Asíntota

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En geometría y cálculo una asíntota es una línea recta que se desplaza infinitamente hacia el final de una curva acercándose ambas a cero en un punto infinito de su desplazamiento. Este desplazamiento puede ser en cualquiera de los ejes de un plano (x o y). En otras palabras, una asíntota es una línea que tiende a converger en un punto infinito con una curva, en dirección del eje del plano hacia el que se desplazan. En geometría proyectiva y contextos relacionados, una asíntota de una curva siempre es una línea tangente a la curva en un punto del infinito.

La palabra asíntota se deriva del griego ἀσύμπτωτος (asumptōtos) que significa "no caer juntos", de ἀ priv. + σύν "juntos" + πτωτ-ός "caído". El término fue introducido por Apolonio de Perge en su trabajo sobre secciones cónicas, pero en contraste con su significado moderno, lo usó para referirse a cualquier línea que no interseca la curva dada —ahora se asume que la intersecta, pero en un punto en el infinito—.

Hay tres tipos de asíntotas: horizontales, verticales y oblicuas. Para las curvas dadas por la gráfica de una función y = ƒ (x), las asíntotas horizontales son rectas horizontales a las que se aproxima la gráfica de la función cuando x tiende a +∞ o −∞. Las asíntotas verticales son líneas verticales cerca de las cuales la función crece sin límite. Una asíntota oblicua tiene una pendiente distinta de cero pero finita, de modo que la gráfica de la función se acerca a ella cuando x tiende a +∞ o −∞.

Introducción

Asíntota vectorial sobre una línea con cortes infinitos

La idea de que una curva puede acercarse arbitrariamente a una línea sin volverse realmente la misma parece contradecir la experiencia cotidiana. Las representaciones de una línea y una curva como marcas en una hoja de papel o como píxeles en la pantalla de una computadora tienen un ancho positivo. Entonces, si se extendieran lo suficiente, parecerían fusionarse, al menos hasta donde alcanza la vista. Pero estas son representaciones físicas de las correspondientes entidades matemáticas; la línea y la curva son conceptos idealizados cuyo ancho es 0 (ver Línea). Por lo tanto, la comprensión de la idea de una asíntota requiere un esfuerzo de razón más que de experiencia.

Considere la gráfica de la función:

$f(x)={frac{1}{x}}$

Las coordenadas de los puntos de la curva son de la forma:

$left(x,{frac{1}{x}}right)$

Donde x es un número distinto de 0. Por ejemplo, el gráfico contiene los puntos (1, 1), (2, 0,5), (5, 0,2), (10, 0.1),... A medida que los valores de x se vuelven más y más grandes, digamos 100, 1,000, 10,000..., colocándolos muy a la derecha de la ilustración, los valores correspondientes de y,.01,.001,.0001,..., se vuelven infinitesimales en relación con la escala que se muestra. Pero no importa cuán grande x sea, su recíproco 1/x nunca es 0, por lo que la curva nunca toca el eje x. Del mismo modo, como los valores de $X$ cada vez más pequeños, digamos.01,.001,.0001,..., haciéndolos infinitesimales en relación con la escala mostrada, los valores correspondientes de $y$ , 100, 1,000, 10,000..., se vuelven cada vez más grandes. Entonces, la curva se extiende más y más hacia arriba a medida que se acerca más y más al eje y. Por lo tanto, tanto el eje x como el eje y son asíntotas de la curva. Estas ideas son parte de la base del concepto de límite en matemáticas, y esta conexión se explica con más detalle a continuación.

De manera más general, una curva es una asíntota curvilínea de otra (a diferencia de una asíntota lineal) si la distancia entre las dos curvas tiende a cero cuando tienden a infinito, aunque el término asíntota en sí mismo suele reservarse para asíntotas lineales.

Las asíntotas transmiten información sobre el comportamiento de las curvas en los grandes, y determinar las asíntotas de una función es un paso importante para dibujar su gráfica. El estudio de las asíntotas de funciones, entendidas en un sentido amplio, forma parte del objeto del análisis asintótico.

