Cuerda (geometría)

Una cuerda de un círculo es un segmento de línea recta cuyos extremos se encuentran en un arco circular. La extensión de línea infinita de una cuerda es una línea secante, o simplemente secante. Más generalmente, una cuerda es un segmento de línea que une dos puntos en cualquier curva, por ejemplo, una elipse. Una cuerda que pasa por el centro de un círculo es el diámetro del círculo. La palabra acorde proviene del latín chorda que significa cuerda de arco.

En círculos

Entre las propiedades de las cuerdas de una circunferencia se encuentran las siguientes:

1. Las cuerdas son equidistantes del centro si y solo si sus longitudes son iguales.
2. Las cuerdas iguales están subtendidas por ángulos iguales desde el centro del círculo.
3. Una cuerda que pasa por el centro de un círculo se llama diámetro y es la cuerda más larga de ese círculo específico.
4. Si las extensiones de línea (líneas secantes) de las cuerdas AB y CD se cortan en un punto P, entonces sus longitudes satisfacen AP·PB = CP·PD (teorema de la potencia de un punto).

En cónicas

Los puntos medios de un conjunto de cuerdas paralelas de una cónica son colineales (teorema del punto medio para cónicas).

En trigonometría

Los acordes se utilizaron ampliamente en el desarrollo temprano de la trigonometría. La primera tabla trigonométrica conocida, compilada por Hiparco, tabulaba el valor de la función de cuerda para cada 7+1/2grados En el siglo II d. C., Ptolomeo de Alejandría compiló una tabla de cuerdas más extensa en su libro sobre astronomía, dando el valor de la cuerda para ángulos que van desde1/2a 180 grados en incrementos de1/2la licenciatura. El círculo tenía un diámetro de 120, y las longitudes de las cuerdas tienen una precisión de dos dígitos de base 60 después de la parte entera.

La función de cuerda se define geométricamente como se muestra en la imagen. La cuerda de un ángulo es la longitud de la cuerda entre dos puntos de un círculo unitario separados por ese ángulo central. El ángulo θ se toma en sentido positivo y debe estar en el intervalo 0 < θ ≤ π (medida en radianes). La función de cuerda se puede relacionar con la función seno moderna, tomando uno de los puntos como (1,0), y el otro punto como (cos θ, sin θ), y luego usando el teorema de Pitágoras para calcular la cuerda. longitud:

El último paso utiliza la fórmula del medio ángulo. Así como la trigonometría moderna se basa en la función del seno, la trigonometría antigua se basaba en la función de la cuerda. Se supone que Hiparco escribió una obra de doce volúmenes sobre acordes, ahora todos perdidos, por lo que, presumiblemente, se sabía mucho sobre ellos. En la siguiente tabla (donde c es la longitud de la cuerda y D el diámetro del círculo) se puede mostrar que la función de la cuerda satisface muchas identidades análogas a las conocidas modernas:

Nombre	Basado en seno	basado en acordes
pitagórico
medio ángulo
Apotema (a)
Ángulo (θ)

La función inversa también existe: