Geometría riemanniana

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Subdivisión de geometría diferencial

La geometría riemanniana es la rama de la geometría diferencial que estudia las variedades riemannianas, definidas como variedades suaves con una métrica riemanniana (un producto interior en el espacio tangente en cada punto que varía suavemente de un punto a otro). Esto da, en particular, nociones locales de ángulo, longitud de curvas, superficie y volumen. A partir de ellos, se pueden derivar algunas otras cantidades globales integrando las contribuciones locales.

La geometría riemanniana se originó con la visión de Bernhard Riemann expresada en su conferencia inaugural "Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen" ("Sobre las hipótesis en que se basa la geometría"). Es una generalización muy amplia y abstracta de la geometría diferencial de superficies en R3. El desarrollo de la geometría de Riemann dio como resultado la síntesis de diversos resultados sobre la geometría de las superficies y el comportamiento de las geodésicas sobre ellas, con técnicas que pueden aplicarse al estudio de variedades diferenciables de dimensiones superiores. Permitió la formulación de la teoría general de la relatividad de Einstein, tuvo un profundo impacto en la teoría de grupos y la teoría de la representación, así como en el análisis, y estimuló el desarrollo de la topología algebraica y diferencial.

Introducción

Bernhard Riemann

La geometría de Riemann fue presentada por primera vez en general por Bernhard Riemann en el siglo XIX. Se ocupa de una amplia gama de geometrías cuyas propiedades métricas varían de un punto a otro, incluidos los tipos estándar de geometría no euclidiana.

Toda variedad suave admite una métrica de Riemann, que a menudo ayuda a resolver problemas de topología diferencial. También sirve como un nivel de entrada para la estructura más complicada de variedades pseudo-riemannianas, que (en cuatro dimensiones) son los objetos principales de la teoría de la relatividad general. Otras generalizaciones de la geometría de Riemann incluyen la geometría de Finsler.

Existe una estrecha analogía entre la geometría diferencial y la estructura matemática de los defectos en los cristales regulares. Las dislocaciones y inclinaciones producen torsiones y curvaturas.

Los siguientes artículos proporcionan material introductorio útil:

Teoremas clásicos

Lo que sigue es una lista incompleta de los teoremas más clásicos de la geometría de Riemann. La elección se hace en función de su importancia y elegancia de formulación. La mayoría de los resultados se pueden encontrar en la monografía clásica de Jeff Cheeger y D. Ebin (ver más abajo).

Las formulaciones dadas están lejos de ser muy exactas o las más generales. Esta lista está orientada a aquellos que ya conocen las definiciones básicas y quieren saber de qué se tratan estas definiciones.

Teoremas generales

  1. Gauss-Bonnet teorem La parte integral de la curvatura de Gauss en un manifold Riemanniano compacto de 2 dimensiones es igual a 2πχ(MDonde χM) denota la característica Euler de M. Este teorema tiene una generalización a cualquier manifold riemanniano compacto e incluso dimensional, ver el teorema de Gauss-Bonnet generalizado.
  2. Teoremas de incrustación de nash. Afirman que cada manifold Riemanniano puede estar incrustada isométricamente en un espacio euclidiano Rn.

Geometría en grande

En todos los siguientes teoremas asumimos algún comportamiento local del espacio (generalmente formulado usando la suposición de curvatura) para derivar alguna información sobre la estructura global del espacio, incluyendo alguna información sobre el tipo topológico de la variedad o sobre la comportamiento de puntos en "suficientemente grande" distancias

Curvatura seccional pellizcada

  1. Teorema de miedo. Si M es un compacto simplemente conectado n-dimensional Manifold Riemanniano con curvatura seccional estrictamente pellizcada entre 1/4 y 1 entonces M es diffeomorfo a una esfera.
  2. El teorema de Finiteness de Cheeger. Dada la constante C, D y V, sólo hay finitamente muchos (hasta la diffeomorfismo) compacto n-dimensional Manifolds Riemannian con curvatura seccional tenciónK■ ≤ C, diámetro ≤ D y volumen ≥ V.
  3. Gromov está casi a mano. Hay un εn ■ 0 tal que si n-dimensional El manifold Riemanniano tiene una métrica con curvatura seccionalK≥ εn y diámetro ≤ 1 entonces su cubierta finita es diffeomorfa a un manifold nil.

