Funciones de suelo y techo

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Integers más cercanos de un número

Funciones de piso y techo

Función del suelo

Función de techo

En matemáticas e informática, la función de suelo es la función que toma como entrada un número real $x$ , y da como resultado el mayor entero menor o igual que $x$ , denotado $⌊ x ⌋$ o $piso(x)$ . De manera similar, la función de techo asigna $x$ al menor entero mayor o igual a $x$ , denotado $⌈ x ⌉$ o $ceil (x)$ .

Por ejemplo, $⌊2.4⌋ = 2$ , $⌊-2.4⌋ = -3$ , $⌈2.4⌉ = 3$ y $⌈-2.4⌉ = -2$ .

Históricamente, el piso de $x$ ha sido, y aún es, llamado la parte integral o parte entera de $x$ , a menudo denotado $[x]$ (así como una variedad de otras notaciones). Algunos autores pueden definir la parte integral $[x]$ como $⌊ x ⌋$ si $x$ no es negativo, y $⌈ x ⌉$ de lo contrario: por ejemplo, $[2.4] = 2$ y $[-2.4] = -2$ . La operación de truncamiento generaliza esto a un número específico de dígitos: el truncamiento a cero dígitos significativos es lo mismo que la parte entera.

Para $n$ un número entero, $⌊ n ⌋ = ⌈ n ⌉ = [n] = n$ .

Ejemplos
x	Piso $⌊ x ⌋$	Ceiling $⌈ x ⌉$	Parte fracturada ${} x}$
2	2	2	0
2.4	2	3	0,4
2.9	2	3	0.9
−2.7	−3	−2	0.3
−2	−2	−2	0

Notación

La parte entera o parte entera de un número (partie entière en el original) fue definido por primera vez en 1798 por Adrien-Marie Legendre en su prueba de la fórmula de Legendre.

Carl Friedrich Gauss introdujo la notación de corchetes $[x]$ en su tercera prueba de reciprocidad cuadrática (1808). Este siguió siendo el estándar en matemáticas hasta que Kenneth E. Iverson introdujo, en su libro de 1962 Un lenguaje de programación, los nombres "piso" y "techo" y las notaciones correspondientes $⌊ x ⌋$ y $⌈ x ⌉$ . (Iverson usó corchetes para un propósito diferente, la notación de corchetes de Iverson). Ambas notaciones ahora se usan en matemáticas, aunque la notación de Iverson se seguirá en este artículo.

En algunas fuentes, se usan negritas o corchetes dobles $⟦ x ⟧$ para el piso y corchetes invertidos $⟧ x ⟦$ o $] x [$ para techo. A veces $[x]$ se interpreta como la función de redondeo a cero.

La parte fraccionaria es la función de diente de sierra, denotada por ${x}$ para real $x$ y definido por la fórmula

{} x} = x - x ⌋

Para todo x,

0 \leq x}

Estos caracteres se proporcionan en Unicode:

U+2308 ⌈ LEFT CEILING ()" lceil; ")
U+2309 ⌉ Bien hecho ()"rceil; ";)
U+230A ⌊ LEFT FLOOR ()" LeftFloor; ",)
U+230B ⌋ FLOOR derecho ()< rfloor; <, >)

En el sistema de composición tipográfica LaTeX, estos símbolos se pueden especificar con las clases lfloor, rfloor, lceil y rceil comandos en modo matemático, y ampliados en tamaño usando leftlfloor, rightrfloor, leftlceil y rightrceil según sea necesario.

Definición y propiedades

Dados números reales x y Sí., enteros k, m, n y el conjunto de enteros $mathbb {Z}$ , piso y techo puede ser definido por las ecuaciones

{displaystyle lfloor xrfloor =max{min mathbb {Z} mid mleq x},}

{displaystyle lceil xrceil =min{nin mathbb {Z} mid ngeq x}.}

Dado que hay exactamente un entero en un intervalo semiabierto de longitud uno, para cualquier número real x, hay enteros únicos m y n satisfaciendo la ecuación

<math alttext="{displaystyle x-1<mleq xleq nx- - 1.m\leq \leq x\leq \leq n.x+1.{displaystyle x-1semleq xleq n madex+1.} <img alt="{displaystyle x-1<mleq xleq n

Donde ${displaystyle lfloor xrfloor =m}$ y ${displaystyle lceil xrceil =n}$ puede tomarse también como la definición de piso y techo.

