Trapecio (figura geométrica)
Un trapecio o trapezoide es un cuadrilátero con dos lados paralelos entre sí y dos lados no paralelos. Todos sus ángulos son agudos, es decir, menores a... (leer más)
Geometría diferencial
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La geometría diferencial es una disciplina matemática que estudia la geometría de formas suaves y espacios suaves, también conocidos como variedades suaves. Utiliza las técnicas de cálculo diferencial, cálculo integral, álgebra lineal y álgebra multilineal. El campo tiene sus orígenes en el estudio de la geometría esférica desde la antigüedad. También se relaciona con la astronomía, la geodesia de la Tierra y más tarde con el estudio de la geometría hiperbólica de Lobachevsky. Los ejemplos más simples de espacios suaves son las curvas planas y espaciales y las superficies en el espacio euclidiano tridimensional, y el estudio de estas formas formó la base para el desarrollo de la geometría diferencial moderna durante los siglos XVIII y XIX.
Desde finales del siglo XIX, la geometría diferencial se ha convertido en un campo relacionado más generalmente con estructuras geométricas en variedades diferenciables. Una estructura geométrica es aquella que define alguna noción de tamaño, distancia, forma, volumen u otra estructura rígida. Por ejemplo, en la geometría de Riemann se especifican las distancias y los ángulos, en la geometría simpléctica se pueden calcular los volúmenes, en la geometría conforme solo se especifican los ángulos y en la teoría de calibre se dan ciertos campos en el espacio. La geometría diferencial está estrechamente relacionada y, a veces, se considera que incluye la topología diferencial, que se ocupa de las propiedades de las variedades diferenciables que no se basan en ninguna estructura geométrica adicional (consulte ese artículo para obtener más información sobre la distinción entre los dos temas).
La geometría diferencial encuentra aplicaciones en las matemáticas y las ciencias naturales. De manera más prominente, el lenguaje de la geometría diferencial fue utilizado por Albert Einstein en su teoría de la relatividad general y, posteriormente, por los físicos en el desarrollo de la teoría cuántica de campos y el modelo estándar de la física de partículas. Fuera de la física, la geometría diferencial encuentra aplicaciones en química, economía, ingeniería, teoría de control, gráficos por computadora y visión por computadora, y recientemente en aprendizaje automático.
Historia y desarrollo
La historia y el desarrollo de la geometría diferencial como tema comienza al menos desde la antigüedad clásica. Está íntimamente ligado al desarrollo de la geometría en general, de la noción de espacio y forma, y de la topología, especialmente el estudio de las variedades. En esta sección nos enfocamos principalmente en la historia de la aplicación de métodos infinitesimales a la geometría, y luego a las ideas de espacios tangentes, y eventualmente al desarrollo del formalismo moderno del tema en términos de tensores y campos tensoriales.
Antigüedad clásica hasta el Renacimiento (300 a. C. – 1600 d. C.)
El estudio de la geometría diferencial, o al menos el estudio de la geometría de formas suaves, se remonta al menos a la antigüedad clásica. En particular, se sabía mucho sobre la geometría de la Tierra, una geometría esférica, en la época de los antiguos matemáticos griegos. Famosamente, Eratóstenes calculó la circunferencia de la Tierra alrededor del año 200 a. C., y alrededor del año 150 d. C. Ptolomeo en su Geografía introdujo la proyección estereográfica con el propósito de mapear la forma de la Tierra. Implícitamente a lo largo de este tiempo, los principios que forman la base de la geometría diferencial y el cálculo se utilizaron en geodesia, aunque de una forma mucho más simplificada. A saber, desde los Elementos de Euclidesse entendió que una línea recta podía definirse por su propiedad de proporcionar la distancia más corta entre dos puntos, y aplicando este mismo principio a la superficie de la Tierra se llega a la conclusión de que los grandes círculos, que son solo localmente similares a las líneas rectas en un plano, proporcionan el camino más corto entre dos puntos en la superficie de la Tierra. De hecho, las medidas de distancia a lo largo de tales caminos geodésicos por Eratóstenes y otros pueden considerarse una medida rudimentaria de longitud de arco de curvas, un concepto que no tuvo una definición rigurosa en términos de cálculo hasta el siglo XVII.
