Grados (geometría)

Un grado (grado de arco o grado de sexagesimal), generalmente denotado por ° (el símbolo de grado), es una medida de un ángulo plano en el que una rotación completa es de 360 ​​grados.

No es una unidad SI, la unidad SI de medida angular es el radián, pero se menciona en el folleto SI como una unidad aceptada. Como una rotación completa equivale a 2 π radianes, un grado equivale a π/180 radianes.

Historia

Se desconoce la motivación original para elegir el grado como unidad de rotaciones y ángulos. Una teoría establece que está relacionado con el hecho de que 360 ​​es aproximadamente el número de días en un año. Los antiguos astrónomos notaron que el sol, que sigue la trayectoria de la eclíptica a lo largo del año, parece avanzar en su trayectoria aproximadamente un grado cada día. Algunos calendarios antiguos, como el calendario persa y el calendario babilónico, usaban 360 días por año. El uso de un calendario de 360 ​​días puede estar relacionado con el uso de números sexagesimales.

Otra teoría es que los babilonios subdividieron el círculo usando el ángulo de un triángulo equilátero como unidad básica, y luego subdividieron este último en 60 partes siguiendo su sistema numérico sexagesimal. La trigonometría más antigua, utilizada por los astrónomos babilónicos y sus sucesores griegos, se basaba en las cuerdas de un círculo. Una cuerda de longitud igual al radio hizo una cantidad de base natural. Una sexagésima parte de esto, usando sus divisiones sexagesimales estándar, era un grado.

Aristarco de Samos e Hiparco parecen haber estado entre los primeros científicos griegos en explotar sistemáticamente el conocimiento y las técnicas astronómicas babilónicas. Timocharis, Aristarchus, Aristillus, Archimedes e Hipparchus fueron los primeros griegos conocidos en dividir el círculo en 360 grados de 60 minutos de arco. Eratóstenes usó un sistema sexagesimal más simple dividiendo un círculo en 60 partes.

Otra motivación para elegir el número 360 puede haber sido que es fácilmente divisible: 360 tiene 24 divisores, lo que lo convierte en uno de los 7 números tales que ningún número menor que el doble tiene más divisores (secuencia A072938 en la OEIS). Además, es divisible por todos los números del 1 al 10 excepto por el 7. Esta propiedad tiene muchas aplicaciones útiles, como dividir el mundo en 24 zonas horarias, cada una de las cuales tiene nominalmente 15° de longitud, para correlacionarlas con las 24 horas establecidas. convención de día.

Finalmente, puede darse el caso de que haya entrado en juego más de uno de estos factores. Según esa teoría, el número es aproximadamente 365 debido al movimiento aparente del sol contra la esfera celeste, y que se redondeó a 360 por algunas de las razones matemáticas citadas anteriormente.

Subdivisiones

Para muchos propósitos prácticos, un grado es un ángulo lo suficientemente pequeño como para que los grados enteros proporcionen suficiente precisión. Cuando este no es el caso, como en astronomía o para coordenadas geográficas (latitud y longitud), las medidas de grado pueden escribirse usando grados decimales (notación DD); por ejemplo, 40,1875°.

Alternativamente, se pueden usar las subdivisiones de unidades sexagesimales tradicionales: un grado se divide en 60 minutos (de arco) y un minuto en 60 segundos (de arco). El uso de grados-minutos-segundos también se denomina notación DMS. Estas subdivisiones, también llamadas minuto de arco y segundo de arco, están representadas por un primo único (′) y un primo doble (″) respectivamente. Por ejemplo, 40.1875° = 40° 11′ 15″. Se puede proporcionar precisión adicional utilizando fracciones decimales de un segundo de arco.

Las cartas marítimas están marcadas en grados y minutos decimales para facilitar la medición; 1 minuto de latitud es 1 milla náutica. El ejemplo anterior se daría como 40° 11.25′ (comúnmente escrito como 11′25 o 11′.25).

El sistema más antiguo de tercios, cuartos, etc., que continúa con la subdivisión de unidades sexagesimales, fue utilizado por al-Kashi y otros astrónomos antiguos, pero rara vez se usa en la actualidad. Estas subdivisiones se denotaron escribiendo el número romano para el número de sexagésimos en superíndice: 1 para un "primo" (minuto de arco), 1 para un segundo, 1 para un tercero, 1 para un cuarto, etc. Por lo tanto, el moderno símbolos para el minuto y segundo de arco, y la palabra "segundo" también se refieren a este sistema.