Equivalencias

Estas fórmulas se pueden usar para simplificar expresiones que involucran pisos y techos.

<math alttext="{displaystyle {begin{aligned}lfloor xrfloor =m&;;{mbox{ if and only if }}&m&leq x<m+1,\lceil xrceil =n&;;{mbox{ if and only if }}&n-1&<xleq n,\lfloor xrfloor =m&;;{mbox{ if and only if }}&x-1&<mleq x,\lceil xrceil =n&;;{mbox{ if and only if }}&x&leq n⌊ ⌊ x⌋ ⌋ =msim≤ ≤ x.m+1,⌈ ⌈ x⌉ ⌉ =nsin− − 1.x≤ ≤ n,⌊ ⌊ x⌋ ⌋ =msix− − 1.m≤ ≤ x,⌈ ⌈ x⌉ ⌉ =nsix≤ ≤ n.x+1.################################################################################################################################################################################################################################################################<img alt="{begin{aligned}lfloor xrfloor =m&;;{mbox{ if and only if }}&m&leq x<m+1,\lceil xrceil =n&;;{mbox{ if and only if }}&n-1&<xleq n,\lfloor xrfloor =m&;;{mbox{ if and only if }}&x-1&<mleq x,\lceil xrceil =n&;;{mbox{ if and only if }}&x&leq n

En el lenguaje de la teoría del orden, la función de piso es un mapeo residual, es decir, parte de una conexión de Galois: es el adjunto superior de la función que incrusta los números enteros en los reales.

<math alttext="{displaystyle {begin{aligned}x<n&;;{mbox{ if and only if }}&lfloor xrfloor &<n,\n<x&;;{mbox{ if and only if }}&n&x.nsi⌊ ⌊ x⌋ ⌋ .n,n.xsin.⌈ ⌈ x⌉ ⌉ ,x≤ ≤ nsi⌈ ⌈ x⌉ ⌉ ≤ ≤ n,n≤ ≤ xsin≤ ≤ ⌊ ⌊ x⌋ ⌋ .{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {mbox}mboxmboxmboxcH0} {mboxcH0} {cH0}mboxcH0}mboxcH00}cH00}mboxcH0cH0cH00}<img alt="{begin{aligned}x<n&;;{mbox{ if and only if }}&lfloor xrfloor &<n,\n<x&;;{mbox{ if and only if }}&n&

Estas fórmulas muestran cómo la adición de números enteros a los argumentos afecta a las funciones:

{begin{aligned}lfloor x+nrfloor &=lfloor xrfloor +n,\lceil x+nrceil &=lceil xrceil +n,\{x+n}&={x}.end{aligned}}

Lo anterior nunca es cierto si n no es un número entero; sin embargo, para cada $x$ y $y$ , se cumplen las siguientes desigualdades:

{displaystyle {begin{aligned}lfloor xrfloor +lfloor yrfloor &leq lfloor x+yrfloor leq lfloor xrfloor +lfloor yrfloor +1,\lceil xrceil +lceil yrceil -1&leq lceil x+yrceil leq lceil xrceil +lceil yrceil.end{aligned}}}

Monotonicidad

Tanto la función de suelo como la de techo son funciones monótonamente no decrecientes:

{displaystyle {begin{aligned}x_{1}leq x_{2}&Rightarrow lfloor x_{1}rfloor leq lfloor x_{2}rfloor\x_{1}leq x_{2}&Rightarrow lceil x_{1}rceil leq lceil x_{2}rceil.end{aligned}}}

Relaciones entre las funciones

Está claro a partir de las definiciones que

lfloor xrfloor leq lceil xrceil

con igualdad si x es un entero, es decir.

lceil xrceil -lfloor xrfloor ={begin{cases}0&{mbox{ if }}xin mathbb {Z} \1&{mbox{ if }}xnot in mathbb {Z} end{cases}}

De hecho, para los enteros n, las funciones suelo y techo son la identidad:

lfloor nrfloor =lceil nrceil =n.