Alrededor de este tiempo, solo había aplicaciones mínimas abiertas de la teoría de los infinitesimales al estudio de la geometría, un precursor del estudio moderno basado en el cálculo del tema. En los Elementos de Euclides se discute la noción de tangencia de una línea a un círculo, y Arquímedes aplicó el método de agotamiento para calcular las áreas de formas suaves como el círculo y los volúmenes de sólidos tridimensionales suaves como la esfera, conos y cilindros.
Hubo poco desarrollo en la teoría de la geometría diferencial entre la antigüedad y el comienzo del Renacimiento. Antes del desarrollo del cálculo por parte de Newton y Leibniz, el desarrollo más significativo en la comprensión de la geometría diferencial provino del desarrollo de Gerardus Mercator de la proyección de Mercator como una forma de mapear la Tierra. Mercator comprendía las ventajas y desventajas del diseño de su mapa y, en particular, era consciente de la naturaleza conforme de su proyección, así como de la diferencia entre praga, las líneas de menor distancia en la Tierra, y directio, la línea recta. líneas de caminos en su mapa. Mercator notó que los praga tenían una curvatura oblicua en esta proyección.Este hecho refleja la falta de un mapa que preserve la métrica de la superficie de la Tierra en un plano plano, una consecuencia del posterior Teorema Egregium de Gauss.
Después del cálculo (1600-1800)
El primer tratamiento sistemático o riguroso de la geometría utilizando la teoría de los infinitesimales y las nociones del cálculo comenzó alrededor de 1600 cuando el cálculo fue desarrollado por primera vez por Gottfried Leibniz e Isaac Newton. En este momento, el trabajo reciente de René Descartes introduciendo las coordenadas analíticas en la geometría permitió describir con rigor formas geométricas de complejidad creciente. En particular, alrededor de este tiempo, Pierre de Fermat, Newton y Leibniz comenzaron el estudio de las curvas planas y la investigación de conceptos tales como puntos de inflexión y círculos de osculación, que ayudan en la medición de la curvatura. De hecho, ya en su primer artículo sobre los fundamentos del cálculo, Leibniz señala que la condición infinitesimal
A raíz del desarrollo de la geometría analítica y las curvas planas, Alexis Clairaut comenzó el estudio de las curvas espaciales a la edad de 16 años. En su libro, Clairaut introdujo la noción de direcciones tangentes y subtangentes a las curvas espaciales en relación con las direcciones que se encuentran a lo largo de una superficie sobre la que se encuentra la curva espacial. Así, Clairaut demostró una comprensión implícita del espacio tangente de una superficie y estudió esta idea utilizando el cálculo por primera vez. Es importante destacar que Clairaut introdujo la terminología de curvatura y doble curvatura, esencialmente la noción de curvaturas principales estudiada más tarde por Gauss y otros.
Alrededor de este mismo tiempo, Leonhard Euler, originalmente alumno de Johann Bernoulli, proporcionó muchas contribuciones significativas no solo al desarrollo de la geometría, sino también a las matemáticas en general. Con respecto a la geometría diferencial, Euler estudió la noción de una geodésica en una superficie derivando la primera ecuación geodésica analítica, y luego introdujo el primer conjunto de sistemas de coordenadas intrínsecos en una superficie, comenzando la teoría de la geometría intrínseca en la que se basan las ideas geométricas modernas..Alrededor de este tiempo, el estudio de la mecánica de Euler en Mechanica llevó a la comprensión de que una masa que viaja a lo largo de una superficie que no está bajo el efecto de ninguna fuerza atravesaría un camino geodésico, un precursor temprano de las importantes ideas fundamentales de la relatividad general de Einstein, y también a las ecuaciones de Euler-Lagrange y la primera teoría del cálculo de variaciones, que sustenta en la geometría diferencial moderna muchas técnicas en geometría simpléctica y análisis geométrico. Esta teoría fue utilizada por Lagrange, un co-desarrollador del cálculo de variaciones, para derivar la primera ecuación diferencial que describe una superficie mínima en términos de la ecuación de Euler-Lagrange. En 1760, Euler demostró un teorema que expresa la curvatura de una curva espacial sobre una superficie en términos de las curvaturas principales, conocido como teorema de Euler.
Más tarde, en la década de 1700, la nueva escuela francesa dirigida por Gaspard Monge comenzó a hacer contribuciones a la geometría diferencial. Monge hizo contribuciones importantes a la teoría de curvas planas, superficies y estudió superficies de revolución y envolventes de curvas planas y curvas espaciales. Varios estudiantes de Monge hicieron contribuciones a esta misma teoría y, por ejemplo, Charles Dupin proporcionó una nueva interpretación del teorema de Euler en términos de las curvaturas principales, que es la forma moderna de la ecuación.
