Julia conjunto

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Fractal se establece en dinámicas complejas de las matemáticas
Un juego de Julia
Rebanadas tridimensionales a través de la (cuatro-dimensional) Julia estableció una función en las quaternions

En el contexto de la dinámica compleja, una rama de las matemáticas, el conjunto Julia y el conjunto Fatou son dos conjuntos complementarios (Julia "cordones" y Fatou "polvos& #34;) definido a partir de una función. De manera informal, el conjunto de Fatou de la función consta de valores con la propiedad de que todos los valores cercanos se comportan de manera similar bajo iteraciones repetidas de la función, y el conjunto de Julia consta de valores tales que una perturbación arbitrariamente pequeña puede causar cambios drásticos en la secuencia de la función iterada. valores. Así, el comportamiento de la función en el conjunto de Fatou es "regular", mientras que en el conjunto de Julia su comportamiento es "caótico".

El conjunto Julia de una funciónfes comúnmente denotado J⁡ ⁡ ()f),{displaystyle operatorname {J} (f),} y el juego Fatou está denotado F⁡ ⁡ ()f).{displaystyle operatorname {F} (f).} Estos conjuntos son nombrados por los matemáticos franceses Gaston Julia y Pierre Fatou cuyo trabajo comenzó el estudio de dinámicas complejas durante el siglo XX.

Definición formal

Vamos f()z){displaystyle f(z)} ser una función holomorfa no constante de la esfera Riemann sobre sí misma. Tales funciones f()z){displaystyle f(z)} son precisamente las funciones racionales complejas no constantes, es decir, f()z)=p()z)/q()z){displaystyle f(z)=p(z)/q(z)} Donde p()z){displaystyle p(z)} y q()z){displaystyle q(z)} son polinomios complejos. Supongamos que p y q no tienen raíces comunes, y al menos uno tiene un grado mayor que 1. Entonces hay un número finito de conjuntos abiertos F1,...,Fr{displaystyle F_{1},...,F_{r} que quedan invariables por f()z){displaystyle f(z)} y son tales que:

  1. La unión de los conjuntos Fi{displaystyle F_{i} es denso en el avión y
  2. f()z){displaystyle f(z)} se comporta de forma regular e igual en cada uno de los conjuntos Fi{displaystyle F_{i}.

La última declaración significa que el termini de las secuencias de iteraciones generadas por los puntos de Fi{displaystyle F_{i} son precisamente el mismo conjunto, que es entonces un ciclo finito, o son ciclos finitos de conjuntos circulares o anulares de forma que están mintiendo concentricamente. En el primer caso el ciclo es atracción, en el segundo caso es neutral.

Estos juegos Fi{displaystyle F_{i} son los dominios de Fatou f()z){displaystyle f(z)}, y su unión es el conjunto Fatou F⁡ ⁡ ()f){displaystyle operatorname {F} (f)} de f()z){displaystyle f(z)}. Cada uno de los dominios de Fatou contiene al menos un punto crítico f()z){displaystyle f(z)}, es decir, un punto (finito) z satisfacción f.()z)=0{displaystyle f'(z)=0}, o f()z)=JUEGO JUEGO {displaystyle f(z)=infty si el grado del numerador p()z){displaystyle p(z)} es al menos dos más grande que el grado del denominador q()z){displaystyle q(z)}, o si f()z)=1/g()z)+c{displaystyle f(z)=1/g(z)+c} para algunos c y una función racional g()z){displaystyle g(z)} satisfaciendo esta condición.

