle ~alpha (1+~theta ^{2}+~beta.$, que garantiza la no negativa y la estabilidad del proceso de varianza.

Para retornos de acciones, parámetro ${displaystyle ~theta }$ generalmente se estima que es positivo; en este caso, refleja un fenómeno comúnmente conocido como el "efecto del promedio", lo que significa que los retornos negativos aumentan la volatilidad futura por una cantidad mayor que los retornos positivos de la misma magnitud.

Este modelo no debe confundirse con el modelo NARCH, junto con la extensión NGARCH, introducida por Higgins y Bera en 1992.

IGARCA

La heterocedasticidad condicional autorregresiva generalizada integrada (IGARCH) es una versión restringida del modelo GARCH, donde los parámetros persistentes suman uno e importa una raíz unitaria en el proceso GARCH. La condición para esto es

${displaystyle sum ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué?$.

EGARCA

El modelo heterocedástico condicional autorregresivo generalizado exponencial (EGARCH) de Nelson & Cao (1991) es otra forma del modelo GARCH. Formalmente, un EGARCH(p,q):

${displaystyle log sigma ¿Por qué? ¿Por qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Por qué? ¿Qué?$

Donde ${displaystyle g(Z_{t}=theta Z_{t}+lambda (Principalmente)$, ${displaystyle sigma _{2}}$ es la diferencia condicional, ${displaystyle omega }$, ${displaystyle beta }$, ${displaystyle alpha }$, ${displaystyle theta }$ y ${displaystyle lambda }$ son coeficientes. ${displaystyle Z_{t}$ puede ser una variable normal normal o proviene de una distribución de errores generalizada. La formulación para ${displaystyle g(Z_{t}}$ permite el signo y la magnitud de ${displaystyle Z_{t}$ tener efectos separados sobre la volatilidad. Esto es particularmente útil en un contexto de fijación de precios de activos.

Desde ${displaystyle log sigma ¿Qué?$ puede ser negativo, no hay restricciones de signos para los parámetros.

GARCH-M

El modelo GARCH-en-media (GARCH-M) agrega un término de heterocedasticidad a la ecuación de la media. Tiene la especificación:

${displaystyle Y... x_{t}+~lambda ~sigma - ¿Qué? ¿Qué?$

El residual ${displaystyle ~epsilon _{t}$ se define como:

${displaystyle ~epsilon ¿Qué? #####times z_{t}$

QGARCH

El modelo Cuadrático GARCH (QGARCH) de Sentana (1995) se utiliza para modelar los efectos asimétricos de shocks positivos y negativos.

En el ejemplo de un modelo GARCH(1,1), el proceso residual ${displaystyle ~sigma ¿Qué?$ es

${displaystyle ~epsilon ¿Qué? ¿Qué?$

Donde ${displaystyle z_{t}$ es i.i.d. y

${displaystyle ~sigma ¿Qué? ~epsilon ################################################################################################################################################################################################################################################################ ~sigma ################################################################################################################################################################################################################################################################ ~epsilon _{t-1}$

GJR-GARCH

Similar a QGARCH, el modelo Glosten-Jagannathan-Runkle GARCH (GJR-GARCH) de Glosten, Jagannathan y Runkle (1993) también modelos de asimetría en el proceso ARCH. La sugerencia es modelo ${displaystyle ~epsilon ¿Qué? ¿Qué?$ Donde ${displaystyle z_{t}$ es i.i.d., y

${displaystyle ~sigma ¿Qué? ~sigma ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################ ~epsilon ¿Qué?$

Donde ${displaystyle I_{t-1}=0}$ si ${displaystyle ~epsilon _{t-1}geq 0}$, y ${displaystyle I_{t-1}=1}$ si ${displaystyle ~epsilon _{t-1}traducido0}$.

Modelo TGARCH

El modelo Threshold GARCH (TGARCH) de Zakoian (1994) es similar al GJR GARCH. La especificación se basa en la desviación estándar condicional en lugar de la varianza condicional:

${displaystyle ~sigma ¿Qué? ~sigma ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? ¿Qué?$

Donde ${displaystyle ~epsilon ################################################################################################################################################################################################################################################################ - ¿Qué?$ si ${displaystyle ~epsilon _{t-1} {0}$, y ${displaystyle ~epsilon ¿Qué?$ si ${displaystyle ~epsilon _{t-1}leq 0}$. Del mismo modo, ${displaystyle ~epsilon ################################################################################################################################################################################################################################################################ - ¿Qué?$ si ${displaystyle ~epsilon _{t-1}leq 0}$, y ${displaystyle ~epsilon _{-0}=0}$ si ${displaystyle ~epsilon _{t-1} {0}$.

fgarch

hentschel ' s fgarch modelo, también conocido como Family Garch , es un modelo omnibus que nesta una variedad de otros modelos Garch simétricos y asimétricos populares que incluyen APARCH, APARCH, GJR, Avgarch, Ngarch, etc.

