Conjunto unitario

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En matemáticas conjunto de unidades (a veces singletón, del inglés singleton) es un conjunto con exactamente un elemento. Por ejemplo, el conjunto { null  } es un singleton que contiene el elemento null.

El término también se usa para una tupla de 1 (una secuencia con un miembro).

Propiedades

En el marco de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, el axioma de regularidad garantiza que ningún conjunto es un elemento de sí mismo. Esto implica que un singleton es necesariamente distinto del elemento que contiene, por lo que 1 y {1} no son lo mismo, y el conjunto vacío es distinto del conjunto que contiene solo el conjunto vacío. Un conjunto como { estilo de visualización  { {1,2,3}}}es un singleton ya que contiene un solo elemento (que en sí mismo es un conjunto, sin embargo, no un singleton).

Un conjunto es un singleton si y solo si su cardinalidad es 1. En la construcción teórica de conjuntos de von Neumann de los números naturales, el número 1 se define como el singleton{ estilo de visualización  {0}.}

En la teoría axiomática de conjuntos, la existencia de singletons es una consecuencia del axioma de emparejamiento: para cualquier conjunto A, el axioma aplicado a A y A afirma { estilo de visualización  {A, A },}que la existencia es la misma que la del singleton {UN}(ya que contiene A y ningún otro conjunto). conjunto, como un elemento).

Si A es cualquier conjunto y S es cualquier singleton, entonces existe precisamente una función de A a S, la función que envía todos los elementos de A al único elemento de S. Así cada singleton es un objeto terminal en la categoría de conjuntos.

Un singleton tiene la propiedad de que cada función desde él hasta cualquier conjunto arbitrario es inyectiva. El único conjunto no singleton con esta propiedad es el conjunto vacío.

Cada conjunto singleton es un prefiltro ultra. Si Xes un conjunto y xen Xentonces la parte superior de {X}en X,la que está el conjunto {displaystyle {Ssubseteq X:xin S},}es un ultrafiltro principal on X.Además, todo ultrafiltro principal on Xes necesariamente de esta forma. El lema del ultrafiltro implica que existen ultrafiltros no principales en cada conjunto infinito (estos se llaman ultrafiltros libres). Cada red valorada en un subconjunto singleton Xde es una ultrared enX.

La secuencia de números enteros de Bell cuenta el número de particiones de un conjunto (OEIS: A000110), si se excluyen los singletons, los números son más pequeños (OEIS: A000296).

En teoría de categorías

Las estructuras construidas sobre singletons a menudo sirven como objetos terminales u objetos cero de varias categorías:

Definición por funciones indicadoras

Sea S una clase definida por una función indicadora

{displaystyle b:Xto {0,1}.}

Entonces S se llama singleton si y solo si hay alguno y  en Xtal que para todo{ estilo de visualización x  en X,}

{ estilo de visualización b (x) = (x = y).}

Definición en Principia Mathematica

La siguiente definición fue introducida por Whitehead y Russelliota' Df.{displaystyle x={sombrero {y}}(y=x)}

El símbolo ' denota el singleton y denota la clase de objetos idénticos a aka. Esto ocurre como una definición en la introducción, que, en algunos lugares, simplifica el argumento en el texto principal, donde aparece como la proposición 51.01 (p.357 ibíd.). La proposición se utiliza posteriormente para definir el número cardinal 1 como iotaX{X}{displaystyle {sombrero {y}}(y=x)}X{ estilo de visualización  {y: y = x }}{displaystyle 1={hat {alpha }}((existe x)alpha =iota }' Df.{ estilo de visualización x)}

Es decir, 1 es la clase de singletons. Esta es la definición 52.01 (p.363 ibid.)