El complemento F⁡ ⁡ ()f){displaystyle operatorname {F} (f)} es el set de Julia J⁡ ⁡ ()f){displaystyle operatorname {J} (f)} de f()z){displaystyle f(z)}. Si todos los puntos críticos son preperódicos, es decir, no son periódicos sino que finalmente aterrizan en un ciclo periódico, entonces J⁡ ⁡ ()f){displaystyle operatorname {J} (f)} es toda la esfera. De lo contrario, J⁡ ⁡ ()f){displaystyle operatorname {J} (f)} es un conjunto denso en ninguna parte (es sin puntos interiores) y un conjunto incontable (de la misma cardenalidad que los números reales). Como F⁡ ⁡ ()f){displaystyle operatorname {F} (f)}, J⁡ ⁡ ()f){displaystyle operatorname {J} (f)} es dejado invariable por f()z){displaystyle f(z)}, y en este set la iteración es replanteante, que significa que |z-w|}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Silenciof()z)− − f()w)Silencio■Silencioz− − wSilencio{displaystyle Silenciof(z)-f(w)|z-w|}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd873d4742e7db01ed9d2ec38d2ccd1c7cc34a98" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.047ex; height:2.843ex;"/> para todos w en un barrio z (dentro J⁡ ⁡ ()f){displaystyle operatorname {J} (f)}). Esto significa que f()z){displaystyle f(z)} Se comporta caóticamente en el set de Julia. Aunque hay puntos en el conjunto Julia cuya secuencia de iteraciones es finita, sólo hay un número contable de tales puntos (y constituyen una parte infinitesimal del conjunto Julia). Las secuencias generadas por puntos fuera de este conjunto se comportan caóticamente, un fenómeno llamado caos determinista.

Se ha realizado una amplia investigación sobre el conjunto de Fatou y el conjunto de Julia de funciones racionales iteradas, conocidas como mapas racionales. Por ejemplo, se sabe que el conjunto de Fatou de un mapa racional tiene 0, 1, 2 o un número infinito de componentes. Cada componente del conjunto de Fatou de un mapa racional se puede clasificar en una de cuatro clases diferentes.

Descripciones equivalentes del conjunto de Julia

Propiedades del conjunto Julia y el conjunto Fatou

El conjunto de Julia y el conjunto de Fatou de f son completamente invariantes bajo las iteraciones de la función holomorfa f:

f− − 1()J⁡ ⁡ ()f))=f()J⁡ ⁡ ()f))=J⁡ ⁡ ()f),{displaystyle f^{-1}(operatorname {J} (f)=f(operatorname {J} (f)=operatorname {J} (f),}
f− − 1()F⁡ ⁡ ()f))=f()F⁡ ⁡ ()f))=F⁡ ⁡ ()f).{displaystyle f^{-1}(operatorname {F} (f)=f(operatorname {F} (f)=operatorname {F} (f).}

Ejemplos

Para f()z)=z2{displaystyle f(z)=z^{2} el conjunto de Julia es el círculo de unidad y en esto la iteración es dada por duplicación de ángulos (una operación que es caótica en los puntos cuyo argumento no es una fracción racional 2π π {displaystyle 2pi}). Hay dos dominios de Fatou: el interior y el exterior del círculo, con iteración hacia 0 y ∞, respectivamente.

Para g()z)=z2− − 2{displaystyle g(z)=z^{2}-2} el conjunto Julia es el segmento de línea entre −2 y 2. Hay un dominio Fatou: los puntos no en la línea segmento iterate hacia ∞. (Aparte de un cambio y escalado del dominio, esta iteración es equivalente a x→ → 4()x− − 12)2{displaystyle xto 4(x-{tfrac {1}{2}}} {2}}}} {2}}}}} {2}}}}}}}}}} {2}}} {2}}}} {}}}}}}}}} {}} {}}}}}}}}}}}}}}}} {}} {}}}} {}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}} {}}}}}}}} {}}}}}}}} {}}}}}} {}} {}} {}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}} {} {} {}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} en el intervalo de unidad, que se utiliza comúnmente como un ejemplo de sistema caótico.)

Funciones f y g son de la forma z2+c{displaystyle z^{2}+c}, donde c es un número complejo. Para tal iteración el conjunto Julia no es en general una curva simple, pero es un fractal, y para algunos valores de c puede tomar formas sorprendentes. Vea las fotos abajo.

Julia estableció (en blanco) para la función racional asociada al método de Newton para f: z → z31.- Coloración de Fatou en tonos rojos, verdes y azules según los tres atractivos (las tres raíces de f).

Para algunas funciones f(z) podemos decir de antemano que el conjunto de Julia es un fractal y no una simple curva. Esto se debe al siguiente resultado de las iteraciones de una función racional:

Theorem—Cada uno de los dominios de Fatou tiene el mismo límite, que por consiguiente es el conjunto de Julia.