Negar el argumento cambia de suelo y de techo y cambia el signo:

{begin{aligned}lfloor xrfloor +lceil -xrceil &=0\-lfloor xrfloor &=lceil -xrceil \-lceil xrceil &=lfloor -xrfloor end{aligned}}

{displaystyle lfloor xrfloor +lfloor -xrfloor ={begin{cases}0&{text{if }}xin mathbb {Z} \-1&{text{if }}xnot in mathbb {Z}end{cases}}}

{displaystyle lceil xrceil +lceil -xrceil ={begin{cases}0&{text{if }}xin mathbb {Z} \1&{text{if }}xnot in mathbb {Z}.end{cases}}}

Negar el argumento complementa la parte fraccionaria:

{displaystyle {x}+{-x}={begin{cases}0&{text{if }}xin mathbb {Z} \1&{text{if }}xnot in mathbb {Z}.end{cases}}}

Las funciones suelo, techo y parte fraccionaria son idempotentes:

{displaystyle {begin{aligned}{Big lfloor }lfloor xrfloor {Big rfloor }&=lfloor xrfloor\{Big lceil }lceil xrceil {Big rceil }&=lceil xrceil\{Big {}{x}{Big }}&={x}.end{aligned}}}

El resultado de las funciones de piso o techo anidadas es la función más interna:

{displaystyle {begin{aligned}{Big lfloor }lceil xrceil {Big rfloor }&=lceil xrceil\{Big lceil }lfloor xrfloor {Big rceil }&=lfloor xrfloor end{aligned}}}

debido a la propiedad de identidad de los números enteros.

Cocientes

Si m y n son números enteros y n ≠ 0,

0leq left{{frac {m}{n}}right}leq 1-{frac {1}{|n|}}.

Si n es un entero positivo

leftlfloor {frac {x+m}{n}}rightrfloor =leftlfloor {frac {lfloor xrfloor +m}{n}}rightrfloor

leftlceil {frac {x+m}{n}}rightrceil =leftlceil {frac {lceil xrceil +m}{n}}rightrceil.

Si m es positivo

n=leftlceil {frac {n}{m}}rightrceil +leftlceil {frac {n-1}{m}}rightrceil +dots +leftlceil {frac {n-m+1}{m}}rightrceil

n=leftlfloor {frac {n}{m}}rightrfloor +leftlfloor {frac {n+1}{m}}rightrfloor +dots +leftlfloor {frac {n+m-1}{m}}rightrfloor.

Para m = 2 esto implica

n=leftlfloor {frac {n}{2}}rightrfloor +leftlceil {frac {n}{2}}rightrceil.

En términos más generales, para m positivos (consulte la identidad de Hermite)

lceil mxrceil =leftlceil xrightrceil +leftlceil x-{frac {1}{m}}rightrceil +dots +leftlceil x-{frac {m-1}{m}}rightrceil

lfloor mxrfloor =leftlfloor xrightrfloor +leftlfloor x+{frac {1}{m}}rightrfloor +dots +leftlfloor x+{frac {m-1}{m}}rightrfloor.

Lo siguiente se puede utilizar para convertir suelos en techos y viceversa (m positivo)

leftlceil {frac {n}{m}}rightrceil =leftlfloor {frac {n+m-1}{m}}rightrfloor =leftlfloor {frac {n-1}{m}}rightrfloor +1,

leftlfloor {frac {n}{m}}rightrfloor =leftlceil {frac {n-m+1}{m}}rightrceil =leftlceil {frac {n+1}{m}}rightrceil -1,

Para todos los m y n enteros estrictamente positivos:

{displaystyle sum _{k=1}^{n-1}leftlfloor {frac {km}{n}}rightrfloor ={frac {(m-1)(n-1)+gcd(m,n)-1}{2}},}

que, para m y n positivos y coprimos, se reduce a

{displaystyle sum _{k=1}^{n-1}leftlfloor {frac {km}{n}}rightrfloor ={frac {1}{2}}(m-1)(n-1),}

y de manera similar para las funciones techo y parte fraccionaria (todavía para m y n positivos y coprimos),

{displaystyle sum _{k=1}^{n-1}leftlceil {frac {km}{n}}rightrceil ={frac {1}{2}}(m+1)(n-1),}

{displaystyle sum _{k=1}^{n-1}left{{frac {km}{n}}right}={frac {1}{2}}(n-1).}

Dado que el lado derecho del caso general es simétrico en m y n, esto implica que

leftlfloor {frac {m}{n}}rightrfloor +leftlfloor {frac {2m}{n}}rightrfloor +dots +leftlfloor {frac {(n-1)m}{n}}rightrfloor =leftlfloor {frac {n}{m}}rightrfloor +leftlfloor {frac {2n}{m}}rightrfloor +dots +leftlfloor {frac {(m-1)n}{m}}rightrfloor.