HSD

Asíntotas de funciones

Las asíntotas que se encuentran con mayor frecuencia en el estudio del cálculo son las curvas de la forma y = ƒ (x). Estos pueden ser calculados usando límites y clasificados en asíntotas horizontales, verticales y oblicuas dependiendo de su orientación. Las asíntotas horizontales son rectas horizontales a las que se aproxima la gráfica de la función cuando x tiende a +∞ o −∞. Como su nombre lo indica, son paralelos al eje x. Las asíntotas verticales son líneas verticales (perpendiculares a la x-eje) cerca del cual la función crece sin límite. Las asíntotas oblicuas son líneas diagonales tales que la diferencia entre la curva y la línea se aproxima a 0 cuando x tiende a +∞ o −∞.

Asíntotas verticales

La recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de la función y = ƒ (x) si al menos una de las siguientes afirmaciones es verdadera:

${displaystyle lim _{xto a^{-}}f(x)=pm infty,}$
${displaystyle lim _{xto a^{+}}f(x)=pm infty,}$

donde ${ estilo de visualización lim _ {x a un ^ {-}}}$ es el límite cuando x se acerca al valor a desde la izquierda (desde valores menores), y ${displaystyle lim _{xto a^{+}}}$ es el límite cuando x se acerca a a desde la derecha.

Por ejemplo, si ƒ(x) = x /(x –1), el numerador tiende a 1 y el denominador tiende a 0 cuando x tiende a 1. Entonces ${displaystyle lim _{xto 1^{+}}{frac {x}{x-1}}=+infty}$ ${displaystyle lim _{xto 1^{-}}{frac {x}{x-1}}=-infty}$

y la curva tiene una asíntota vertical x = 1.

La función ƒ (x) puede o no estar definida en a, y su valor preciso en el punto x = a no afecta la asíntota. Por ejemplo, para la función0,\5&{text{si}}xleq 0.end{casos}}}">

tiene un límite de +∞ cuando x → 0, ƒ (x) tiene la asíntota vertical x = 0, aunque ƒ (0) = 5. La gráfica de esta función interseca la asíntota vertical una vez, en (0, 5). Es imposible que la gráfica de una función corte una asíntota vertical (o una línea vertical en general) en más de un punto. Además, si una función es continua en cada punto donde está definida, es imposible que su gráfica corte a alguna asíntota vertical.

Un ejemplo común de una asíntota vertical es el caso de una función racional en un punto x tal que el denominador es cero y el numerador no es cero.

Si una función tiene una asíntota vertical, entonces no es necesariamente cierto que la derivada de la función tenga una asíntota vertical en el mismo lugar. un ejemplo es ${displaystyle f(x)={tfrac {1}{x}}+sin({tfrac {1}{x}})quad }$ en ${ estilo de visualización cuádruple x = 0}$ .

Esta función tiene una asíntota vertical en $x=0,$ porque ${displaystyle lim _{xto 0^{+}}f(x)=lim _{xto 0^{+}}left({tfrac {1}{x}}+sin left({tfrac {1}{x}}right)right)=+infty,}$

y ${displaystyle lim _{xto 0^{-}}f(x)=lim _{xto 0^{-}}left({tfrac {1}{x}}+sin left({tfrac {1}{x}}right)right)=-infty}$ .

La derivada de $F$ es la función ${displaystyle f'(x)={frac {-(cos({tfrac {1}{x}})+1)}{x^{2}}}}$ .

Para la sucesión de puntos ${displaystyle x_{n}={frac {(-1)^{n}}{(2n+1)pi }},quad }$ por ${ estilo de visualización quad n = 0,1,2, ldots}$

que se acerca $x=0$ tanto por la izquierda como por la derecha, los valores $f'(x_{n})$ son constantes ${ estilo de visualización 0}$ . Por lo tanto, ambos límites unilaterales de $F'$ at ${ estilo de visualización 0}$ no pueden ser ni $+infty$ ni $-infty$ . Por lo tanto $f'(x)$ , no tiene una asíntota vertical en $x=0$ .