Los prefijos SI también se pueden aplicar como, por ejemplo, miligrados, microgrados, etc.

Unidades alternativas

En la mayoría de los trabajos matemáticos más allá de la geometría práctica, los ángulos suelen medirse en radianes en lugar de grados. Esto se debe a una variedad de razones; por ejemplo, las funciones trigonométricas tienen propiedades más simples y "naturales" cuando sus argumentos se expresan en radianes. Estas consideraciones superan la conveniente divisibilidad del número 360. Una vuelta completa (360°) es igual a 2 π radianes, por lo que 180° es igual a π radianes o, de manera equivalente, el grado es una constante matemática: 1° = ^π ⁄ ₁₈₀.

El giro (o revolución, círculo completo, rotación completa, ciclo) se usa en tecnología y ciencia. Un giro es igual a 360°.

Con la invención del sistema métrico, basado en potencias de diez, hubo un intento de reemplazar los grados por "grados" decimales en Francia y países vecinos, donde el número en un ángulo recto es igual a 100 gon con 400 gon en un total. círculo (1° = ¹⁰ ⁄ ₉ gon). A esto se le llamó grade (nouveau) o grad. Debido a la confusión con el término grad(e) existente en algunos países del norte de Europa (que significa un título estándar, 1/360 de un turno), la nueva unidad se llamaba Neugrad en alemán (mientras que el grado "antiguo" se denominaba Altgrad), así mismo nygrad en danés, sueco y noruego (también gradian), y nýgráða en islandés. Para terminar con la confusión,más tarde se adoptó el nombre gon para la nueva unidad. Aunque esta idea de la metrificación fue abandonada por Napoleón, los grados continuaron utilizándose en varios campos y muchas calculadoras científicas los respaldan. Los decigrados ( ¹ ⁄ ₄₀₀₀) se utilizaron con miras de artillería francesa en la Primera Guerra Mundial.

Un mil angular, que es el más utilizado en aplicaciones militares, tiene al menos tres variantes específicas, que van desde ¹ ⁄ ₆₄₀₀ a ¹ ⁄ ₆₀₀₀. Es aproximadamente igual a un milirradián (c. ¹ ⁄ ₆₂₈₃). Un mil que medía ¹ ⁄ ₆₀₀₀ de revolución se originó en el ejército imperial ruso, donde una cuerda equilátera se dividía en décimas para dar un círculo de 600 unidades. Esto se puede ver en un avión de revestimiento (un dispositivo temprano para apuntar artillería de fuego indirecto) que data de alrededor de 1900 en el Museo de Artillería de San Petersburgo.

Minutos y segundos

Un minuto de arco, minuto de arco (arcmin), minuto de arco o minuto de arco, denotado por el símbolo ′, es una unidad de medida angular igual a 1/60 de un grado. Como un grado es 1/360 de vuelta (o rotación completa), un minuto de arco es 1/21 600 de un turno. La milla náutica (nmi) se definió originalmente como la longitud de arco de un minuto de latitud en una Tierra esférica, por lo que la circunferencia real de la Tierra está muy cerca21 600 millas náuticas. Un minuto de arco es π/10 800 de un radian.

Un segundo de arco, segundo de arco (arcsec) o segundo de arco, indicado por el símbolo ″, es 1/60 de un minuto de arco, 1/3600 de un grado, 1 /1 296 000 de vuelta, y π/648 000 (alrededor de 1/206 181.8) de un radián.

Estas unidades se originaron en la astronomía babilónica como subdivisiones sexagesimales del grado; se utilizan en campos que implican ángulos muy pequeños, como la astronomía, la optometría, la oftalmología, la óptica, la navegación, la agrimensura y la puntería.

Para expresar ángulos aún más pequeños, se pueden emplear prefijos SI estándar; el milisegundo de arco (mas) y el microsegundo de arco (μas), por ejemplo, se usan comúnmente en astronomía. Para un área tridimensional, como una esfera, se pueden usar segundos o minutos de arco cuadrados.