Geometría intrínseca y geometría no euclidiana (1800-1900)
El campo de la geometría diferencial se convirtió en un área de estudio considerada por derecho propio, distinta de la idea más amplia de la geometría analítica, en el siglo XIX, principalmente a través del trabajo fundacional de Carl Friedrich Gauss y Bernhard Riemann, y también en las importantes contribuciones de Nikolai Lobachevsky sobre geometría hiperbólica y geometría no euclidiana y durante el mismo período el desarrollo de la geometría proyectiva.
Apodado el trabajo individual más importante en la historia de la geometría diferencial, en 1827 Gauss produjo las Disquisitiones generales circa superficies curvas que detallan la teoría general de las superficies curvas. En este trabajo y sus artículos posteriores y notas inéditas sobre la teoría de superficies, Gauss ha sido apodado el inventor de la geometría no euclidiana y el inventor de la geometría diferencial intrínseca. En su artículo fundamental, Gauss introdujo el mapa de Gauss, la curvatura gaussiana, la primera y la segunda forma fundamental, probó el Teorema Egregium que muestra la naturaleza intrínseca de la curvatura gaussiana y estudió las geodésicas, calculando el área de un triángulo geodésico en varias geometrías no euclidianas en superficies.
En ese momento, Gauss ya era de la opinión de que el paradigma estándar de la geometría euclidiana debería descartarse y estaba en posesión de manuscritos privados sobre geometría no euclidiana que informaban su estudio de los triángulos geodésicos. Alrededor de este mismo tiempo, János Bolyai y Lobachevsky descubrieron de forma independiente la geometría hiperbólica y así demostraron la existencia de geometrías consistentes fuera del paradigma de Euclides. Eugenio Beltrami produjo modelos concretos de geometría hiperbólica más tarde en la década de 1860, y Felix Klein acuñó el término geometría no euclidiana en 1871 y, a través del programa Erlangen, puso las geometrías euclidianas y no euclidianas en el mismo pie. Implícitamente, la geometría esférica de la Tierra que se había estudiado desde la antigüedad era una geometría no euclidiana, una geometría elíptica.
El desarrollo de la geometría diferencial intrínseca en el lenguaje de Gauss fue impulsado por su alumno, Bernhard Riemann en su Habilitationsschrift, Sobre las hipótesis que yacen en los cimientos de la geometría. En este trabajo, Riemann introdujo por primera vez la noción de métrica riemanniana y el tensor de curvatura riemanniano, y comenzó el estudio sistemático de la geometría diferencial en dimensiones superiores. Este punto de vista intrínseco en términos de la métrica riemanniana, denotado por 
A raíz de la nueva descripción de Riemann, el enfoque de las técnicas utilizadas para estudiar la geometría diferencial cambió de los métodos ad hoc y extrínsecos del estudio de curvas y superficies a un enfoque más sistemático en términos de cálculo tensorial y el programa de Erlangen de Klein, y el progreso aumentó. en el campo. La noción de grupos de transformaciones fue desarrollada por Sophus Lie y Jean Gaston Darboux, dando lugar a importantes resultados en la teoría de los grupos de Lie y la geometría simpléctica. La noción de cálculo diferencial en espacios curvos fue estudiada por Elwin Christoffel, quien introdujo los símbolos de Christoffel que describen la derivada covariante en 1868, y por otros, incluido Eugenio Beltrami, quien estudió muchas cuestiones analíticas sobre variedades. En 1899 Luigi Bianchi produjo sus Conferencias sobre geometría diferencial.que estudió geometría diferencial desde la perspectiva de Riemann, y un año después Tullio Levi-Civita y Gregorio Ricci-Curbastro produjeron su libro de texto desarrollando sistemáticamente la teoría del cálculo diferencial absoluto y el cálculo tensorial. Fue en este lenguaje que Einstein utilizó la geometría diferencial en el desarrollo de la relatividad general y la geometría pseudo-Riemanniana.