Más generalmente, si m y n son positivos,

{displaystyle {begin{aligned}&leftlfloor {frac {x}{n}}rightrfloor +leftlfloor {frac {m+x}{n}}rightrfloor +leftlfloor {frac {2m+x}{n}}rightrfloor +dots +leftlfloor {frac {(n-1)m+x}{n}}rightrfloor \=&leftlfloor {frac {x}{m}}rightrfloor +leftlfloor {frac {n+x}{m}}rightrfloor +leftlfloor {frac {2n+x}{m}}rightrfloor +cdots +leftlfloor {frac {(m-1)n+x}{m}}rightrfloor.end{aligned}}}

Esto a veces se denomina ley de reciprocidad.

Divisiones anidadas

Para enteros positivos n y números reales arbitrarios m,x:

leftlfloor {frac {lfloor x/mrfloor }{n}}rightrfloor =leftlfloor {frac {x}{mn}}rightrfloor

{displaystyle leftlceil {frac {lceil x/mrceil }{n}}rightrceil =leftlceil {frac {x}{mn}}rightrceil.}

Continuidad y expansiones en serie

Ninguna de las funciones discutidas en este artículo son continuas, pero todas son lineales: las funciones $lfloor xrfloor$ , $lceil xrceil$ , y ${x}$ tienen discontinuidades en los enteros.

$lfloor xrfloor$ es semi-continua superior y $lceil xrceil$ y ${x}$ son semi-continua inferior.

Dado que ninguna de las funciones discutidas en este artículo es continua, ninguna de ellas tiene una expansión en serie de potencias. Dado que el piso y el techo no son periódicos, no tienen desarrollos en serie de Fourier uniformemente convergentes. La función parte fraccionaria tiene expansión en serie de Fourier

{displaystyle {x}={frac {1}{2}}-{frac {1}{pi }}sum _{k=1}^{infty }{frac {sin(2pi kx)}{k}}}

para $x$ no es un número entero.

En los puntos de discontinuidad, una serie de Fourier converge a un valor que es el promedio de sus límites por la izquierda y la derecha, a diferencia de las funciones piso, techo y parte fraccionaria: para y fijo y x un múltiplo de y la serie de Fourier dada converge a y/2, en lugar de a x mod y = 0. En los puntos de continuidad, la serie converge al valor verdadero.

Usando la fórmula piso(x) = x − {x} da

{displaystyle lfloor xrfloor =x-{frac {1}{2}}+{frac {1}{pi }}sum _{k=1}^{infty }{frac {sin(2pi kx)}{k}}}

para $x$ no es un número entero.

Aplicaciones

Operadora de modificación

(feminine)

Para un entero x y un entero positivo y, la operación de módulo, denotada por x mod y, da el valor del resto cuando x se divide por y. Esta definición se puede extender a x e y reales, y ≠ 0, mediante la fórmula

{displaystyle x{bmod {y}}=x-yleftlfloor {frac {x}{y}}rightrfloor.}

Entonces, de la definición de la función suelo se deduce que esta operación ampliada satisface muchas propiedades naturales. En particular, x mod y siempre está entre 0 y y, es decir,

si y es positivo,

<math alttext="{displaystyle 0leq x{bmod {y}}0\leq \leq xmodSí..Sí.,{displaystyle 0leq x{bmod {y}traducido, } <img alt="{displaystyle 0leq x{bmod {y}}

y si y es negativo,

y.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">0≥ ≥ xmodSí.■Sí..{displaystyle 0geq x{bmod {y} {y} {fnMicrosoft Sans Serif}y.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74344b7f10acd75d014471a0624651f03829fb21" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.328ex; height:2.509ex;"/>

Reciprocidad cuadrática

La tercera prueba de reciprocidad cuadrática de Gauss, modificada por Eisenstein, consta de dos pasos básicos.