Asíntotas horizontales

Las asíntotas horizontales son rectas horizontales a las que se aproxima la gráfica de la función cuando x → ±∞. La recta horizontal y = c es una asíntota horizontal de la función y = ƒ (x) si $lim_{xrightarrow -infty}f(x)=c$ o $lim_{xrightarrow +infty}f(x)=c$ .

En el primer caso, ƒ (x) tiene y = c como asíntota cuando x tiende a −∞, y en el segundo ƒ (x) tiene y = c como asíntota cuando x tiende a +∞.

Por ejemplo, la función arcotangente satisface $lim_{xrightarrow -infty}arctan(x)=-frac{pi}{2}$ y $lim_{xrightarrow+infty}arctan(x)=frac{pi}{2}.$

Entonces, la línea y = – π /2 es una asíntota horizontal para el arcotangente cuando x tiende a –∞, y y = π /2 es una asíntota horizontal para el arcotangente cuando x tiende a +∞.

Las funciones pueden carecer de asíntotas horizontales en uno o ambos lados, o pueden tener una asíntota horizontal que es igual en ambas direcciones. Por ejemplo, la función ƒ(x) = 1/(x +1) tiene una asíntota horizontal en y = 0 cuando x tiende tanto a −∞ como a +∞ porque, respectivamente, $lim_{xto -infty}frac{1}{x^2+1}=lim_{xto +infty}frac{1}{x^2+1}=0.$

Otras funciones comunes que tienen una o dos asíntotas horizontales incluyen x ↦ 1/ x (que tiene una hipérbola como gráfica), la función gaussiana, la función ${displaystyle xmapstoexp(-x^{2}),}$ de error y la función logística.

Asíntotas oblicuas

Cuando una asíntota lineal no es paralela al eje x o y, se llama asíntota oblicua o asíntota inclinada. Una función ƒ (x) es asintótica a la recta y = mx + n (m ≠ 0) si $lim_{x to +infty}left[ f(x)-(mx+n)right] = 0 , mbox{ o } lim_{x to -infty}left[ f(x)-(mx+n)derecha] = 0.$

En el primer caso la recta y = mx + n es una asíntota oblicua de ƒ (x) cuando x tiende a +∞, y en el segundo caso la recta y = mx + n es una asíntota oblicua de ƒ (x) cuando x tiende a −∞.

Un ejemplo es ƒ (x) = x + 1/ x, que tiene la asíntota oblicua y = x (es decir, m = 1, n = 0) como se ve en los límites $lim_{xtopminfty}left[f(x)-xright]$ $=lim_{xtopminfty}left[left(x+frac{1}{x}right)-xright]$ $=lim_{xtopminfty}frac{1}{x}=0.$

Métodos elementales para identificar asíntotas

Las asíntotas de muchas funciones elementales se pueden encontrar sin el uso explícito de límites (aunque las derivaciones de tales métodos suelen usar límites).

Cálculo general de asíntotas oblicuas para funciones

La asíntota oblicua, para la función f (x), vendrá dada por la ecuación y = mx + n. El valor de m se calcula primero y viene dado por ${displaystyle m;{stackrel {text{def}}{=}},lim _{xrightarrow a}f(x)/x}$

donde a es $-infty$ o $+infty$ dependiendo del caso que se estudie. Es una buena práctica tratar los dos casos por separado. Si este límite no existe, entonces no hay asíntota oblicua en esa dirección.

Teniendo m, entonces el valor de n puede ser calculado por ${displaystyle n;{stackrel {text{def}}{=}},lim _{xrightarrow a}(f(x)-mx)}$

donde a debe ser el mismo valor usado antes. Si este límite no existe, entonces no hay asíntota oblicua en esa dirección, incluso si existe el límite que define m. De lo contrario, y = mx + n es la asíntota oblicua de ƒ (x) cuando x tiende a a.

Por ejemplo, la función ƒ (x) = (2 x + 3 x + 1)/ x tiene $m=lim_{xrightarrow+infty}f(x)/x=lim_{xrightarrow+infty}frac{2x^2+3x+1}{x^2}=2$ y luego $n=lim_{xrightarrow+infty}(f(x)-mx)=lim_{xrightarrow+infty}left(frac{2x^2+3x+1}{x}-2xright)=3$

de modo que y = 2 x + 3 es la asíntota de ƒ (x) cuando x tiende a +∞.

La función ƒ (x) = ln x tiene $m=lim_{xrightarrow+infty}f(x)/x=lim_{xrightarrow+infty}frac{ln x}{x}=0$ y luego $n=lim_{xrightarrow+infty}(f(x)-mx)=lim_{xrightarrow+infty}ln x$ , que no existe.

Entonces y = ln x no tiene asíntota cuando x tiende a +∞.

Asíntotas para funciones racionales

Una función racional tiene como máximo una asíntota horizontal o una asíntota oblicua (inclinada), y posiblemente muchas asíntotas verticales.

El grado del numerador y el grado del denominador determinan si hay o no asíntotas horizontales u oblicuas. Los casos se tabulan a continuación, donde grado(numerador) es el grado del numerador y grado(denominador) es el grado del denominador.

grado(numerador)−grado(denominador)	Asíntotas en general	Ejemplo	Asíntota por ejemplo
< 0	$y= 0$	$f(x)=frac{1}{x^2+1}$	$y=0$
= 0	y = la razón de los coeficientes principales	$f(x)={frac{2x^{2}+7}{3x^{2}+x+12}}$	$y={ fracción {2}{3}}$
= 1	y = el cociente de la división euclidiana del numerador por el denominador	${displaystyle f(x)={frac {2x^{2}+3x+5}{x}}=2x+3+{frac {5}{x}}}$	${ estilo de visualización y = 2x + 3}$
> 1	ninguna	$f(x)={frac{2x^{4}}{3x^{2}+1}}$	no hay asíntota lineal, pero existe una asíntota curvilínea

Las asíntotas verticales ocurren solo cuando el denominador es cero (si tanto el numerador como el denominador son cero, se comparan las multiplicidades del cero). Por ejemplo, la siguiente función tiene asíntotas verticales en x = 0 y x = 1, pero no en x = 2. $f(x)=frac{x^2-5x+6}{x^3-3x^2+2x}=frac{(x-2)(x-3)}{x(x-1)(x-2)}$

Asíntotas oblicuas de funciones racionales

Cuando el numerador de una función racional tiene un grado exactamente uno mayor que el denominador, la función tiene una asíntota oblicua (inclinada). La asíntota es el término del polinomio después de dividir el numerador y el denominador. Este fenómeno ocurre porque al dividir la fracción, habrá un término lineal y un resto. Por ejemplo, considere la función $f(x)=frac{x^2+x+1}{x+1}=x+frac{1}{x+1}$

se muestra a la derecha. A medida que aumenta el valor de x, f se acerca a la asíntota y = x. Esto se debe a que el otro término, 1/(x +1), tiende a 0.

Si el grado del numerador es más de 1 mayor que el grado del denominador, y el denominador no divide al numerador, habrá un resto distinto de cero que tiende a cero cuando x aumenta, pero el cociente no será lineal, y la función no tiene asíntota oblicua.

Transformaciones de funciones conocidas

Si una función conocida tiene una asíntota (como y =0 para f (x)= e), entonces sus traslaciones también tienen una asíntota.

Si x = a es una asíntota vertical de f (x), entonces x = a + h es una asíntota vertical de f (x - h)
Si y = c es una asíntota horizontal de f (x), entonces y = c + k es una asíntota horizontal de f (x)+ k

Si una función conocida tiene una asíntota, entonces la escala de la función también tiene una asíntota.