Esto significa que cada punto del conjunto Julia es un punto de acumulación para cada uno de los dominios Fatou. Por lo tanto, si hay más de dos dominios de Fatou, cada uno El punto del conjunto Julia debe tener puntos de más de dos diferentes conjuntos abiertos infinitamente cerca, y esto significa que el conjunto Julia no puede ser una curva simple. Este fenómeno ocurre, por ejemplo, cuando f()z) es la iteración de Newton para resolver la ecuación 2;}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">P()z):=zn− − 1=0:n■2{displaystyle ;P(z):=z^{n}-1=0~:~n Conf2;}2;}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7ce23ba213f17698c7963f4fcea5bbe476b974a" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.005ex; height:2.843ex;"/>:

f()z)=z− − P()z)P.()z)=1+()n− − 1)znnzn− − 1.{displaystyle f(z)=z-{P(z)}{P'(z)}={frac {;1+(n-1)z^{n};}{nz^{n-1}}~}}~}

La imagen de la derecha muestra el caso n = 3.

Polinomios cuadráticos

Un sistema dinámico complejo muy popular está dado por la familia de polinomios cuadráticos complejos, un caso especial de mapas racionales. Tales polinomios cuadráticos se pueden expresar como

fc()z)=z2+c,{displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c~,}

Donde c es un parámetro complejo. Arregla un poco. 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">R■0{displaystyle R =0} 0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57914127d03a5cea02c60a32cfbb22f34904f00d" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.025ex; height:2.176ex;"/> lo suficientemente grande R2− − R≥ ≥ SilenciocSilencio.{displaystyle R^{2}-Rgeq Silencioc.} (Por ejemplo, si c está en el conjunto Mandelbrot, entonces SilenciocSilencio≤ ≤ 2,{displaystyle Silencioso así podemos simplemente dejar R=2.{displaystyle R=2~.) Entonces la Julia llena para este sistema es el subconjunto del plano complejo dado por

K()fc)={}z▪ ▪ C:О О n▪ ▪ N,Silenciofcn()z)Silencio≤ ≤ R},{displaystyle K(f_{c})=left{zin mathbb {C}:forall nin mathbb {N} habitf_{c}{n}(z) Rright}~

Donde fcn()z){displaystyle f_{c} {n}(z)} es nt iterate of fc()z).{displaystyle f_{c}(z). } El set de Julia J()fc){displaystyle J(f_{c}} de esta función es el límite de K()fc){displaystyle K(f_{c}}.

El plano del parámetro de los polinomios cuadráticos – es decir, el plano de posible c valores – da lugar al famoso conjunto Mandelbrot. De hecho, el conjunto Mandelbrot se define como el conjunto de todos c tales que J()fc){displaystyle J(f_{c}} está conectado. Para parámetros fuera del conjunto Mandelbrot, el conjunto Julia es un espacio Cantor: en este caso es a veces referido como polvo gordo.

En muchos casos, el conjunto de Julia de c se parece al conjunto de Mandelbrot en vecindarios suficientemente pequeños de c. Esto es cierto, en particular, para los llamados parámetros de Misiurewicz, es decir, parámetros c para los cuales el punto crítico es pre-periódico. Por ejemplo:

En otras palabras, la Julia establece J()fc){displaystyle J(f_{c}} son localmente similares alrededor de puntos Misiurewicz.

Generalizaciones

La definición de conjuntos de Julia y Fatou se traslada fácilmente al caso de ciertos mapas cuya imagen contiene su dominio; más notablemente las funciones meromórficas trascendentales y los mapas de tipo finito de Adam Epstein.

Los conjuntos de Julia también se definen comúnmente en el estudio de la dinámica en varias variables complejas.

Pseudocódigo

Las siguientes implementaciones de pseudocódigo codifican las funciones para cada fractal. Considere implementar operaciones numéricas complejas para permitir un código más dinámico y reutilizable.