Sean p y q números primos impares positivos distintos y

{displaystyle m={frac {p-1}{2}},}

{displaystyle n={frac {q-1}{2}}.}

Primero, se usa el lema de Gauss para mostrar que los símbolos de Legendre están dados por

{displaystyle left({frac {q}{p}}right)=(-1)^{leftlfloor {frac {q}{p}}rightrfloor +leftlfloor {frac {2q}{p}}rightrfloor +dots +leftlfloor {frac {mq}{p}}rightrfloor }}

{displaystyle left({frac {p}{q}}right)=(-1)^{leftlfloor {frac {p}{q}}rightrfloor +leftlfloor {frac {2p}{q}}rightrfloor +dots +leftlfloor {frac {np}{q}}rightrfloor }.}

El segundo paso es usar un argumento geométrico para mostrar que

leftlfloor {frac {q}{p}}rightrfloor +leftlfloor {frac {2q}{p}}rightrfloor +dots +leftlfloor {frac {mq}{p}}rightrfloor +leftlfloor {frac {p}{q}}rightrfloor +leftlfloor {frac {2p}{q}}rightrfloor +dots +leftlfloor {frac {np}{q}}rightrfloor =mn.

La combinación de estas fórmulas da reciprocidad cuadrática en la forma

left({frac {p}{q}}right)left({frac {q}{p}}right)=(-1)^{mn}=(-1)^{{frac {p-1}{2}}{frac {q-1}{2}}}.

Hay fórmulas que usan suelo para expresar el carácter cuadrático de números pequeños mod primos impares p:

left({frac {2}{p}}right)=(-1)^{leftlfloor {frac {p+1}{4}}rightrfloor },

left({frac {3}{p}}right)=(-1)^{leftlfloor {frac {p+1}{6}}rightrfloor }.

Redondeo

Para un número real arbitrario $x$ , redondeo $x$ al entero más cercano con la ruptura de la corbata hacia el infinito positivo es dado por ${displaystyle {text{rpi}}(x)=leftlfloor x+{tfrac {1}{2}}rightrfloor =leftlceil {tfrac {lfloor 2xrfloor }{2}}rightrceil }$ ; redondeo hacia el infinito negativo se da como ${displaystyle {text{rni}}(x)=leftlceil x-{tfrac {1}{2}}rightrceil =leftlfloor {tfrac {lceil 2xrceil }{2}}rightrfloor }$ .

Si el rompimiento de corbatas está lejos de 0, entonces la función de redondeo es ${text{ri}}(x)=operatorname {sgn}(x)leftlfloor |x|+{tfrac {1}{2}}rightrfloor$ (ver función de signo), y redondear hacia incluso se puede expresar con el más engorroso ${displaystyle lfloor xrceil =leftlfloor x+{tfrac {1}{2}}rightrfloor +leftlceil {tfrac {2x-1}{4}}rightrceil -leftlfloor {tfrac {2x-1}{4}}rightrfloor -1}$ , que es la expresión anterior para redondear hacia el infinito positivo ${displaystyle {text{rpi}}(x)}$ menos un indicador de integralidad $tfrac{2x-1}4$ .

Número de dígitos

El número de dígitos en base b de un entero positivo k es

lfloor log _{b}{k}rfloor +1=lceil log _{b}{(k+1)}rceil.

Número de cadenas sin caracteres repetidos

La cantidad de cadenas posibles de longitud arbitraria que no usan ningún carácter dos veces viene dada por

{displaystyle (n)_{0}+cdots +(n)_{n}=lfloor en!rfloor }

donde:

$n$ ■ 0 es el número de letras en el alfabeto (por ejemplo, 26 en inglés)
la caída factorial ${displaystyle (n)_{k}=n(n-1)cdots (n-k+1)}$ denota el número de cuerdas de longitud $k$ que no usa ningún personaje dos veces.
$n$ ! denota el factorial de $n$
$e$ = 2.718... es el número de Euler

Para $n$ = 26, resulta 1096259850353149530222034277.

Factores de factoriales

Sea n un número entero positivo y p un número primo positivo. ¡El exponente de la máxima potencia de p que divide a n! viene dada por una versión de la fórmula de Legendre

{displaystyle leftlfloor {frac {n}{p}}rightrfloor +leftlfloor {frac {n}{p^{2}}}rightrfloor +leftlfloor {frac {n}{p^{3}}}rightrfloor +dots ={frac {n-sum _{k}a_{k}}{p-1}}}

Donde ${textstyle n=sum _{k}a_{k}p^{k}}$ es la manera de escribir n en base p. Esta es una suma finita, ya que los pisos son cero cuando p^k ■ n.

Secuencia Beatty

La sucesión de Beatty muestra cómo todo número irracional positivo da lugar a una partición de los números naturales en dos sucesiones a través de la función suelo.

Constante de Euler (γ)

Hay fórmulas para la constante de Euler γ = 0.57721 56649... que involucran el piso y el techo, p.

gamma =int _{1}^{infty }left({1 over lfloor xrfloor }-{1 over x}right),dx,

{displaystyle gamma =lim _{nto infty }{frac {1}{n}}sum _{k=1}^{n}left(leftlceil {frac {n}{k}}rightrceil -{frac {n}{k}}right),}

{displaystyle gamma =sum _{k=2}^{infty }(-1)^{k}{frac {leftlfloor log _{2}krightrfloor }{k}}={tfrac {1}{2}}-{tfrac {1}{3}}+2left({tfrac {1}{4}}-{tfrac {1}{5}}+{tfrac {1}{6}}-{tfrac {1}{7}}right)+3left({tfrac {1}{8}}-cdots -{tfrac {1}{15}}right)+cdots }

Función zeta de Riemann (ζ)

La función de parte fraccionada también aparece en representaciones integrales de la función Riemann zeta. Es sencillo demostrar (utilizando la integración por partes) que si $varphi (x)$ es cualquier función con un derivado continuo en el intervalo cerrado [a, b]

<math alttext="{displaystyle sum _{a.. a.n≤ ≤ bφ φ ()n)=∫ ∫ abφ φ ()x)dx+∫ ∫ ab(){}x}− − 12)φ φ .()x)dx+(){}a}− − 12)φ φ ()a)− − (){}b}− − 12)φ φ ()b).{displaystyle sum _{a meantnleq b}varphi (n)=int _{a}^{b}varphi (x),dx+int _{a}b}left(x\}-{tfrac [1}{2}right)varphi '(x),dx+left({a}-{tfrac [1}{2}right)varphi (a)-left({b}-{tfrac {1}{2}right)varphi (b).}<img alt="{displaystyle sum _{a

Letting ${displaystyle varphi (n)=n^{-s}}$ por parte real de s más de 1 y dejar a y b ser enteros, y dejar b enfoque infinito

{displaystyle zeta (s)=sint _{1}^{infty }{frac {{frac {1}{2}}-{x}}{x^{s+1}}},dx+{frac {1}{s-1}}+{frac {1}{2}}.}

Esta fórmula es válida para todos los s con parte real mayor que −1, (excepto s = 1, donde hay un polo) y combinada con la expansión de Fourier para {x} se puede usar para extender la función zeta a todo el plano complejo y probar su ecuación funcional.

Para s = σ + it en la franja crítica 0 < σ < 1,

{displaystyle zeta (s)=sint _{-infty }^{infty }e^{-sigma omega }(lfloor e^{omega }rfloor -e^{omega })e^{-itomega },domega.}

En 1947, van der Pol usó esta representación para construir una computadora analógica para encontrar las raíces de la función zeta.

Fórmulas para números primos

La función del suelo aparece en varias fórmulas caracterizando números primos. Por ejemplo, desde ${displaystyle leftlfloor {frac {n}{m}}rightrfloor -leftlfloor {frac {n-1}{m}}rightrfloor }$ es igual a 1 si m divideciones n, y a 0 de lo contrario, sigue que un entero positivo n es un primo si y sólo si

{displaystyle sum _{m=1}^{infty }left(leftlfloor {frac {n}{m}}rightrfloor -leftlfloor {frac {n-1}{m}}rightrfloor right)=2.}

También se pueden dar fórmulas para producir los números primos. Por ejemplo, sea p_n el n-ésimo primo, y para cualquier entero r > 1, define el número real α por la suma

alpha =sum _{m=1}^{infty }p_{m}r^{-m^{2}}.

Entonces

p_{n}=leftlfloor r^{n^{2}}alpha rightrfloor -r^{2n-1}leftlfloor r^{(n-1)^{2}}alpha rightrfloor.

Un resultado similar es que hay un número θ = 1.3064... (Mills' constante) con la propiedad de que

leftlfloor theta ^{3}rightrfloorleftlfloor theta ^{9}rightrfloorleftlfloor theta ^{27}rightrfloordots

son todos primos.

También existe un número ω = 1,9287800... con la propiedad de que

leftlfloor 2^{omega }rightrfloorleftlfloor 2^{2^{omega }}rightrfloorleftlfloor 2^{2^{2^{omega }}}rightrfloordots

son todos primos.

Sea $π$ (x) el número de primos menores o iguales a x. Es una deducción directa del teorema de Wilson que

pi (n)=sum _{j=2}^{n}leftlfloor {frac {(j-1)!+1}{j}}-leftlfloor {frac {(j-1)!}{j}}rightrfloor rightrfloor.

Además, si n ≥ 2,

{displaystyle pi (n)=sum _{j=2}^{n}leftlfloor {frac {1}{sum _{k=2}^{j}leftlfloor leftlfloor {frac {j}{k}}rightrfloor {frac {k}{j}}rightrfloor }}rightrfloor.}

Ninguna de las fórmulas de esta sección tiene un uso práctico.

Problemas resueltos

Ramanujan envió estos problemas al Journal of the Indian Mathematical Society.

Si n es un entero positivo, demuestre que

${displaystyle leftlfloor {tfrac {n}{3}}rightrfloor +leftlfloor {tfrac {n+2}{6}}rightrfloor +leftlfloor {tfrac {n+4}{6}}rightrfloor =leftlfloor {tfrac {n}{2}}rightrfloor +leftlfloor {tfrac {n+3}{6}}rightrfloor}$
${displaystyle leftlfloor {tfrac {1}{2}}+{sqrt {n+{tfrac {1}{2}}}}rightrfloor =leftlfloor {tfrac {1}{2}}+{sqrt {n+{tfrac {1}{4}}}}rightrfloor}$
${displaystyle leftlfloor {sqrt {n}}+{sqrt {n+1}}rightrfloor =leftlfloor {sqrt {4n+2}}rightrfloor.}$

Se han probado algunas generalizaciones a las identidades de funciones del piso anterior.

Problema sin resolver

El estudio del problema de Waring ha llevado a un problema sin resolver:

¿Existen enteros positivos k ≥ 6 tales que

2^{k}-leftlfloor left({tfrac {3}{2}}right)^{k}rightrfloor -2}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">3k− − 2k⌊()32)k⌋■2k− − ⌊()32)k⌋− − 2{displaystyle 3^{k}-2}{k}leftlfloor left({tfrac {3}{2}right)}rightrfloor -2}2^{k}-leftlfloor left({tfrac {3}{2}}right)^{k}rightrfloor -2}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c595352303c35407afd045bfc6f894d24397bf7" style="vertical-align: -2.505ex; width:36.388ex; height:6.176ex;"/>

Mahler ha demostrado que solo puede haber un número finito de tales k; ninguno es conocido.

Implementaciones informáticas

Función int de la conversión de punto flotante en C

En la mayoría de los lenguajes de programación, el método más simple para convertir un número de punto flotante en un número entero no es el mínimo o máximo, sino el truncamiento. La razón de esto es histórica, ya que las primeras máquinas usaban ' el complemento y el truncamiento fueron más simples de implementar (el piso es más simple en el complemento a dos). FORTRAN se definió para requerir este comportamiento y, por lo tanto, casi todos los procesadores implementan la conversión de esta manera. Algunos consideran que se trata de una desafortunada decisión histórica de diseño que ha provocado errores en el manejo de compensaciones negativas y gráficos en el lado negativo del origen.

Un pequeño giro derecho de un entero firmado $x$ por $n$ es lo mismo que ${displaystyle leftlfloor {frac {x}{2^{n}}}rightrfloor }$ . La división por un poder de 2 se escribe a menudo como un cambio de derecho, no para la optimización como se podría suponer, sino porque se requiere el nivel de resultados negativos. Suponiendo que tales cambios sean " optimización prematuro" y reemplazarlos por división puede romper el software.

Muchos lenguajes de programación (incluidos C, C++, C#, Java, PHP, R y Python) brindan funciones estándar para piso y techo, generalmente llamadas piso y ceil, o menos comúnmente techo. El lenguaje APL usa ⌊x para piso. El lenguaje de programación J, una continuación de APL que está diseñado para usar símbolos de teclado estándar, usa <. para piso y >. para techo. ALGOL usa entier para piso.

En Microsoft Excel, la función de piso se implementa como INT (que redondea hacia abajo en lugar de hacia cero). El comando FLOOR en versiones anteriores redondeaba hacia cero, efectivamente lo contrario de lo que "int" y "suelo" hacer en otros idiomas. Desde 2010, FLOOR se ha corregido para redondear hacia abajo, con argumentos adicionales que pueden reproducir el comportamiento anterior. El formato de archivo OpenDocument, como lo usan OpenOffice.org, Libreoffice y otros, usa los mismos nombres de funciones; INT hace piso y FLOOR tiene un tercer argumento que puede hacer que se redondee hacia cero.

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