Geometría diferencial moderna (1900-2000)
El tema de la geometría diferencial moderna surgió a principios del siglo XX en respuesta a las contribuciones fundacionales de muchos matemáticos, incluido de manera importante el trabajo de Henri Poincaré sobre los fundamentos de la topología. A principios de la década de 1900 hubo un gran movimiento dentro de las matemáticas para formalizar los aspectos fundamentales del tema para evitar crisis de rigor y precisión, conocido como el programa de Hilbert. Como parte de este movimiento más amplio, la noción de espacio topológico fue destilada por Felix Hausdorff en 1914, y en 1942 había muchas nociones diferentes de multiplicidad de naturaleza combinatoria y geométrica diferencial.
El interés en el tema también se centró en el surgimiento de la teoría de la relatividad general de Einstein y la importancia de las ecuaciones de campo de Einstein. La teoría de Einstein popularizó el cálculo tensorial de Ricci y Levi-Civita e introdujo la notación 
Después de este desarrollo temprano, muchos matemáticos contribuyeron al desarrollo de la teoría moderna, incluido Jean-Louis Koszul, quien introdujo conexiones en paquetes vectoriales, Shiing-Shen Chern, quien introdujo clases características al tema y comenzó el estudio de variedades complejas, Sir William Vallance Douglas Hodge y Georges de Rham, quienes ampliaron la comprensión de las formas diferenciales, Charles Ehresmann, quien introdujo la teoría de los haces de fibras y las conexiones de Ehresmann, y otros. De particular importancia fue Hermann Weyl, quien hizo importantes contribuciones a los fundamentos de la relatividad general, introdujo el tensor de Weyl que proporcionó información sobre la geometría conforme y definió por primera vez la noción de calibre que condujo al desarrollo de la teoría de calibre en física y matemáticas.
A mediados y finales del siglo XX, la geometría diferencial como materia amplió su alcance y desarrolló vínculos con otras áreas de las matemáticas y la física. El desarrollo de la teoría de calibre y la teoría de Yang-Mills en física puso de relieve los paquetes y las conexiones, lo que condujo al desarrollo de la teoría de calibre. Se investigaron muchos resultados analíticos, incluida la prueba del teorema del índice de Atiyah-Singer. El desarrollo de la geometría compleja fue impulsado por resultados paralelos en geometría algebraica, y Shing-Tung Yau y otros demostraron los resultados en la geometría y el análisis global de variedades complejas. En la segunda mitad del siglo XX se desarrollaron nuevas técnicas analíticas con respecto a los flujos de curvatura como el flujo de Ricci, que culminó con la demostración de la conjetura de Poincaré de Grigori Perelman. Durante este mismo período, principalmente debido a la influencia de Michael Atiyah, se formaron nuevos vínculos entre la física teórica y la geometría diferencial. Los matemáticos utilizaron técnicas del estudio de las ecuaciones de Yang-Mills y la teoría de calibre para desarrollar nuevos invariantes de variedades suaves. Físicos como Edward Witten, el único físico en recibir una medalla Fields, lograron nuevos impactos en las matemáticas al usar la teoría de campos cuánticos topológicos y la teoría de cuerdas para hacer predicciones y proporcionar marcos para nuevas matemáticas rigurosas, lo que ha resultado, por ejemplo, en el espejo conjetural. simetría e invariantes de Seiberg-Witten. Los matemáticos utilizaron técnicas del estudio de las ecuaciones de Yang-Mills y la teoría de calibre para desarrollar nuevos invariantes de variedades suaves. Físicos como Edward Witten, el único físico en recibir una medalla Fields, lograron nuevos impactos en las matemáticas al usar la teoría de campos cuánticos topológicos y la teoría de cuerdas para hacer predicciones y proporcionar marcos para nuevas matemáticas rigurosas, lo que ha resultado, por ejemplo, en el espejo conjetural. simetría e invariantes de Seiberg-Witten. Los matemáticos utilizaron técnicas del estudio de las ecuaciones de Yang-Mills y la teoría de calibre para desarrollar nuevos invariantes de variedades suaves. Físicos como Edward Witten, el único físico en recibir una medalla Fields, lograron nuevos impactos en las matemáticas al usar la teoría de campos cuánticos topológicos y la teoría de cuerdas para hacer predicciones y proporcionar marcos para nuevas matemáticas rigurosas, lo que ha resultado, por ejemplo, en el espejo conjetural. simetría e invariantes de Seiberg-Witten.
