Conjunto unitario
En matemáticas conjunto de unidades es un conjunto con exactamente un elemento. Por ejemplo, el conjunto { null } es un singleton que contiene el elemento... (leer más)
En matemáticas e informática, la función de suelo es la función que toma como entrada un número real x, y da como resultado el mayor entero menor o igual que x, denotado ⌊x⌋ o piso(x). De manera similar, la función de techo asigna x al menor entero mayor o igual a x, denotado ⌈x⌉ o ceil (x).
Por ejemplo, ⌊2.4⌋ = 2, ⌊−2.4⌋ = −3, ⌈2.4⌉ = 3 y ⌈−2.4⌉ = −2.
Históricamente, el piso de x ha sido, y aún es, llamado la parte integral o parte entera de x, a menudo denotado [ x] (así como una variedad de otras notaciones). Algunos autores pueden definir la parte integral [x] como ⌊x⌋ si x no es negativo, y ⌈x⌉ de lo contrario: por ejemplo, [2.4] = 2 y [−2.4] = −2. La operación de truncamiento generaliza esto a un número específico de dígitos: el truncamiento a cero dígitos significativos es lo mismo que la parte entera.
Para n un número entero, ⌊n⌋ = ⌈n⌉ = [n] = n.
x | Piso ⌊x⌋ | Ceiling ⌈x⌉ | Parte fracturada {}x} |
---|---|---|---|
2 | 2 | 2 | 0 |
2.4 | 2 | 3 | 0,4 |
2.9 | 2 | 3 | 0.9 |
−2.7 | −3 | −2 | 0.3 |
−2 | −2 | −2 | 0 |
La parte entera o parte entera de un número (partie entière en el original) fue definido por primera vez en 1798 por Adrien-Marie Legendre en su prueba de la fórmula de Legendre.
Carl Friedrich Gauss introdujo la notación de corchetes [x] en su tercera prueba de reciprocidad cuadrática (1808). Este siguió siendo el estándar en matemáticas hasta que Kenneth E. Iverson introdujo, en su libro de 1962 Un lenguaje de programación, los nombres "piso" y "techo" y las notaciones correspondientes ⌊x⌋ y ⌈x⌉. (Iverson usó corchetes para un propósito diferente, la notación de corchetes de Iverson). Ambas notaciones ahora se usan en matemáticas, aunque la notación de Iverson se seguirá en este artículo.
En algunas fuentes, se usan negritas o corchetes dobles ⟦x⟧ para el piso y corchetes invertidos ⟧ x⟦ o ]x[ para techo. A veces [x] se interpreta como la función de redondeo a cero.
La parte fraccionaria es la función de diente de sierra, denotada por {x} para real x y definido por la fórmula
Para todo x,
Estos caracteres se proporcionan en Unicode:
En el sistema de composición tipográfica LaTeX, estos símbolos se pueden especificar con las clases lfloor, rfloor, lceil
y rceil
comandos en modo matemático, y ampliados en tamaño usando leftlfloor, rightrfloor, leftlceil
y rightrceil
según sea necesario.
Dados números reales x y Sí., enteros k, m, n y el conjunto de enteros Z{displaystyle mathbb {Z}, piso y techo puede ser definido por las ecuaciones
Dado que hay exactamente un entero en un intervalo semiabierto de longitud uno, para cualquier número real x, hay enteros únicos m y n satisfaciendo la ecuación
Donde ⌊ ⌊ x⌋ ⌋ =m{displaystyle lfloor xrfloor =m}y ⌈ ⌈ x⌉ ⌉ =n{displaystyle lceil xrceil =n}puede tomarse también como la definición de piso y techo.
Estas fórmulas se pueden usar para simplificar expresiones que involucran pisos y techos.
En el lenguaje de la teoría del orden, la función de piso es un mapeo residual, es decir, parte de una conexión de Galois: es el adjunto superior de la función que incrusta los números enteros en los reales.
Estas fórmulas muestran cómo la adición de números enteros a los argumentos afecta a las funciones:
Lo anterior nunca es cierto si n no es un número entero; sin embargo, para cada x y y, se cumplen las siguientes desigualdades:
Tanto la función de suelo como la de techo son funciones monótonamente no decrecientes:
Está claro a partir de las definiciones que
De hecho, para los enteros n, las funciones suelo y techo son la identidad:
Negar el argumento cambia de suelo y de techo y cambia el signo:
y:
Negar el argumento complementa la parte fraccionaria:
Las funciones suelo, techo y parte fraccionaria son idempotentes:
El resultado de las funciones de piso o techo anidadas es la función más interna:
debido a la propiedad de identidad de los números enteros.
