Función holomorfa

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Función complejo-diferenciable (mathematical)

Una rejilla rectangular (top) y su imagen bajo un mapa conformado

f

(Abajo).

En matemáticas, una función holomorfa es una función de valor complejo de una o más variables complejas que es complejamente diferenciable en una vecindad de cada punto en un dominio en un espacio de coordenadas complejo $C n$ . La existencia de una derivada compleja en una vecindad es una condición muy fuerte: implica que una función holomorfa es infinitamente diferenciable y localmente igual a su propia serie de Taylor (analítica). Las funciones holomorfas son los objetos centrales de estudio en el análisis complejo.

Aunque el término función analítica a menudo se usa indistintamente con "función holomórfica", la palabra "analítica" se define en un sentido más amplio para denotar cualquier función (real, compleja o de un tipo más general) que se puede escribir como una serie de potencias convergentes en una vecindad de cada punto en su dominio. Que todas las funciones holomorfas son funciones analíticas complejas, y viceversa, es un teorema importante en el análisis complejo.

Las funciones holomorfas también se denominan a veces funciones regulares. Una función holomorfa cuyo dominio es todo el plano complejo se llama función entera. La frase "holomórfico en un punto $z 0$ " significa no solo diferenciable en $z 0$ , sino diferenciable en todas partes dentro de alguna vecindad de $z 0$ en el plano complejo.

Definición

La función

f () z) z̅

no es complejo diferenciable a cero, porque como se muestra anteriormente, el valor de

f () z) - f (0) z - 0

varía dependiendo de la dirección desde la que se acerca cero. A lo largo del eje real,

f

iguala la función

g () z) z

y el límite es

1

, mientras a lo largo del eje imaginario,

f

iguales

h () z) = - z

y el límite es

-1

. Otras direcciones producen otros límites.

Dada una función de valor complejo $f$ de una única variable compleja, la derivada de $f$ en un punto $z 0$ en su dominio se define como el límite

f'(z_{0})=lim _{zto z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) over z-z_{0}}.

Esta es la misma definición que para la derivada de una función real, excepto que todas las cantidades son complejas. En particular, el límite se toma como el número complejo $z$ tiende a $z 0$ , y esto significa que se obtiene el mismo valor para cualquier secuencia de valores complejos para $z$ que tiende a $z 0$ . Si el límite existe, $f$ se dice complejo diferenciable en $z 0$ . Este concepto de diferenciabilidad compleja comparte varias propiedades con la diferenciabilidad real: es lineal y obedece a la regla del producto, la regla del cociente y la regla de la cadena.

Una función es holomórfica en un conjunto abierto $U$ si es complejo diferenciable en cada punto de $U$ . Una función $f$ es holomórfica en un punto $z 0$ si es holomorfo en alguna vecindad de $z 0 . Una función es holomorfa en algún conjunto no abierto A si es holomorfa en cada punto de A .$

Una función puede ser diferenciable compleja en un punto pero no holomorfa en este punto. Por ejemplo, la función $f (z) = | z | 2$ no es diferenciable complejo en $0$ , pero es complejo diferenciable en otros lugares. Entonces, no es holomorfo en $0$ .

La relación entre diferenciabilidad real y diferenciabilidad compleja es la siguiente: Si una función compleja $f (x + i y) = u (x, y) + i v (x, y)$ es holomorfo, entonces $u$ y $v$ tienen primeras derivadas parciales con respecto a $x$ y $y$ , y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann:

{frac {partial u}{partial x}}={frac {partial v}{partial y}}qquad {mbox{and}}qquad {frac {partial u}{partial y}}=-{frac {partial v}{partial x}},

o, de manera equivalente, la derivada de Wirtinger de $f$ con respecto a $z̅$ , el complejo conjugado de $z$ , es cero:

{frac {partial f}{partial {overline {z}}}}=0,

lo que quiere decir que, aproximadamente, $f$ es funcionalmente independiente de $z̅$ , el conjugado complejo de $z$ .

Si no se da continuidad, lo contrario no es necesariamente cierto. Una simple inversa es que si $u$ y $v$ tienen primeras derivadas parciales continuas y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces $f$ es holomorfo. Una inversa más satisfactoria, que es mucho más difícil de demostrar, es el teorema de Looman-Menchoff: si $f$ es continua, $u$ y $v$ tienen derivadas parciales primeras (pero no necesariamente continua), y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces $f$ es holomorfa.

Terminología

El término holomórfico fue introducido en 1875 por Charles Briot y Jean-Claude Bouquet, dos de los estudiantes de Augustin-Louis Cauchy, y deriva del griego ὅλος (hólos) que significa "entero", y μορφή (morphḗ) que significa "forma" o "apariencia" o "tipo", en contraste con el término meromórfico derivado de μέρος (méros) que significa "parte". Una función holomorfa se asemeja a una función completa ('totalidad') en un dominio del plano complejo, mientras que una función meromórfica (definida como holomorfa excepto en ciertos polos aislados), se asemeja a una fracción racional ('parte'). #34;) de funciones enteras en un dominio del plano complejo. En cambio, Cauchy había utilizado el término sinéctico.