Pseudocódigo para conjuntos normales de Julia

f()z)=z2+c{displaystyle f(z)=z^{2}+c}
R = escape radio # Elija R # 0 tal que R**2 - R Èste= sqrt(cx**2 + cy**2)para cada uno pixel ()x, Sí.) on el pantalla, do: {} z = escalada x coordenadas de pixel # (escala entre -R y R) # zx representa la parte real de z. zy = escalada Sí. coordenadas de pixel # (escala entre -R y R) # zy representa la parte imaginaria de z. iteración = 0 max_iteration = 1000 mientras ()z * z + zy * zy . R#2 Y iteración . max_iteration) {} xtemp = z * z - zy * zy zy = 2 * z * zy + cy z = xtemp + cx iteración = iteración + 1 } si ()iteración == max_iteration) retorno negro; más retorno iteración;}

Pseudocódigo para conjuntos multi-Julia

f()z)=zn+c{displaystyle f(z)=z^{n}+c}
R = escape radio # Elija R # 0 tal que R**n - R Èste= sqrt(cx**2 + cy**2)para cada uno pixel ()x, Sí.) on el pantalla, do:{} z = escalada x coordenadas de pixel # (escala entre -R y R) zy = escalada Sí. coordenadas de pixel # (escala entre -R y R) iteración = 0 max_iteration = 1000 mientras ()z * z + zy * zy . R#2 Y iteración . max_iteration) {} xtmp = ()z * z + zy * zy) ^ ()n / 2) * #()n * atan2()zy, z) + cx; zy = ()z * z + zy * zy) ^ ()n / 2) * pecado()n * atan2()zy, z) + cy; z = xtmp; iteración = iteración + 1 } si ()iteración == max_iteration) retorno negro; más retorno iteración;}

La función potencial y el número de iteración real

El juego de Julia f()z)=z2{displaystyle f(z)=z^{2} es el círculo de la unidad, y en el exterior dominio Fatou, el función potencial φ()z) se define por φ()z) = registrozSilencio. Las líneas de equipo para esta función son círculos concéntricos. As Silenciof()z)Silencio=SilenciozSilencio2{displaystyle Silenciof(z) tenemos

φ φ ()z)=limk→ → JUEGO JUEGO log⁡ ⁡ SilenciozkSilencio2k,{displaystyle varphi (z)=lim _{kto infty }{frac {log Silencio.

Donde zk{displaystyle z_{k} es la secuencia de la iteración generada por z. Para la iteración más general f()z)=z2+c{displaystyle f(z)=z^{2}+c}, se ha demostrado que si el set de Julia está conectado (es decir, si c pertenece al conjunto (usual) Mandelbrot, entonces existe un mapa biholomorfo ↑ entre el dominio exterior de Fatou y el círculo exterior de la unidad tal que Silencio↑ ↑ ()f()z))Silencio=Silencio↑ ↑ ()z)Silencio2{displaystyle Silenciopsi (f(z)). Esto significa que la función potencial en el dominio externo Fatou definida por esta correspondencia es dada por:

φ φ ()z)=limk→ → JUEGO JUEGO log⁡ ⁡ SilenciozkSilencio2k.{displaystyle varphi (z)=lim _{kto infty }{frac {log Silencio.

Esta fórmula también tiene significado si el conjunto de Julia no es conexo, por lo que para todos los c podemos definir la función potencial en el dominio de Fatou que contiene ∞ mediante esta fórmula. Para una función racional general f(z) tal que ∞ es un punto crítico y un punto fijo, es decir, tal que el grado m del numerador es al menos dos veces mayor que el grado n del denominador, definimos la función potencial en el dominio de Fatou que contiene ∞ por:

φ φ ()z)=limk→ → JUEGO JUEGO log⁡ ⁡ SilenciozkSilenciodk,{displaystyle varphi (z)=lim _{kto infty }{frac {log Silencio.

donde d = m − n es el grado de la función racional.

Si N es un número muy grande (por ejemplo 10100), y si k es el primer número de iteración tal que N}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">SilenciozkSilencio■N{displaystyle Silencio.N" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2667816097799961cb5d1f2421ebaa56daf6194d" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.626ex; height:2.843ex;"/>, tenemos eso

log⁡ ⁡ SilenciozkSilenciodk=log⁡ ⁡ ()N)d.. ()z),{displaystyle {frac {fnMicroc} ¿Qué?

para algún número real .. ()z){displaystyle nu (z)}, que debe considerarse como el número real de iteración, y tenemos eso:

.. ()z)=k− − log⁡ ⁡ ()log⁡ ⁡ SilenciozkSilencio/log⁡ ⁡ ()N))log⁡ ⁡ ()d),{displaystyle nu (z)=k-{frac {log(log TENZ_{k}tuvo/log(N)}{log(d)}}} }

donde el último número está en el intervalo [0, 1).