Símbolos y abreviaturas

El símbolo principal ′ (U+2032) designa el minuto de arco, aunque normalmente se usa una comilla simple ' (U+0027) donde solo se permiten caracteres ASCII. Por tanto, un minuto de arco se escribe como 1′. También se abrevia como arcmin o amin.

De manera similar, el doble primo ″ (U+2033) designa el segundo de arco, aunque se suele usar una comilla doble " (U+0022) cuando solo se permiten caracteres ASCII. Por lo tanto, un segundo de arco se escribe como 1". También se abrevia como arcsec o aseg.

En la navegación celeste, los segundos de arco rara vez se utilizan en los cálculos, la preferencia suele ser para grados, minutos y decimales de un minuto, por ejemplo, escrito como 42° 25,32′ o 42° 25,322′. Esta notación se ha trasladado a los receptores GPS marinos, que normalmente muestran la latitud y la longitud en este último formato de forma predeterminada.

Ejemplos comunes

El tamaño aparente medio de la luna llena es de unos 31 minutos de arco (o 0,52°).

Un minuto de arco es aproximadamente la resolución del ojo humano.

Un segundo de arco es aproximadamente el ángulo subtendido por una moneda de diez centavos de EE. UU. (18 mm) a una distancia de 4 kilómetros (alrededor de 2,5 millas). Un segundo de arco es también el ángulo subtendido por

• un objeto de diámetro725,27 km a una distancia de una unidad astronómica,
• un objeto de diámetro45 866 916 km en un año luz,
• un objeto de diámetro una unidad astronómica (149 597 870,7 km) a una distancia de un parsec, según la definición de este último.

Un milisegundo de arco es aproximadamente el tamaño de medio dólar, visto desde una distancia igual a la que hay entre el Monumento a Washington y la Torre Eiffel.

Un microsegundo de arco es aproximadamente el tamaño de un punto al final de una oración en los manuales de la misión Apolo dejados en la Luna vistos desde la Tierra.

Un nanoarcosegundo es aproximadamente del tamaño de un centavo en la luna de Neptuno, Tritón, tal como se observa desde la Tierra.

También ejemplos notables de tamaño en segundos de arco son:

• El telescopio espacial Hubble tiene una resolución de cálculo de 0,05 segundos de arco y una resolución real de casi 0,1 segundos de arco, que está cerca del límite de difracción.
• Venus creciente mide entre 60,2 y 66 segundos de arco.

Historia

Los conceptos de grados, minutos y segundos, ya que se relacionan con la medida de los ángulos y el tiempo, se derivan de la astronomía y el cronometraje babilónicos. Influenciados por los sumerios, los antiguos babilonios dividieron el movimiento percibido del Sol en el cielo durante el transcurso de un día completo en 360 grados. Cada grado se subdividió en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. Por lo tanto, un grado babilónico equivalía a cuatro minutos en la terminología moderna, un minuto babilónico a cuatro segundos modernos y un segundo babilónico a 1/15 (aproximadamente 0,067) de un segundo moderno.

Usos

Astronomía

Desde la antigüedad, el minuto de arco y el segundo de arco se han utilizado en astronomía: en el sistema de coordenadas de la eclíptica como latitud (β) y longitud (λ); en el sistema de horizonte como altitud (Alt) y azimut (Az); y en el sistema de coordenadas ecuatoriales como declinación (δ). Todos se miden en grados, minutos de arco y segundos de arco. La excepción principal es la ascensión recta (RA) en coordenadas ecuatoriales, que se mide en unidades de tiempo de horas, minutos y segundos.

El segundo de arco también se usa a menudo para describir ángulos astronómicos pequeños, como los diámetros angulares de los planetas (por ejemplo, el diámetro angular de Venus, que varía entre 10″ y 60″); el movimiento propio de las estrellas; la separación de componentes de sistemas estelares binarios; y paralaje, el pequeño cambio de posición de una estrella o cuerpo del sistema solar cuando la Tierra gira alrededor del Sol. Estos pequeños ángulos también se pueden escribir en milisegundos de arco (mas) o milésimas de segundo de arco. La unidad de distancia llamada parsec, abreviado del ángulo de paralaje de un segundo de arco, fue desarrollada para tales mediciones de paralaje. La distancia del Sol a un objeto celeste es el recíproco del ángulo, medido en segundos de arco, del movimiento aparente del objeto causado por el paralaje.

