Grupo de homeomorfismo

En matemáticas, particularmente en topología, el grupo de homeomorfismos de un espacio topológico es el grupo que consta de todos los homeomorfismos desde el espacio hasta sí mismo con la composición de funciones como operación del grupo. Los grupos de homeomorfismo son muy importantes en la teoría de espacios topológicos y en general son ejemplos de grupos de automorfismo. Los grupos de homeomorfismo son invariantes topológicos en el sentido de que los grupos de homeomorfismo de espacios topológicos homeomorfos son isomórficos como grupos.

Propiedades y ejemplos

Hay una acción de grupo natural del grupo homeomorfismo de un espacio en ese espacio. Vamos. X{displaystyle X} ser un espacio topológico y denotar el grupo homeomorfismo X{displaystyle X} por G{displaystyle G.. La acción se define como sigue:

G× × Xrestablecimiento restablecimiento X()φ φ ,x)⟼ ⟼ φ φ ()x){displaystyle {begin{aligned}Gtimes X golpelongrightarrow X\(varphix) limitlongmapsto varphi (x)end{aligned}}

Esta es una acción de grupo desde para todos φ φ ,↑ ↑ ▪ ▪ G{displaystyle varphipsi in G},

φ φ ⋅ ⋅ ()↑ ↑ ⋅ ⋅ x)=φ φ ()↑ ↑ ()x))=()φ φ ∘ ∘ ↑ ↑ )()x){displaystyle varphi cdot (psi cdot x)=varphi (psi (x))=(varphi circ psi)(x)}

Donde ⋅ ⋅ {displaystyle cdot } denota la acción del grupo, y el elemento de identidad G{displaystyle G. (que es la función de identidad en X{displaystyle X}) envía puntos a sí mismos. Si esta acción es transitiva, entonces se dice que el espacio es homogéneo.

Topología

Al igual que con otros conjuntos de mapas entre los espacios topológicos, el grupo homeomorfismo puede recibir una topología, como la topología compacta-abierta. En el caso de espacios regulares, localmente compactos, la multiplicación del grupo es continua.

Si el espacio es compacto y Hausdorff, la inversión también es continua y Homeo⁡ ⁡ ()X){displaystyle operatorname {Homeo} (X)} se convierte en un grupo topológico. Si X{displaystyle X} es Hausdorff, localmente compacto y conectado localmente esto sostiene también. Sin embargo hay espacios métricos separables localmente compactos para los cuales el mapa de inversión no es continuo y Homeo⁡ ⁡ ()X){displaystyle operatorname {Homeo} (X)} por lo tanto no un grupo topológico.

Grupo de la clase Mapping

Especialmente en topología geométrica, se considera el grupo de cocientes obtenido al cociente por isotopía, llamado grupo de clases de mapeo:

MCG()X)=Homeo()X)/Homeo0()X){displaystyle {rm {rm}(X)={rm {Homeo}(X)/{rm {Homeo}_{0}(X)}

El MCG también puede ser interpretado como el 0o grupo de homotopy, MCG()X)=π π 0()Homeo()X)){displaystyle {rm {rm}(X)=pi _{0} {rm {Homeo}(X)}}}. Esto produce la breve secuencia exacta:

1→ → Homeo0()X)→ → Homeo()X)→ → MCG()X)→ → 1.{displaystyle 1derecha {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft}\\\\\\\\\\\\\\\\fnMicrosoft\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMicrosoft\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMin {Homeo}_{0}(X)rightarrow {rm {Homeo}(X)rightarrow {rm {}(X)rightarrow 1.}

En algunas aplicaciones, particularmente superficies, el grupo de homeomorfismos se estudia a través de esta breve secuencia exacta, y estudiando primero el grupo de clases de mapeo y el grupo de homeomorfismos isotópicamente triviales, y luego (a veces) la extensión.