Para la iteración hacia un ciclo finito de atracción de orden r, tenemos eso si zAlternativa Alternativa {displaystyle z^{*} es un punto del ciclo, entonces f()f()...f()zAlternativa Alternativa )))=zAlternativa Alternativa {displaystyle f(...f(z^{*}))=z^{*} (r- composición múltiple) y número

1)}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">α α =1Silencio()d()f()f()⋯ ⋯ f()z))))/dz)z=zAlternativa Alternativa Silencio()■1){displaystyle alpha ={frac {1}{left arrest(d(f(cdots f(z))))/dz)_{z=z=z^{*}} right}qquad (conocido)}}1)" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feeb135cfcde1d0f175618c5382b989514337a7f" style="vertical-align: -2.671ex; width:42.432ex; height:6.009ex;"/>

es atracción del ciclo. Si w es un punto muy cerca zAlternativa Alternativa {displaystyle z^{*} y w′ es w iterated r veces, tenemos que

α α =limk→ → JUEGO JUEGO Silenciow− − zAlternativa Alternativa SilencioSilenciow.− − zAlternativa Alternativa Silencio.{displaystyle alpha =lim _{kto infty }{frac Oh, Dios mío.

Por lo tanto el número Silenciozkr− − zAlternativa Alternativa Silencioα α k{displaystyle Silencio. es casi independiente de k. Definimos la función potencial en el dominio Fatou por:

φ φ ()z)=limk→ → JUEGO JUEGO 1()Silenciozkr− − zAlternativa Alternativa Silencioα α k).{displaystyle varphi (z)=lim _{kto infty }{frac {1}{(Priz_{kr}-z^{*}alpha ^{k}}}}}}}

Si ε es un número muy pequeño y k es el primer número de iteración tal que <math alttext="{displaystyle |z_{k}-z^{*}|Silenciozk− − zAlternativa Alternativa Silencio.ε ε {displaystyle Silencio.<img alt="|z_{k}-z^{*}|, tenemos eso

φ φ ()z)=1()ε ε α α .. ()z)){displaystyle varphi (z)={frac {1}{(varepsilon alpha ^{nu (z)}}}}}}}

para algún número real .. ()z){displaystyle nu (z)}, que debe ser considerado como el número real de iteración, y tenemos que:

.. ()z)=k− − log⁡ ⁡ ()ε ε /Silenciozk− − zAlternativa Alternativa Silencio)log⁡ ⁡ ()α α ).{displaystyle nu (z)=k-{frac {log(varepsilon - ¿Qué?

Si la atracción es ∞, lo que significa que el ciclo es superatrayente, lo que significa nuevamente que uno de los puntos del ciclo es un punto crítico, debemos reemplazar α por

α α =limk→ → JUEGO JUEGO log⁡ ⁡ Silenciow.− − zAlternativa Alternativa Silenciolog⁡ ⁡ Silenciow− − zAlternativa Alternativa Silencio,{displaystyle alpha =lim _{kto infty }{frac {log w'-z^{*} Silencio.

donde w′ es w iterado r veces y la fórmula para φ(z) por:

φ φ ()z)=limk→ → JUEGO JUEGO log⁡ ⁡ ()1/Silenciozkr− − zAlternativa Alternativa Silencio)α α k.{displaystyle varphi (z)=lim _{kto infty }{frac {log(1/ habitz_{kr}-z^{*}capacidad)}{alpha ^{k}}}}}}}

Y ahora el número de iteración real está dado por:

.. ()z)=k− − log⁡ ⁡ ()log⁡ ⁡ Silenciozk− − zAlternativa Alternativa Silencio/log⁡ ⁡ ()ε ε ))log⁡ ⁡ ()α α ).{displaystyle nu (z)=k-{frac {log(log) - ¿Por qué?

Para la coloración debemos tener una escala cíclica de colores (construido matemáticamente, por ejemplo) y conteniendo H colores numerados de 0 a 0 H−1H = 500, por ejemplo). Multiplicamos el número real .. ()z){displaystyle nu (z)} por un número real fijo determinando la densidad de los colores en la imagen, y tomar la parte integral de este modulo número H.