El satélite astrométrico Gaia de la Agencia Espacial Europea, lanzado en 2013, puede aproximar las posiciones de las estrellas a 7 microarcosegundos (µas).

Aparte del Sol, la estrella con el mayor diámetro angular desde la Tierra es R Doradus, una gigante roja con un diámetro de 0,05″. Debido a los efectos de la borrosidad atmosférica, los telescopios terrestres mancharán la imagen de una estrella a un diámetro angular de aproximadamente 0,5″; en malas condiciones esto aumenta a 1,5″ o incluso más. El planeta enano Plutón ha resultado difícil de resolver porque su diámetro angular es de aproximadamente 0,1″.

Los telescopios espaciales no se ven afectados por la atmósfera terrestre, pero tienen una difracción limitada. Por ejemplo, el telescopio espacial Hubble puede alcanzar un tamaño angular de estrellas de hasta aproximadamente 0,1″. Existen técnicas para mejorar la visión sobre el terreno. La óptica adaptativa, por ejemplo, puede producir imágenes de alrededor de 0,05″ en un telescopio de clase de 10 m.

Cartografía

Los minutos (′) y los segundos (″) de arco también se utilizan en cartografía y navegación. A nivel del mar, un minuto de arco a lo largo del ecuador equivale exactamente a una milla geográfica a lo largo del ecuador terrestre o aproximadamente una milla náutica (1.852 metros; 1.151 millas). Un segundo de arco, una sexagésima parte de esta cantidad, son aproximadamente 30 metros (98 pies). La distancia exacta varía a lo largo de los arcos meridianos o cualquier otro gran arco circular porque la figura de la Tierra es ligeramente achatada (sobresale un tercio de un por ciento en el ecuador).

Las posiciones se dan tradicionalmente usando grados, minutos y segundos de arcos para la latitud, el arco norte o sur del ecuador, y para la longitud, el arco este u oeste del primer meridiano. Cualquier posición sobre o por encima del elipsoide de referencia de la Tierra se puede dar con precisión con este método. Sin embargo, cuando no es conveniente utilizar la base 60 para minutos y segundos, las posiciones se expresan con frecuencia como grados fraccionarios decimales con la misma precisión. Grados dados con tres decimales (1/1000 de un grado) tienen alrededor de 1/4 la precisión de grados-minutos-segundos (1/3600 de grado) y especifique ubicaciones dentro de unos 120 metros (390 pies). Para fines de navegación, las posiciones se dan en grados y minutos decimales, por ejemplo, el faro de The Needles está en 50º 39.734'N 001º 35.500'W.

Levantamiento catastral de inmuebles

Relacionado con la cartografía, la topografía de límites de propiedad utilizando el sistema de medidas y límites y la topografía catastral se basa en fracciones de grado para describir los ángulos de las líneas de propiedad en referencia a las direcciones cardinales. Un límite "mete" se describe con un punto de referencia inicial, la dirección cardinal norte o sur seguida de un ángulo de menos de 90 grados y una segunda dirección cardinal, y una distancia lineal. El límite recorre la distancia lineal especificada desde el punto inicial, y la dirección de la distancia se determina girando la primera dirección cardinal el ángulo especificado hacia la segunda dirección cardinal. Por ejemplo, Norte 65° 39′ 18″ Oeste 85,69 pies describiría una línea que va desde el punto inicial 85,69 pies en una dirección 65° 39′ 18″ (o 65.

Armas de fuego

El minuto de arco se encuentra comúnmente en la industria y la literatura de armas de fuego, particularmente en lo que respecta a la precisión de los rifles, aunque la industria se refiere a él como minuto de ángulo (MOA). Es especialmente popular como unidad de medida entre los tiradores familiarizados con el sistema de medida imperial porque 1 MOA subtiende un círculo con un diámetro de 1,047 pulgadas (que a menudo se redondea a solo 1 pulgada) a 100 yardas (2,66 cm a 91 mo 2,908 cm a 100 m), una distancia tradicional en los campos de tiro estadounidenses. La subtensión es lineal con la distancia, por ejemplo, a 500 yardas, 1 MOA subtiende 5,235 pulgadas y a 1000 yardas, 1 MOA subtiende 10,47 pulgadas. Dado que muchas miras telescópicas modernas son ajustables a la mitad (1/2), cuarto (1/4) u octava (1/8) Los incrementos de MOA, también conocidos como clics, la puesta a cero y los ajustes se realizan contando 2, 4 y 8 clics por MOA respectivamente.