Hoy en día, el término "función holomórfica" a veces se prefiere a la "función analítica". Un resultado importante en el análisis complejo es que toda función holomorfa es analítica compleja, un hecho que no se sigue obviamente de las definiciones. El término "analítico" sin embargo, también se utiliza ampliamente.

Propiedades

Debido a que la diferenciación compleja es lineal y obedece a las reglas del producto, el cociente y la cadena, las sumas, los productos y las composiciones de las funciones holomorfas son holomorfas, y el cociente de dos funciones holomorfas es holomorfa siempre que el denominador no sea cero. Es decir, si las funciones $f$ y $g$ son holomorfos en un dominio $U$ , entonces también lo son $f + g$ , f − g, f g y $f \circ g$ . Además, $f / g$ es holomorfo si $g$ no tiene ceros en $U$ , o es meromórfico de lo contrario.

Si se identifica $C$ con el plano real $R 2$ , entonces las funciones holomorfas coinciden con aquellas funciones de dos variables reales con primeras derivadas continuas que resuelven las ecuaciones de Cauchy-Riemann, un conjunto de dos ecuaciones diferenciales parciales.

Cada función holomorfa se puede separar en sus partes real e imaginaria $f (x + i y) = u (x, y) + i v (x, y)$ , y cada uno de estos es una función armónica en $R 2$ (cada uno satisface la ecuación de Laplace $\nabla 2 u = \nabla 2 v = 0$ ), con $v$ el conjugado armónico de $u$ . Por el contrario, cada función armónica $u (x, y)$ en un dominio simplemente conectado $Ω \subset R 2$ es la parte real de una función holomorfa: Si $v$ es el conjugado armónico de $u$ , único hasta una constante, entonces $f (x + i y) = u (x, y) + i v (x, y)$ es holomorfo.

El teorema de la integral de Cauchy implica que la integral de contorno de cada función holomorfa a lo largo de un bucle se anula:

oint _{gamma }f(z),dz=0.

Aquí $γ$ hay una ruta rectificable en un dominio complejo simplemente conectado $U \subset C$ cuyo punto inicial es igual a su punto final, y $f : U \to C$ es una función holomorfa.

La fórmula integral de Cauchy establece que cada función holomorfa dentro de un disco está completamente determinada por sus valores en el límite del disco. Además: supongamos que $U \subset C$ es un dominio complejo, $f : U \to C$ es una función holomorfa y el disco cerrado $D = {z : | z - z 0 | \leq r}$ está contenido completamente en $U$ . Sea $γ$ el círculo que forma el límite de $D$ . Luego, para cada $a$ en el interior de $D$ :

{displaystyle f(a)={frac {1}{2pi i}}oint _{gamma }{frac {f(z)}{z-a}},dz}

donde la integral de contorno se toma en sentido antihorario.

La derivada $f'(a)$ se puede escribir como una integral de contorno utilizando la fórmula de diferenciación de Cauchy:

{displaystyle f'(a)={1 over 2pi i}oint _{gamma }{f(z) over (z-a)^{2}},dz,}

para cualquier bucle simple que se enrolle positivamente una vez alrededor de $a$ , y

{displaystyle f'(a)=lim limits _{gamma to a}{frac {i}{2{mathcal {A}}(gamma)}}oint _{gamma }f(z),d{bar {z}},}

para bucles positivos infinitesimales $γ$ alrededor de $a$ .

En las regiones donde la primera derivada no es cero, las funciones holomorfas son conformes: conservan los ángulos y la forma (pero no el tamaño) de las figuras pequeñas.

Toda función holomorfa es analítica. Es decir, una función holomorfa $f$ tiene derivadas de todo orden en cada punto $a$ en su dominio, y coincide con su propia serie de Taylor en $a$ en un vecindario de $a$ . De hecho, $f$ coincide con su serie de Taylor en $a$ en cualquier disco centrado en ese punto y dentro del dominio de la función.

Desde un punto de vista algebraico, el conjunto de funciones holomorfas en un conjunto abierto es un anillo conmutativo y un espacio vectorial complejo. Además, el conjunto de funciones holomorfas en un conjunto abierto $U$ es un dominio integral si y solo si el conjunto abierto $U$ está conectado. De hecho, es un espacio vectorial topológico localmente convexo, siendo las seminormas las supremas en los subconjuntos compactos.