COGARCH

En 2004, Claudia Klüppelberg, Alexander Lindner y Ross Maller propusieron una generalización en tiempo continuo del proceso GARCH (1,1) de tiempo discreto. La idea es comenzar con las ecuaciones modelo GARCH (1,1)

${displaystyle epsilon ¿Qué? ¿Qué?$

${displaystyle sigma ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################ _{1}sigma ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################ _{1}sigma ################################################################################################################################################################################################################################################################ _{1}sigma ¿Qué?$

y luego para reemplazar el fuerte proceso de ruido blanco ${displaystyle z_{t}$ por los incrementos infinitesimal ${displaystyle mathrm {d} L_{t}$ of a Lévy process ${displaystyle (L_{t})_{tgeq.$, y el proceso de ruido cuadrado ${displaystyle ¡Vamos!$ por los incrementos ${displaystyle mathrm {d} [L,L]$, donde

${displaystyle [L,L]_{mathrm {d}=sum _{sin [0,t]}(Delta L_{t})^{2},quad tgeq 0,}$

es la parte puramente discontinua del proceso de variación cuadrática ${displaystyle L.$. El resultado es el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales estocásticas:

${displaystyle mathrm {d} G_{t}=sigma ¿Qué? L_{t}$

${displaystyle mathrm {d} sigma _{t}^{2}=(beta -eta sigma _{t}^{2}),mathrm {d} t+varphi sigma ¿Qué? [L,L]_{mathrm {d}$

donde los parámetros positivos ${displaystyle beta }$, ${displaystyle eta }$ y ${displaystyle varphi }$ se determinan por ${displaystyle alpha ¿Qué?$, ${displaystyle alpha ¿Qué?$ y ${displaystyle beta ¿Qué?$. Ahora dada alguna condición inicial ${displaystyle (G_{0},sigma _{0}{2}}$, el sistema anterior tiene una solución única ${displaystyle (G_{t},sigma ¿Qué?.$ que se llama entonces GARCH de tiempo continuo (COGARCH) modelo.

ZD-GARCH

A diferencia del modelo GARCH, el modelo Zero-Drift GARCH (ZD-GARCH) de Li, Zhang, Zhu y Ling (2018) permite el término deriva ${displaystyle ~omega =0}$ en el primer orden modelo GARCH. El modelo ZD-GARCH es modelar ${displaystyle ~epsilon ¿Qué? ¿Qué?$, donde ${displaystyle z_{t}$ es i.i.d., y

${displaystyle ~sigma ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################ ♪♪♪sigma - ¿Qué?$

El modelo ZD-GARCH no requiere ${displaystyle ~alpha _{1}+~beta ¿Qué?$, y por lo tanto anida el modelo de movimiento de peso exponencial (EWMA) en "RiskMetrics". Desde el término deriva ${displaystyle ~omega =0}$, el modelo ZD-GARCH es siempre no estacionario, y sus métodos de inferencia estadística son muy diferentes de los del modelo clásico GARCH. Basado en los datos históricos, los parámetros ${displaystyle ~alpha _{1}$ y ${displaystyle ~beta ¿Qué?$ puede ser estimado por el método QMLE generalizado.

Garch espacial

Los procesos espaciales de GARCH por Otto, Schmid y Garthoff (2018) se consideran como el equivalente espacial a los modelos temporales de heteroscedasticidad condicional generalizada (GARCH). En contraste con el modelo temporal ARCH, en el que se conoce la distribución dada la información completa establecida para los períodos anteriores, la distribución no es directa en el entorno espacial y espacial debido a la interdependencia entre las ubicaciones espaciales vecinas. El modelo espacial es dado por ${displaystyle ~epsilon (s_{i})=~sigma (s_{i})z(s_{i})}$ y

${displaystyle ~sigma (s_{i} {2}=~alpha ¿Qué? - ¿Qué? ¿Qué?$

Donde ${displaystyle ~s_{i}$ denota los ${displaystyle i}$-la ubicación espacial y ${displaystyle ~w_{iv}$ se refiere a ${displaystyle iv}$-la entrada de una matriz de peso espacial ${displaystyle ¿Qué?$ para ${displaystyle ~i=1,...,n}$. La matriz de peso espacial define qué lugares se consideran adyacentes.

Garch impulsado por el proceso gaussiano

En una línea diferente, la comunidad de aprendizaje automático ha propuesto el uso de modelos de regresión de procesos gaussianos para obtener un esquema GARCH. Esto da como resultado un esquema de modelado no paramétrico, que permite: (i) robustez avanzada al sobreajuste, ya que el modelo marginaliza sobre sus parámetros para realizar una inferencia, bajo una justificación de inferencia bayesiana; y (ii) capturar dependencias altamente no linales sin aumentar la complejidad del modelo.