Por ejemplo, si el punto de impacto tiene 3 pulgadas de alto y 1,5 pulgadas a la izquierda del punto de mira a 100 yardas (que, por ejemplo, podría medirse usando un telescopio con una retícula calibrada), el alcance debe ajustarse 3 MOA abajo y 1,5 MOA a la derecha. Dichos ajustes son triviales cuando los diales de ajuste del visor tienen impresa una escala MOA, e incluso calcular el número correcto de clics es relativamente fácil en visores que hacen clic en fracciones de MOA. Esto hace que la puesta a cero y los ajustes sean mucho más fáciles:

• Para ajustar un visor de ¹ ⁄ ₂ MOA, 3 MOA hacia abajo y 1,5 MOA hacia la derecha, el visor debe ajustarse 3 × 2 = 6 clics hacia abajo y 1,5 x 2 = 3 clics hacia la derecha
• Para ajustar un visor de ¹ ⁄ ₄ MOA, 3 MOA hacia abajo y 1,5 MOA hacia la derecha, el visor debe ajustarse 3 x 4 = 12 clics hacia abajo y 1,5 × 4 = 6 clics hacia la derecha
• Para ajustar un visor de ¹ ⁄ ₈ MOA, 3 MOA hacia abajo y 1,5 MOA hacia la derecha, el visor debe ajustarse 3 x 8 = 24 clics hacia abajo y 1,5 × 8 = 12 clics hacia la derecha

Otro sistema común de medición en los visores de armas de fuego es el milirradián (mrad). Poner a cero un alcance basado en mrad es fácil para los usuarios familiarizados con los sistemas de base diez. El valor de ajuste más común en los visores basados ​​en mrad es 1/10 mrad (que se aproxima a ¹ ⁄ ₃ MOA).

• Para ajustar un 1/Alcance de 10 mrad 0,9 mrad hacia abajo y 0,4 mrad a la derecha, el alcance debe ajustarse 9 clics hacia abajo y 4 clics hacia la derecha (lo que equivale aproximadamente a 3 y 1,5 MOA respectivamente).

Una cosa a tener en cuenta es que algunos visores MOA, incluidos algunos modelos de gama alta, están calibrados de tal manera que un ajuste de 1 MOA en las perillas del visor corresponde exactamente a 1 pulgada de ajuste de impacto en un objetivo a 100 yardas, en lugar del matemáticamente correcto 1.047 pulgadas. Esto se conoce comúnmente como MOA del tirador (SMOA) o Pulgadas por cien yardas (IPHY). Si bien la diferencia entre un MOA verdadero y un SMOA es menos de media pulgada incluso a 1000 yardas,este error se agrava significativamente en disparos de mayor alcance que pueden requerir un ajuste superior a 20-30 MOA para compensar la caída de la bala. Si un disparo requiere un ajuste de 20 MOA o más, la diferencia entre MOA real y SMOA sumará hasta 1 pulgada o más. En tiro al blanco competitivo, esto podría significar la diferencia entre un acierto y un error.

El tamaño del grupo físico equivalente a m minutos de arco se puede calcular de la siguiente manera: tamaño del grupo = tan(m/60) × distancia. En el ejemplo anterior, para 1 minuto de arco, y sustituyendo 100 yardas por 3600 pulgadas, 3600 tan(1/60) ≈ 1,047 pulgadas. En unidades métricas 1 MOA a 100 metros ≈ 2,908 centímetros.