Desde una perspectiva geométrica, una función $f$ es holomorfa en $z 0$ si y solo si su derivado exterior $df$ en un vecindario U de $z 0$ es igual a $f'(z) dz$ para alguna función continua $f'$ . Se sigue de

textstyle 0=d^{2}f=d(f^{prime }dz)=df^{prime }wedge dz

que $df'$ también es proporcional a $dz$ , lo que implica que la derivada $f'$ es en sí mismo holomorfo y, por lo tanto, $f$ es infinitamente diferenciable. Del mismo modo, $d (f dz) = f' dz \land dz = 0$ implica que cualquier función $f$ que es holomorfa en la región simplemente conectada $U$ también es integrable en $U$ .

(Por un camino) $γ$ desde $z 0$ a $z$ mintiendo completamente $U$ , definir ${textstyle F_{gamma }(z)=F_{0}+int _{gamma }f,dz;}$ a la luz del teorema curva Jordan y el teorema generalizado de Stokes, $F γ () z)$ es independiente de la elección particular del camino $γ$ , y así $F () z)$ es una función bien definida en $U$ teniendo $F () z 0) F 0$ y $dF = f dz$ .)

Ejemplos

Todas las funciones polinómicas en $z$ con coeficientes complejos son funciones completas (holomorfa en todo el plano complejo $C$ ), y también son la función exponencial $exp z$ y las funciones trigonométricas ${textstyle cos {z}={tfrac {1}{2}}{bigl (}exp(iz)+exp(-iz){bigr)}}$ y ${textstyle sin {z}=-{tfrac {1}{2}}i{bigl (}exp(iz)-exp(-iz){bigr)}}$ (cf. fórmula de Euler). La rama principal de la compleja función de logaritmo $log z$ es holomorfo en el dominio $C {} z ▪ R : z \leq 0 }.$ La función de raíz cuadrada se puede definir como ${textstyle {sqrt {z}}=exp {bigl (}{tfrac {1}{2}}log z{bigr)}}$ y es por lo tanto holomorfo dondequiera que el logaritmo $log z$ Lo es. La función recíproca $1 / z$ es holomorfo en $C { 0 }.$ (La función recíproca, y cualquier otra función racional, es meromorfa $C$ .)

Como consecuencia de las ecuaciones de Cauchy-Riemann, cualquier función holomorfa de valor real debe ser constante. Por lo tanto, el valor absoluto $| z |$ , el argumento $arg (z)$ , la parte real $Re (z)$ y la parte imaginaria $Im (z)$ no son holomorfas. Otro ejemplo típico de una función continua que no es holomorfa es el conjugado complejo $z̅ .$ (El conjugado complejo es antiholomórfico).

Varias variables

La definición de una función holomorfa se generaliza a varias variables complejas de forma directa. Deje que $D$ sea polidisco y también, denote un subconjunto abierto de $C n$ , y sea $f : D \to C$ . La función $f$ es analítica en un punto $p$ en $D$ si existe una vecindad abierta de $p$ donde $f$ es igual a una potencia convergente series en $n$ variables complejas. Defina $f$ para que sea holomórfico si es analítico en cada punto de su dominio. El lema de Osgood muestra (utilizando la fórmula integral multivariada de Cauchy) que, para una función continua $f$ , esto es equivalente a $f$ siendo holomorfa en cada variable por separado (lo que significa que si alguna $n - 1$ las coordenadas son fijas, entonces la restricción de $f$ es una función holomorfa de la coordenada restante). Los mucho más profundos Hartogs' El teorema prueba que la suposición de continuidad es innecesaria: $f$ es holomorfa si y solo si es holomorfa en cada variable por separado.

Más generalmente, una función de varias variables complejas que es integrable al cuadrado sobre cada subconjunto compacto de su dominio es analítica si y solo si satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en el sentido de las distribuciones.

Las funciones de varias variables complejas son, en algunos aspectos básicos, más complicadas que las funciones de una sola variable compleja. Por ejemplo, la región de convergencia de una serie de potencias no es necesariamente una bola abierta; estas regiones son dominios Reinhardt logarítmicamente convexos, cuyo ejemplo más simple es un polidisco. Sin embargo, también vienen con algunas restricciones fundamentales. A diferencia de las funciones de una sola variable compleja, los posibles dominios en los que existen funciones holomorfas que no pueden extenderse a dominios más grandes son muy limitados. Tal conjunto se llama dominio de holomorfia.

Una forma diferencial compleja (p,0) $α$ es holomorfa si y solo si su derivada Dolbeault antiholomórfica es cero, $\partial̅ α = 0$ .

Extensión al análisis funcional

El concepto de una función holomorfa se puede extender a los espacios de dimensión infinita del análisis funcional. Por ejemplo, la derivada de Fréchet o Gateaux se puede utilizar para definir una noción de función holomorfa en un espacio de Banach sobre el campo de números complejos.