La definición de la función potencial y nuestra forma de colorear presupone que el ciclo es atrayente, es decir, no neutral. Si el ciclo es neutro, no podemos colorear el dominio de Fatou de forma natural. Como el término de la iteración es un movimiento giratorio, podemos, por ejemplo, colorear por la distancia mínima del ciclo que queda fijada por la iteración.

Líneas de campo

Las líneas equiparables para la iteración hacia el infinito
Líneas de campo para una iteración de la forma ()1− − z3/6)()z− − z2/2)2+c{displaystyle {frac {1-z^{3}/6)}{(z-z^{2}/2)}}}+c}

En cada dominio de Fatou (que no es neutro) existen dos sistemas de líneas ortogonales entre sí: las líneas equipotenciales (para la función potencial o el número de iteración real) y las líneas de campo.

Si coloramos el dominio Fatou según el número de iteración (y no el número de iteración real .. ()z){displaystyle nu (z)}, tal como se define en la sección anterior), las bandas de iteración muestran el curso de las líneas equitenciales. Si la iteración es hacia ∞ (como es el caso del dominio exterior de Fatou para la iteración habitual z2+c{displaystyle z^{2}+c}), podemos mostrar fácilmente el curso de las líneas de campo, es decir, alterando el color según el último punto de la secuencia de iteración está por encima o por debajo de la x-eje (primera imagen), pero en este caso (más precisamente: cuando el dominio Fatou es súper atractivo) no podemos dibujar las líneas de campo coherentemente - al menos no por el método que describimos aquí. En este caso una línea de campo también se llama un rayo externo.

Vamos z ser un punto en el dominio de Fatou atractivo. Si lo hacemos z un gran número de veces, el término de la secuencia de la iteración es un ciclo finito C, y el dominio Fatou es (por definición) el conjunto de puntos cuya secuencia de iteración converge hacia C. Las líneas de campo emiten desde los puntos C y del (número infinito) puntos que iterate en un punto C. Y terminan en la Julia establecida en puntos que no son caóticos (es decir, generando un ciclo finito). Vamos r ser el orden del ciclo C (su número de puntos) y zAlternativa Alternativa {displaystyle z^{*} ser un punto en C. Tenemos f()f()...... f()zAlternativa Alternativa )))=zAlternativa Alternativa {displaystyle f(f(dots f(z^{*})=z^{*} (la composición r-fold), y definimos el número complejo α por

α α =()d()f()f()...... f()z))))/dz)z=zAlternativa Alternativa .{displaystyle alpha =(d(f(dots f(z))))/dz)_{z=z^{*}.}

Si los puntos C son zi,i=1,...... ,r()z1=zAlternativa Alternativa ){displaystyle z_{i},i=1,dotsr(z_{1}=z^{*} }, α es el producto de la r números f.()zi){displaystyle f'(z_{i})}. El número real 1/ sobre la vida eterna es el atracción del ciclo, y nuestra suposición de que el ciclo no es neutral ni super atractivo, significa que 1 1/SilencioαSilencio ■. El punto zAlternativa Alternativa {displaystyle z^{*} es un punto fijo f()f()...... f()z))){displaystyle f(f(dots f(z))}, y cerca de este punto el mapa f()f()...... f()z))){displaystyle f(f(dots f(z))} tiene (en relación con las líneas de campo) carácter de una rotación con el argumento β de α (es decir, α α =Silencioα α Silencioeβ β i{displaystyle alpha = pacienciaalpha TENIDO {beta i}).

Para colorear el dominio Fatou, hemos elegido un pequeño número ε y establecer las secuencias de la iteración zk()k=0,1,2,...... ,z0=z){displaystyle z_{k}(k=0,1,2,dotsz_{0}=z)} parar cuando <math alttext="{displaystyle |z_{k}-z^{*}|Silenciozk− − zAlternativa Alternativa Silencio.ε ε {displaystyle Silencio.<img alt="|z_{k}-z^{*}|, y colorear el punto z según el número k (o el número real de iteración, si preferimos un colorido suave). Si elegimos una dirección desde zAlternativa Alternativa {displaystyle z^{*} dado por un ángulo Silencio, la línea de campo que emite zAlternativa Alternativa {displaystyle z^{*} en esta dirección consta de los puntos z tal que el argumento ↑ del número zk− − zAlternativa Alternativa {displaystyle z_{k}-z^{*} satisface la condición de que

↑ ↑ − − kβ β =Silencio Silencio modπ π .{displaystyle psi -kbeta =theta mod pi.,}

Para si pasamos una banda de iteración en la dirección de las líneas de campo (y lejos del ciclo), el número de iteración k se aumenta en 1 y el número  se aumenta en β, por lo tanto el número ↑ ↑ − − kβ β modπ π {displaystyle psi -kbeta mod pi } es constante a lo largo de la línea de campo.