Si m y n son números enteros y n ≠ 0,
Si n es un entero positivo
Si m es positivo
Para m = 2 esto implica
En términos más generales, para m positivos (consulte la identidad de Hermite)
Lo siguiente se puede utilizar para convertir suelos en techos y viceversa (m positivo)
Para todos los m y n enteros estrictamente positivos:
que, para m y n positivos y coprimos, se reduce a
y de manera similar para las funciones techo y parte fraccionaria (todavía para m y n positivos y coprimos),
Dado que el lado derecho del caso general es simétrico en m y n, esto implica que
Más generalmente, si m y n son positivos,
Esto a veces se denomina ley de reciprocidad.
Para enteros positivos n y números reales arbitrarios m,x:
Ninguna de las funciones discutidas en este artículo son continuas, pero todas son lineales: las funciones ⌊ ⌊ x⌋ ⌋ {displaystyle lfloor xrfloor }, ⌈ ⌈ x⌉ ⌉ {displaystyle lceil xrceil }, y {}x}{displaystyle {x}} tienen discontinuidades en los enteros.
⌊ ⌊ x⌋ ⌋ {displaystyle lfloor xrfloor }es semi-continua superior y⌈ ⌈ x⌉ ⌉ {displaystyle lceil xrceil }y {}x}{displaystyle {x}}son semi-continua inferior.
Dado que ninguna de las funciones discutidas en este artículo es continua, ninguna de ellas tiene una expansión en serie de potencias. Dado que el piso y el techo no son periódicos, no tienen desarrollos en serie de Fourier uniformemente convergentes. La función parte fraccionaria tiene expansión en serie de Fourier
para x no es un número entero.
En los puntos de discontinuidad, una serie de Fourier converge a un valor que es el promedio de sus límites por la izquierda y la derecha, a diferencia de las funciones piso, techo y parte fraccionaria: para y fijo y x un múltiplo de y la serie de Fourier dada converge a y/2, en lugar de a x mod y = 0. En los puntos de continuidad, la serie converge al valor verdadero.
Usando la fórmula piso(x) = x − {x} da
para x no es un número entero.
Para un entero x y un entero positivo y, la operación de módulo, denotada por x mod y, da el valor del resto cuando x se divide por y. Esta definición se puede extender a x e y reales, y ≠ 0, mediante la fórmula
Entonces, de la definición de la función suelo se deduce que esta operación ampliada satisface muchas propiedades naturales. En particular, x mod y siempre está entre 0 y y, es decir,
si y es positivo,
y si y es negativo,
La tercera prueba de reciprocidad cuadrática de Gauss, modificada por Eisenstein, consta de dos pasos básicos.
Sean p y q números primos impares positivos distintos y
Primero, se usa el lema de Gauss para mostrar que los símbolos de Legendre están dados por
y
El segundo paso es usar un argumento geométrico para mostrar que
La combinación de estas fórmulas da reciprocidad cuadrática en la forma
Hay fórmulas que usan suelo para expresar el carácter cuadrático de números pequeños mod primos impares p:
Para un número real arbitrario x{displaystyle x}, redondeo x{displaystyle x} al entero más cercano con la ruptura de la corbata hacia el infinito positivo es dado por rpi()x)=⌊x+12⌋=⌈⌊ ⌊ 2x⌋ ⌋ 2⌉{displaystyle {text{rpi}(x)=leftlfloor x+{tfrac {1}{2}rightrfloor =leftlceil {tfrac {lfloor 2xrfloor Está bien.; redondeo hacia el infinito negativo se da como rni()x)=⌈x− − 12⌉=⌊⌈ ⌈ 2x⌉ ⌉ 2⌋{displaystyle {text{rni}(x)=leftlceil x-{tfrac {1}{2}rightrceil =leftlfloor {tfrac {lceil 2xrceil Está bien..
Si el rompimiento de corbatas está lejos de 0, entonces la función de redondeo es .()x)=Sgn ()x)⌊SilencioxSilencio+12⌋{displaystyle {text{ri}(x)=operatorname {sgn}(x)leftlfloor NOVEDADX Está bien. (ver función de signo), y redondear hacia incluso se puede expresar con el más engorroso ⌊ ⌊ x⌉ ⌉ =⌊x+12⌋+⌈2x− − 14⌉− − ⌊2x− − 14⌋− − 1{displaystyle lfloor xrceil =leftlfloor x+{tfrac {1}{2}rightrfloor +leftlceil {tfrac {2x-1}{4}rightrceil -leftlfloor {tfrac {2x-1}{4}rightrfloor -1}, que es la expresión anterior para redondear hacia el infinito positivo rpi()x){displaystyle {text{rpi}(x)} menos un indicador de integralidad 2x− − 14{displaystyle {tfrac {2x-1}{4}}.
El número de dígitos en base b de un entero positivo k es
La cantidad de cadenas posibles de longitud arbitraria que no usan ningún carácter dos veces viene dada por
donde:
Para n = 26, resulta 1096259850353149530222034277.