Si y = ax + b es una asíntota de f (x), entonces y = cax + cb es una asíntota de cf (x)

Por ejemplo, f (x)= e +2 tiene asíntota horizontal y =0+2=2, y no tiene asíntotas verticales u oblicuas.

Definición general

Medición de un error a partir de una asíntota

Sea A: (a, b) → R una curva plana paramétrica, en coordenadas A (t) = (x (t), y (t)). Supongamos que la curva tiende al infinito, es decir: $lim_{trightarrow b}(x^2(t)+y^2(t))=infty.$

Una línea ℓ es una asíntota de A si la distancia desde el punto A (t) a ℓ tiende a cero cuando t → b. De la definición, solo las curvas abiertas que tienen alguna rama infinita pueden tener una asíntota. Ninguna curva cerrada puede tener una asíntota.

Por ejemplo, la rama superior derecha de la curva y = 1/ x se puede definir paramétricamente como x = t, y = 1/ t (donde t > 0). Primero, x → ∞ cuando t → ∞ y la distancia de la curva al eje x es 1/ t que tiende a 0 cuando t → ∞. Por lo tanto, el eje x es una asíntota de la curva. Además, y → ∞ cuando t → 0 desde la derecha, y la distancia entre la curva y el eje y es t, que tiende a 0 cuando t → 0. Entonces el eje y también es una asíntota. Un argumento similar muestra que la rama inferior izquierda de la curva también tiene las mismas dos líneas como asíntotas.

Aunque la definición aquí utiliza una parametrización de la curva, la noción de asíntota no depende de la parametrización. De hecho, si la ecuación de la recta es $hacha+por+c=0$ entonces la distancia desde el punto A (t) = (x (t), y (t)) hasta la recta viene dada por $frac{|ax(t)+by(t)+c|}{sqrt{a^2+b^2}}$

si γ(t) es un cambio de parametrización entonces la distancia se convierte en $frac{|ax(gamma(t))+by(gamma(t))+c|}{sqrt{a^2+b^2}}$

que tiende a cero simultáneamente como la expresión anterior.

Un caso importante es cuando la curva es la gráfica de una función real (una función de una variable real y que devuelve valores reales). La gráfica de la función y = ƒ (x) es el conjunto de puntos del plano de coordenadas (x, ƒ (x)). Para ello se realiza una parametrización $tmapsto (t,f(t)).$

Esta parametrización debe considerarse sobre los intervalos abiertos (a, b), donde a puede ser −∞ y b puede ser +∞.

Una asíntota puede ser vertical o no vertical (oblicua u horizontal). En el primer caso su ecuación es x = c, para algún número real c. El caso no vertical tiene la ecuación y = mx + n, donde m y $norte$ son números reales. Los tres tipos de asíntotas pueden estar presentes al mismo tiempo en ejemplos específicos. A diferencia de las asíntotas de las curvas que son gráficas de funciones, una curva general puede tener más de dos asíntotas no verticales y puede cruzar sus asíntotas verticales más de una vez.

Asíntotas curvilíneas

Sea A: (a, b) → R una curva plana paramétrica, en coordenadas A (t) = (x (t), y (t)), y B sea otra curva (no parametrizada). Supongamos, como antes, que la curva A tiende a infinito. La curva B es una asíntota curvilínea de A si la distancia más corta del punto A (t) a un punto en B tiende a cero cuando t → b. A veces Bse denomina simplemente como una asíntota de A, cuando no hay riesgo de confusión con asíntotas lineales.

Por ejemplo, la función $y = frac{x^3+2x^2+3x+4}{x}$

tiene una asíntota curvilínea y = x + 2 x + 3, que se conoce como asíntota parabólica porque es una parábola en lugar de una línea recta.

Asíntotas y dibujo de curvas

Las asíntotas se utilizan en los procedimientos de trazado de curvas. Una asíntota sirve como línea guía para mostrar el comportamiento de la curva hacia el infinito. Para obtener mejores aproximaciones de la curva, también se han utilizado asíntotas curvilíneas, aunque parece preferirse el término curva asintótica.