Curvatura seccional delimitada por debajo

  1. El teorema del alma de Cheeger-Gromoll. Si M es un no-compacto completo no-negativo curvado n-dimensional Riemannian manifold, entonces M contiene un submanifold compacto, totalmente geodésico S tales que M es diffeomorfo al paquete normal S ()S se llama alma de M.) En particular, si M tiene curvatura estrictamente positiva en todas partes, entonces es diffeomorfo a Rn. G. Perelman en 1994 dio una prueba asombrosamente elegante/corte de la Conjetura del Alma: M es diffeomorfo a Rn si tiene curvatura positiva en un solo punto.
  2. El teorema del número Betti de Gromov. Hay una constante C = C()nEso si M es un compacto conectado n-dimensional Manifold Riemanniano con curvatura seccional positiva entonces la suma de sus números Betti es en la mayoría C.
  3. El teorema de finitos de Grove-Petersen. Dada la constante C, D y V, sólo hay finitamente muchos tipos de homotopy compacto n-dimensional Manifolds Riemannianos con curvatura seccional K ≥ C, diámetro ≤ D y volumen ≥ V.

Curvatura seccional acotada arriba

  1. El Teorema de Cartan-Hadamard declara que un completo manifold Riemanniano simplemente conectado M con curvatura seccional no positiva es diffeomorfa al espacio euclidiano Rn con n = dim M a través del mapa exponencial en cualquier punto. Implica que cualquier dos puntos de un manifold Riemanniano completo simplemente conectado con curvatura seccional no positiva se unen por una geodésica única.
  2. El flujo geodésico de cualquier manifold Riemanniano compacto con curvatura seccional negativa es ergodic.
  3. Si M es un completo andamio Riemanniano con curvatura seccional ligada arriba por una constante estrictamente negativa k entonces es un espacio CAT(k). Por consiguiente, su grupo fundamentalπ1()MEs hiperbólico Gromov. Esto tiene muchas implicaciones para la estructura del grupo fundamental:
  • se presenta finitamente;
  • el problema de palabra para Dimension tiene una solución positiva;
  • el grupo Dimensiones cohomológicas virtuales finitas;
  • contiene solamente muchas clases de conjugación finita de elementos de orden finito;
  • los subgrupos abelianos de lumina son prácticamente cíclicos, por lo que no contiene un subgrupo isomorfo a Z×Z.

Curvatura de Ricci limitada por debajo

  1. Myers teorem. Si un conjunto Riemanniano completo tiene curvatura Ricci positiva, entonces su grupo fundamental es finito.
  2. La fórmula de Bochner. Si un Riemanniano compacto n- Manifold tiene curvatura Ricci no negativa, entonces su primer número de Betti es en la mayoría n, con igualdad si y sólo si el manifold Riemanniano es un torus plano.
  3. Teorema de división. Si un completo n-dimensional Riemannian manifold tiene curvatura Ricci no negativa y una línea recta (es decir, una geodésica que minimiza la distancia en cada intervalo) entonces es isométrico a un producto directo de la línea real y un completo (n-1)-dimensional Manifold Riemanniano que tiene curvatura Ricci no negativa.
  4. Bishop-Gromov inequality. El volumen de una bola métrica de radio r en un completo n-dimensional Manifold Riemanniano con curvatura Ricci positiva tiene volumen en la mayoría del volumen de una bola del mismo radio r en el espacio Euclideano.
  5. El teorema de compactidad de Gromov. El conjunto de todos los manifolds Riemannianos con curvatura y diámetro positivo en la mayoría D es pre-compacto en la métrica Gromov-Hausdorff.

Curvatura de Ricci negativa

  1. El grupo isometría de un manifold Riemanniano compacto con curvatura Ricci negativa es discreto.
  2. Cualquier conjunto suave de la dimensión n ≥ 3 admite una métrica Riemanniana con curvatura negativa de Ricci. ()Esto no es cierto para las superficies.)

Curvatura escalar positiva

  1. El n- el toro dimensional no admite una métrica con curvatura escalar positiva.
  2. Si el radio de inyección de un compacto n-dimensional Manifold Riemanniano es ≥ π entonces la curvatura escalar promedio es a la mayoría n()n-1).