Sea n un número entero positivo y p un número primo positivo. ¡El exponente de la máxima potencia de p que divide a n! viene dada por una versión de la fórmula de Legendre
Donde n=.. kakpk{textstyle n=sum ¿Qué? es la manera de escribir n en base p. Esta es una suma finita, ya que los pisos son cero cuando pk ■ n.
La sucesión de Beatty muestra cómo todo número irracional positivo da lugar a una partición de los números naturales en dos sucesiones a través de la función suelo.
Hay fórmulas para la constante de Euler γ = 0.57721 56649... que involucran el piso y el techo, p.
y
La función de parte fraccionada también aparece en representaciones integrales de la función Riemann zeta. Es sencillo demostrar (utilizando la integración por partes) que si φ φ ()x){displaystyle varphi (x)} es cualquier función con un derivado continuo en el intervalo cerrado [a, b]
Letting φ φ ()n)=n− − s{displaystyle varphi (n)=n^{-s} por parte real de s más de 1 y dejar a y b ser enteros, y dejar b enfoque infinito
Esta fórmula es válida para todos los s con parte real mayor que −1, (excepto s = 1, donde hay un polo) y combinada con la expansión de Fourier para {x} se puede usar para extender la función zeta a todo el plano complejo y probar su ecuación funcional.
Para s = σ + it en la franja crítica 0 < σ < 1,
En 1947, van der Pol usó esta representación para construir una computadora analógica para encontrar las raíces de la función zeta.
La función del suelo aparece en varias fórmulas caracterizando números primos. Por ejemplo, desde ⌊nm⌋− − ⌊n− − 1m⌋{displaystyle leftlfloor {fn}m}rightrfloor -leftlfloor {fn1}rightrfloor } es igual a 1 si m divideciones n, y a 0 de lo contrario, sigue que un entero positivo n es un primo si y sólo si
También se pueden dar fórmulas para producir los números primos. Por ejemplo, sea pn el n-ésimo primo, y para cualquier entero r > 1, define el número real α por la suma
Entonces
Un resultado similar es que hay un número θ = 1.3064... (Mills' constante) con la propiedad de que
son todos primos.
También existe un número ω = 1,9287800... con la propiedad de que
son todos primos.
Sea π(x) el número de primos menores o iguales a x. Es una deducción directa del teorema de Wilson que
Además, si n ≥ 2,
Ninguna de las fórmulas de esta sección tiene un uso práctico.
Ramanujan envió estos problemas al Journal of the Indian Mathematical Society.
Si n es un entero positivo, demuestre que
Se han probado algunas generalizaciones a las identidades de funciones del piso anterior.
El estudio del problema de Waring ha llevado a un problema sin resolver:
¿Existen enteros positivos k ≥ 6 tales que
Mahler ha demostrado que solo puede haber un número finito de tales k; ninguno es conocido.
En la mayoría de los lenguajes de programación, el método más simple para convertir un número de punto flotante en un número entero no es el mínimo o máximo, sino el truncamiento. La razón de esto es histórica, ya que las primeras máquinas usaban ' el complemento y el truncamiento fueron más simples de implementar (el piso es más simple en el complemento a dos). FORTRAN se definió para requerir este comportamiento y, por lo tanto, casi todos los procesadores implementan la conversión de esta manera. Algunos consideran que se trata de una desafortunada decisión histórica de diseño que ha provocado errores en el manejo de compensaciones negativas y gráficos en el lado negativo del origen.
Un pequeño giro derecho de un entero firmado x{displaystyle x} por n{displaystyle n} es lo mismo que ⌊x2n⌋{displaystyle leftlfloor {frac {x}}rightrfloor }. La división por un poder de 2 se escribe a menudo como un cambio de derecho, no para la optimización como se podría suponer, sino porque se requiere el nivel de resultados negativos. Suponiendo que tales cambios sean " optimización prematuro" y reemplazarlos por división puede romper el software.
Muchos lenguajes de programación (incluidos C, C++, C#, Java, PHP, R y Python) brindan funciones estándar para piso y techo, generalmente llamadas piso
y ceil
, o menos comúnmente techo
. El lenguaje APL usa ⌊x
para piso. El lenguaje de programación J, una continuación de APL que está diseñado para usar símbolos de teclado estándar, usa <.
para piso y >.
para techo.
ALGOL usa entier
para piso.
En Microsoft Excel, la función de piso se implementa como INT
(que redondea hacia abajo en lugar de hacia cero). El comando FLOOR
en versiones anteriores redondeaba hacia cero, efectivamente lo contrario de lo que "int" y "suelo" hacer en otros idiomas. Desde 2010, FLOOR
se ha corregido para redondear hacia abajo, con argumentos adicionales que pueden reproducir el comportamiento anterior. El formato de archivo OpenDocument, como lo usan OpenOffice.org, Libreoffice y otros, usa los mismos nombres de funciones; INT
hace piso y FLOOR
tiene un tercer argumento que puede hacer que se redondee hacia cero.
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