Curvas algebraicas

Las asíntotas de una curva algebraica en el plano afín son las rectas tangentes a la curva proyectivada por un punto en el infinito. Por ejemplo, se pueden identificar las asíntotas de la hipérbola unitaria de esta manera. Las asíntotas a menudo se consideran solo para curvas reales, aunque también tienen sentido cuando se definen de esta manera para curvas sobre un campo arbitrario.

Una curva plana de grado n corta a su asíntota como máximo en n −2 otros puntos, por el teorema de Bézout, ya que la intersección en el infinito es de multiplicidad de al menos dos. Para una cónica, hay un par de rectas que no intersecan a la cónica en ningún punto complejo: estas son las dos asíntotas de la cónica.

Una curva algebraica plana se define mediante una ecuación de la forma P (x, y) = 0 donde P es un polinomio de grado n $P(x,y) = P_n(x,y) + P_{n-1}(x,y) + cdots + P_1(x,y) + P_0$

donde P _k es homogéneo de grado k. La desaparición de los factores lineales del término de mayor grado P _n define las asíntotas de la curva: estableciendo Q = P _n, si P _n (x, y) = (ax − by) Q _{n −1} (x, y), entonces la línea $Q'_x(b,a)x+Q'_y(b,a)y + P_{n-1}(b,a)=0$

es una asíntota si $Q'_x(b,a)$ y $Q'_y(b,a)$ no son ambos cero. Si $Q'_x(b,a)=Q'_y(b,a)=0$ y $P_{n-1}(b,a)neq 0$ , no hay asíntota, pero la curva tiene una rama que parece una rama de parábola. Tal rama se llamarama parabólica, aun cuando no tenga ninguna parábola que sea una asíntota curvilínea. Si $Q'_x(b,a)=Q'_y(b,a)=P_{n-1}(b,a)=0,$ la curva tiene un punto singular en el infinito que puede tener varias asíntotas o ramas parabólicas.

Sobre los números complejos, P _n se divide en factores lineales, cada uno de los cuales define una asíntota (o varias para múltiples factores). Sobre los reales, P _n se desdobla en factores que son factores lineales o cuadráticos. Sólo los factores lineales corresponden a infinitas ramas (reales) de la curva, pero si un factor lineal tiene multiplicidad mayor que uno, la curva puede tener varias asíntotas o ramas parabólicas. También puede ocurrir que tal factor lineal múltiple corresponda a dos ramas complejas conjugadas, y no corresponda a ninguna rama infinita de la curva real. Por ejemplo, la curva x + y - 1 = 0 no tiene puntos reales fuera del cuadrado $|x|leq 1, |y|leq 1$ , pero su término de mayor orden da el factor lineal x con multiplicidad 4, lo que lleva a la única asíntota x =0.

Cono asintótico

Dos secciones asíntotas de una hipérbole

la hipérbola $frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}= 1$

tiene las dos asíntotas $y=pmfrac{b}{a}x.$

La ecuación de la unión de estas dos rectas es $frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=0.$

Del mismo modo, el hiperboloide $frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}-frac{z^2}{c^2}=1$

se dice que tiene el cono asintótico $frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}-frac{z^2}{c^2}=0.$

La distancia entre el hiperboloide y el cono se acerca a 0 cuando la distancia desde el origen se acerca al infinito.

De manera más general, considere una superficie que tiene una ecuación implícita $P_d(x,y,z)+P_{d-2}(x,y,z) + cdots P_0=0,$ donde $Pi}$ son polinomios homogéneos de grado $i$ y $P_{d-1}=0$ . Entonces la ecuación $P_d(x,y,z)=0$ define un cono que está centrado en el origen. Se llama cono asintótico, porque la distancia al cono de un punto de la superficie tiende a cero cuando el punto de la superficie tiende a infinito.