Sucursales
Geometría riemanniana
La geometría riemanniana estudia variedades riemannianas, variedades suaves con una métrica riemanniana. Este es un concepto de distancia expresado por medio de una forma bilineal simétrica definida positiva suave definida en el espacio tangente en cada punto. La geometría de Riemann generaliza la geometría euclidiana a espacios que no son necesariamente planos, aunque todavía se asemejan infinitesimalmente al espacio euclidiano en cada punto, es decir, en el primer orden de aproximación. Varios conceptos basados en la longitud, como la longitud del arco de las curvas, el área de las regiones planas y el volumen de los sólidos, poseen análogos naturales en la geometría de Riemann. La noción de derivada direccional de una función del cálculo multivariable se extiende a la noción de derivada covariante de un tensor. Muchos conceptos de análisis y ecuaciones diferenciales se han generalizado al establecimiento de variedades de Riemann.
Un difeomorfismo que preserva la distancia entre las variedades de Riemann se denomina isometría. Esta noción también se puede definir localmente, es decir, para pequeñas vecindades de puntos. Dos curvas regulares cualesquiera son localmente isométricas. Sin embargo, el Teorema Egregium de Carl Friedrich Gauss mostró que para las superficies, la existencia de una isometría local impone que las curvaturas gaussianas en los puntos correspondientes deben ser las mismas. En dimensiones superiores, el tensor de curvatura de Riemann es un invariante puntual importante asociado con una variedad de Riemann que mide qué tan cerca está de ser plano. Una clase importante de variedades de Riemann son los espacios simétricos de Riemann, cuya curvatura no es necesariamente constante. Estos son los análogos más cercanos al plano y espacio "ordinarios" considerados en la geometría euclidiana y no euclidiana.
Geometría pseudo-riemanniana
La geometría pseudo-riemanniana generaliza la geometría riemanniana al caso en el que el tensor métrico no necesita ser definido positivo. Un caso especial de esto es una variedad de Lorentz, que es la base matemática de la teoría de la gravedad de la relatividad general de Einstein.
Geometría finsleriana
La geometría de Finsler tiene las variedades de Finsler como principal objeto de estudio. Esta es una variedad diferencial con una métrica de Finsler, es decir, una norma de Banach definida en cada espacio tangente. Las variedades de Riemann son casos especiales de las variedades de Finsler más generales. Una estructura de Finsler sobre una variedad M es una función F: T M → [0, ∞) tal que:
- F (x, my) = m F (x, y) para todos (x, y) en T M y todos los m ≥0,
- F es infinitamente diferenciable en T M ∖ {0},
- La arpillera vertical de F es definida positiva.
Geometría simpléctica
La geometría simpléctica es el estudio de las variedades simplécticas. Una variedad casi simpléctica es una variedad diferenciable equipada con una forma bilineal asimétrica no degenerada que varía suavemente en cada espacio tangente, es decir, una forma ω de 2 formas no degeneradas, llamada forma simpléctica. Una variedad simpléctica es una variedad casi simpléctica para la cual la forma simpléctica ω es cerrada: d ω = 0.
Un difeomorfismo entre dos variedades simplécticas que conserva la forma simpléctica se llama simplectomorfismo. Las formas bilineales sesgadas simétricas no degeneradas solo pueden existir en espacios vectoriales de dimensión uniforme, por lo que las variedades simplécticas necesariamente tienen una dimensión uniforme. En la dimensión 2, una variedad simpléctica es solo una superficie dotada de una forma de área y un simplectomorfismo es un difeomorfismo que conserva el área. El espacio de fase de un sistema mecánico es una variedad simpléctica y ya hicieron una aparición implícita en el trabajo de Joseph Louis Lagrange sobre mecánica analítica y más tarde en las formulaciones de mecánica clásica de Carl Gustav Jacobi y William Rowan Hamilton.
En contraste con la geometría de Riemann, donde la curvatura proporciona una invariante local de las variedades de Riemann, el teorema de Darboux establece que todas las variedades simplécticas son localmente isomorfas. Las únicas invariantes de una variedad simpléctica son de naturaleza global y los aspectos topológicos juegan un papel destacado en la geometría simpléctica. El primer resultado de la topología simpléctica es probablemente el teorema de Poincaré-Birkhoff, conjeturado por Henri Poincaré y luego demostrado por GD Birkhoff en 1912. Afirma que si un área que conserva el mapa de un anillo tuerce cada componente del límite en direcciones opuestas, entonces el mapa tiene al menos dos puntos fijos.
Geometría de contacto
La geometría de contacto se ocupa de ciertas variedades de dimensión impar. Está cerca de la geometría simpléctica y, como ésta, se originó en cuestiones de mecánica clásica. Una estructura de contacto en una variedad M (2 n + 1) dimensional está dada por un campo de hiperplano suave H en el fibrado tangente que está lo más lejos posible de estar asociado con los conjuntos de nivel de una función diferenciable en M (el término técnico es "distribución de hiperplano tangente completamente no integrable"). Cerca de cada punto p, una distribución de hiperplano está determinada por una forma 1 que desaparece en ninguna parte, que es única hasta la multiplicación por una función que desaparece en ninguna parte:
Una forma 1 local en M es una forma de contacto si la restricción de su derivada exterior a H es una forma doble no degenerada y, por lo tanto, induce una estructura simpléctica en H p en cada punto. Si la distribución H se puede definir mediante una forma única global, 
es una forma de volumen en M, es decir, no desaparece en ninguna parte. Se cumple un análogo de contacto del teorema de Darboux: todas las estructuras de contacto en una variedad de dimensiones impares son localmente isomorfas y se pueden llevar a una determinada forma normal local mediante una elección adecuada del sistema de coordenadas.
Geometría compleja y Kähler
La geometría diferencial compleja es el estudio de variedades complejas. Una variedad casi compleja es una variedad real
De esta definición se sigue que una variedad casi compleja es de dimensión par.
Una variedad casi compleja se llama compleja si 
Una estructura casi hermitiana define naturalmente un diferencial de dos formas
Las dos condiciones siguientes son equivalentes:
donde 
CR geometría
La geometría CR es el estudio de la geometría intrínseca de los límites de los dominios en variedades complejas.
Geometría conforme
La geometría conforme es el estudio del conjunto de transformaciones que conservan los ángulos (conformes) en un espacio.
Topología diferencial
La topología diferencial es el estudio de invariantes geométricos globales sin una forma métrica o simpléctica.
La topología diferencial parte de operaciones naturales como la derivada de Lie de haces de vectores naturales y la diferencial de formas de De Rham. Además de los algebroides de Lie, también los algebroides de Courant comienzan a jugar un papel más importante.
Grupos de mentiras
Un grupo de Lie es un grupo en la categoría de variedades suaves. Además de las propiedades algebraicas, esto también disfruta de propiedades geométricas diferenciales. La construcción más obvia es la de un álgebra de Lie, que es el espacio tangente en la unidad dotada del corchete de Lie entre campos vectoriales invariantes a la izquierda. Además de la teoría de la estructura, también existe el amplio campo de la teoría de la representación.
Análisis geométrico
El análisis geométrico es una disciplina matemática donde las herramientas de las ecuaciones diferenciales, especialmente las ecuaciones diferenciales parciales elípticas, se utilizan para establecer nuevos resultados en geometría diferencial y topología diferencial.
Teoría de calibre
La teoría de calibre es el estudio de las conexiones en paquetes de vectores y paquetes principales, y surge de los problemas de la física matemática y las teorías de calibre físico que sustentan el modelo estándar de la física de partículas. La teoría de gauge se ocupa del estudio de ecuaciones diferenciales para conexiones en haces y los espacios de módulos geométricos resultantes de las soluciones de estas ecuaciones, así como las invariantes que pueden derivarse de ellas. Estas ecuaciones a menudo surgen como las ecuaciones de Euler-Lagrange que describen las ecuaciones de movimiento de ciertos sistemas físicos en la teoría cuántica de campos, por lo que su estudio es de considerable interés en física.
Paquetes y conexiones
El aparato de haces vectoriales, haces principales y conexiones sobre haces juega un papel extraordinariamente importante en la geometría diferencial moderna. Una variedad uniforme siempre lleva un paquete vectorial natural, el paquete tangente. En términos generales, esta estructura por sí sola es suficiente solo para desarrollar análisis sobre la variedad, mientras que hacer geometría requiere, además, alguna forma de relacionar los espacios tangentes en diferentes puntos, es decir, una noción de transporte paralelo. Un ejemplo importante lo proporcionan las conexiones afines. Para una superficie en R, los planos tangentes en diferentes puntos se pueden identificar utilizando un paralelismo de camino natural inducido por el espacio euclidiano ambiental, que tiene una definición estándar bien conocida de métrica y paralelismo. En la geometría de Riemann, la conexión Levi-Civita tiene un propósito similar. De manera más general, los geómetras diferenciales consideran espacios con un paquete vectorial y una conexión afín arbitraria que no está definida en términos de una métrica. En física, la variedad puede ser espacio-tiempo y los paquetes y conexiones están relacionados con varios campos físicos.