A veces, el rendimiento de un arma de fuego orientada a la precisión se medirá en MOA. Esto simplemente significa que en condiciones ideales (es decir, sin viento, munición de alta calidad, cañón limpio y una plataforma de montaje estable, como un tornillo de banco o un banco utilizado para eliminar el error del tirador), el arma es capaz de producir un grupo de disparos cuyo los puntos centrales (de centro a centro) encajan en un círculo, el diámetro promedio de los círculos en varios grupos puede ser subtendido por esa cantidad de arco. Por ejemplo, un rifle de 1 MOAdebería ser capaz, en condiciones ideales, de disparar repetidamente grupos de 1 pulgada a 100 yardas. La mayoría de los rifles de gama alta están garantizados por su fabricante para disparar por debajo de un umbral de MOA dado (típicamente 1 MOA o mejor) con munición específica y sin errores por parte del tirador. Por ejemplo, se requiere que el sistema de armas de francotirador M24 de Remington dispare 0,8 MOA o más, o el control de calidad lo rechazará de la venta.

Los fabricantes de rifles y las revistas de armas a menudo se refieren a esta capacidad como sub-MOA, lo que significa un arma que dispara constantemente a grupos de menos de 1 MOA. Esto significa que un solo grupo de 3 a 5 disparos a 100 yardas, o el promedio de varios grupos, medirá menos de 1 MOA entre los dos disparos más lejanos del grupo, es decir, todos los disparos caen dentro de 1 MOA. Si se toman muestras más grandes (es decir, más disparos por grupo), el tamaño del grupo generalmente aumenta, sin embargo, esto finalmente se promediará. Si un rifle fuera realmente un rifle de 1 MOA, sería tan probable que dos disparos consecutivos cayeran exactamente uno encima del otro como que cayeran a 1 MOA de distancia. Para grupos de 5 disparos, con una confianza del 95 %, se puede esperar que un rifle que normalmente dispara 1 MOA dispare grupos entre 0,58 MOA y 1,47 MOA, aunque la mayoría de estos grupos estarán por debajo de 1 MOA.

La contraparte del sistema métrico del MOA es el milirradián (mrad o 'mil'), que es igual a ¹ ⁄ ₁₀₀₀ del rango objetivo, dispuesto en un círculo que tiene al observador como centro y el rango objetivo como radio. Por lo tanto, el número de miliradianes en un círculo completo de este tipo siempre es igual a 2 × π × 1000, independientemente del rango objetivo. Por tanto, 1 MOA ≈ 0,2909 mrad. Esto significa que un objeto que abarca 1 mrad en la retícula está en un rango que es en metros igual al tamaño del objeto en milímetros.(por ejemplo, un objeto de 100 mm que subtiende 1 mrad está a 100 metros de distancia). Por lo tanto, no se requiere un factor de conversión, al contrario del sistema MOA. Una retícula con marcas (hashes o puntos) espaciadas con una separación de un mrad (o una fracción de un mrad) se denominan colectivamente retícula mrad. Si las marcas son redondas se llaman mil-dots.

En la siguiente tabla, las conversiones de mrad a valores métricos son exactas (p. ej., 0,1 mrad equivalen exactamente a 10 mm a 100 metros), mientras que las conversiones de minutos de arco a valores métricos e imperiales son aproximadas.

• 1 'a 100 yardas es aproximadamente 1.047 pulgadas
• 1′ ≈ 0,291 mrad (o 29,1 mm a 100 m, aproximadamente 30 mm a 100 m)
• 1 mrad ≈ 3.44′, entonces 1/10 mrad ≈ 1/3 ′
• 0,1 mrad equivale exactamente a 1 cm a 100 m, o aproximadamente 0,36 pulgadas a 100 yardas

Visión humana

En humanos, la visión 20/20 es la capacidad de resolver un patrón espacial separado por un ángulo visual de un minuto de arco. Una letra 20/20 subtiende 5 minutos de arco en total.

Materiales

La desviación del paralelismo entre dos superficies, por ejemplo en ingeniería óptica, se suele medir en minutos de arco o segundos de arco. Además, los segundos de arco a veces se utilizan en mediciones de difracción de rayos X de curva oscilante (escaneado ω) de películas delgadas epitaxiales de alta calidad.

Fabricación

Algunos dispositivos de medición utilizan minutos de arco y segundos de arco para medir ángulos cuando el objeto que se mide es demasiado pequeño para una inspección visual directa. Por ejemplo, el comparador óptico de un fabricante de herramientas a menudo incluirá una opción para medir en "minutos y segundos".