Fotos en las líneas de campo para una iteración de la forma z2+c{displaystyle z^{2}+c}

Una coloración de las líneas de campo del dominio Fatou significa que coloreamos los espacios entre pares de líneas de campo: elegimos una serie de direcciones de ubicación regular emitidas desde zAlternativa Alternativa {displaystyle z^{*}, y en cada una de estas direcciones elegimos dos direcciones alrededor de esta dirección. Como puede suceder que las dos líneas de campo de un par no terminen en el mismo punto del conjunto Julia, nuestras líneas de campo de colores pueden ramificar (sin igual) en su camino hacia el conjunto Julia. Podemos colorear sobre la base de la distancia a la línea central de la línea de campo, y podemos mezclar esta coloración con la coloración habitual. Tales imágenes pueden ser muy decorativas (segundo cuadro).

Los bautistas del séptimo día son bautistas que observan el sábado como el séptimo día de la semana, el sábado, como un día santo para Dios. Adoptan una teología bautista del pacto, basada en el concepto de sociedad regenerada, bautismo consciente de creyentes por inmersión, gobierno congregacional y la base bíblica de opinión y práctica. Profesan una declaración de fe instituida sobre preceptos fundamentales de fe. Los Bautistas del Séptimo Día descansan el sábado como una señal de obediencia en una relación de pacto con Dios y no como una condición para la salvación.

Existen innumerables relatos en la historia de cristianos que guardaron el séptimo día de la semana como día de descanso y adoración a Dios tal como fue instituido por Dios en la creación del mundo, afirmado como cuarto mandamiento y reafirmado en la enseñanza y ejemplo de Jesús y los Apóstoles. En contraste con esto, se sabe que la mayoría de los cristianos e iglesias en la historia han optado por descansar el domingo en lugar del sábado. Sin embargo, hay informes de la observancia del sábado en diferentes partes del mundo, incluida una nación entera que descansó el sábado. Los primeros cristianos que adoptaron la doctrina bautista y guardaron el séptimo día se remontan a mediados del siglo XVII en Inglaterra.

Descomposición binaria del interior en caso de ángulo interno 0

Métodos:

Uso de la iteración hacia atrás (inversa) (IIM)

Una trama de Julia, generada usando IIM al azar
Una trama de Julia, generada usando MIIM

Como se mencionó anteriormente, el conjunto Julia se puede encontrar como el conjunto de puntos límite del conjunto de preimágenes de (esencialmente) cualquier punto dado. Así podemos intentar trazar el conjunto Julia de una función dada como sigue. Empieza con cualquier punto z sabemos estar en el set de Julia, como un punto periódico replanteante, y computar todas las imágenes previas de z bajo un alto fn{displaystyle f^{n} de f.

Desafortunadamente, dado que la cantidad de imágenes previas iteradas crece exponencialmente, esto no es factible computacionalmente. Sin embargo, podemos ajustar este método, de forma similar al "juego aleatorio" método para sistemas de funciones iteradas. Es decir, en cada paso, elegimos al azar una de las imágenes inversas de f.

Por ejemplo, para el polinomio cuadrático fc, la iteración hacia atrás se describe mediante

zn− − 1=zn− − c.{displaystyle z_{n-1}={sqrt {z_{n}-c}}

En cada paso, se selecciona al azar una de las dos raíces cuadradas.

Tenga en cuenta que ciertas partes del conjunto de Julia son bastante difíciles de acceder con el algoritmo de Julia inverso. Por esta razón, se debe modificar IIM/J (se llama MIIM/J) o usar otros métodos para producir mejores imágenes.

Usando DEM/J

Como un conjunto de Julia es infinitamente delgado, no podemos dibujarlo de manera efectiva iterando hacia atrás desde los píxeles. Aparecerá fragmentado debido a la impracticabilidad de examinar un número infinito de puntos de partida. Dado que el recuento de iteraciones cambia vigorosamente cerca del conjunto de Julia, una solución parcial es implicar el contorno del conjunto a partir de los contornos de color más cercanos, pero el conjunto tenderá a verse borroso.