Intrínseco versus extrínseco
Desde principios y hasta mediados del siglo XIX, la geometría diferencial se estudió desde el punto de vista extrínseco: las curvas y las superficies se consideraban situadas en un espacio euclidiano de mayor dimensión (por ejemplo, una superficie en un espacio ambiental de tres dimensiones).. Los resultados más simples son los de geometría diferencial de curvas y geometría diferencial de superficies. A partir del trabajo de Riemann, se desarrolló el punto de vista intrínseco, en el que no se puede hablar de moverse "fuera" del objeto geométrico porque se considera que se da de manera independiente. El resultado fundamental aquí es el teorema egregium de Gauss, en el sentido de que la curvatura gaussiana es una invariante intrínseca.
El punto de vista intrínseco es más flexible. Por ejemplo, es útil en la relatividad donde el espacio-tiempo no puede tomarse naturalmente como extrínseco. Sin embargo, hay un precio que pagar en complejidad técnica: las definiciones intrínsecas de curvatura y conexiones se vuelven mucho menos intuitivas visualmente.
Estos dos puntos de vista pueden conciliarse, es decir, la geometría extrínseca puede considerarse como una estructura adicional a la intrínseca. (Consulte el teorema de incrustación de Nash). En el formalismo del cálculo geométrico, tanto la geometría extrínseca como la intrínseca de una variedad se pueden caracterizar mediante una sola forma de valor bivectorial denominada operador de forma.
Aplicaciones
A continuación se muestran algunos ejemplos de cómo se aplica la geometría diferencial a otros campos de la ciencia y las matemáticas.
- En física, la geometría diferencial tiene muchas aplicaciones, entre ellas:
- La geometría diferencial es el lenguaje en el que se expresa la teoría general de la relatividad de Albert Einstein. Según la teoría, el universo es una variedad uniforme equipada con una métrica pseudo-Riemanniana, que describe la curvatura del espacio-tiempo. Comprender esta curvatura es esencial para el posicionamiento de los satélites en órbita alrededor de la tierra. La geometría diferencial también es indispensable en el estudio de lentes gravitacionales y agujeros negros.
- Las formas diferenciales se utilizan en el estudio del electromagnetismo.
- La geometría diferencial tiene aplicaciones tanto en la mecánica lagrangiana como en la mecánica hamiltoniana. Las variedades simplécticas en particular se pueden utilizar para estudiar sistemas hamiltonianos.
- La geometría de Riemann y la geometría de contacto se han utilizado para construir el formalismo de la geometrotermodinámica que ha encontrado aplicaciones en la termodinámica de equilibrio clásica.
- En química y biofísica al modelar la estructura de la membrana celular bajo presión variable.
- En economía, la geometría diferencial tiene aplicaciones en el campo de la econometría.
- El modelado geométrico (incluidos los gráficos por computadora) y el diseño geométrico asistido por computadora se basan en ideas de la geometría diferencial.
- En ingeniería, la geometría diferencial se puede aplicar para resolver problemas en el procesamiento de señales digitales.
- En teoría de control, la geometría diferencial se puede utilizar para analizar controladores no lineales, en particular el control geométrico.
- En probabilidad, estadística y teoría de la información, se pueden interpretar varias estructuras como variedades de Riemann, lo que produce el campo de la geometría de la información, particularmente a través de la métrica de información de Fisher.
- En geología estructural, la geometría diferencial se utiliza para analizar y describir estructuras geológicas.
- En visión artificial, la geometría diferencial se utiliza para analizar formas.
- En el procesamiento de imágenes, la geometría diferencial se utiliza para procesar y analizar datos en superficies no planas.
- La prueba de Grigori Perelman de la conjetura de Poincaré utilizando las técnicas de los flujos de Ricci demostró el poder del enfoque geométrico diferencial para las cuestiones de topología y destacó el importante papel que desempeñan sus métodos analíticos.
- En las comunicaciones inalámbricas, los colectores Grassmannianos se utilizan para técnicas de formación de haces en sistemas de antenas múltiples.