Una mejor manera de dibujar la Julia puesta en blanco y negro es estimar la distancia de píxeles (DEM) del conjunto y para colorear cada píxel cuyo centro está cerca del conjunto. La fórmula para la estimación de distancia se deriva de la fórmula para la función potencial φ()z). Cuando las líneas de equipo φ()z) miente cerca, el número Silencioφ φ .()z)Silencio{displaystyle Silenciovarphi '(z) es grande, y a la inversa, por lo tanto las líneas de equipo para la función δ δ ()z)=φ φ ()z)/Silencioφ φ .()z)Silencio{displaystyle delta (z)=varphi (z)/Sobrevivirvarphi '(z) debe mentir aproximadamente regularmente. Se ha demostrado que el valor encontrado por esta fórmula (hasta un factor constante) converge hacia la verdadera distancia para z convergendo hacia el conjunto Julia.

Asumimos que f()z) es racional, es decir, f()z)=p()z)/q()z){displaystyle f(z)=p(z)/q(z)} Donde p()z) y q()z) son polinomios complejos de grados m y n, respectivamente, y tenemos que encontrar el derivado de las expresiones anteriores para φ()z). Y como es sólo zk{displaystyle z_{k} que varía, debemos calcular el derivado zk.{displaystyle z'_{k} de zk{displaystyle z_{k} con respecto a z. Pero zk=f()f()⋯ ⋯ f()z))){displaystyle z_{k}=f(cdots f(z)} (k- composición múltiple), zk.{displaystyle z'_{k} es el producto de los números f.()zk){displaystyle f'(z_{k}}, y esta secuencia puede ser calculada recursivamente por zk+1.=f.()zk)zk.{displaystyle z'_{k+1}=f'(z_{k}, empezando con z0.=1{displaystyle z'_{0}=1} ()antes el cálculo de la próxima iteración zk+1=f()zk){displaystyle z_{k+1}=f(z_{k}}).

Para la iteración hacia ∞ (más precisamente cuando m ≥ n + 2, de modo que ∞ es un super- atrayendo punto fijo), tenemos

Silencioφ φ .()z)Silencio=limk→ → JUEGO JUEGO Silenciozk.SilencioSilenciozkSilenciodk,{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} - Hola.

(d = m − n) y en consecuencia:

δ δ ()z)=φ φ ()z)/Silencioφ φ .()z)Silencio=limk→ → JUEGO JUEGO log⁡ ⁡ SilenciozkSilencioSilenciozkSilencio/Silenciozk.Silencio.{displaystyle delta (z)=varphi (z)/Sobrevivirvarphi '(z) - ¿Qué?

Para la iteración hacia un ciclo de atracción finito (que no es super-atracción) que contiene el punto zAlternativa Alternativa {displaystyle z^{*} y tener orden r, tenemos

Silencioφ φ .()z)Silencio=limk→ → JUEGO JUEGO Silenciozkr.Silencio/()Silenciozkr− − zAlternativa Alternativa Silencio2α α k),{displaystyle Нvarphi '(z) [Risas]

y en consecuencia:

δ δ ()z)=φ φ ()z)/Silencioφ φ .()z)Silencio=limk→ → JUEGO JUEGO Silenciozkr− − zAlternativa Alternativa Silencio/Silenciozkr.Silencio.{displaystyle delta (z)=varphi (z)/Sobrevivirvarphi '(z) - ¿Qué?

Para un ciclo súper atractivo, la fórmula es:

δ δ ()z)=limk→ → JUEGO JUEGO log⁡ ⁡ Silenciozkr− − zAlternativa Alternativa Silencio2/Silenciozkr.Silencio.{displaystyle delta (z)=lim _{kto infty }log - ¿Qué?

Calculamos este número cuando se detiene la iteración. Tenga en cuenta que la estimación de la distancia es independiente de la atracción del ciclo. Esto significa que tiene significado para funciones trascendentales de "grado infinito" (por ejemplo, sin(z) y tan(z)).

Además de dibujar el límite, la función de distancia se puede introducir como una tercera dimensión para crear un paisaje fractal sólido.