Función logística

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Curva en forma de S

Función logística estándar donde

{displaystyle L=1,k=1,x_{0}=0}

Una función logística o curva logística es una curva común en forma de S (curva sigmoidea) con ecuación

{displaystyle f(x)={frac {L}{1+e^{-k(x-x_{0})}}},}

dónde

x_{0}

, el

x

valor del punto medio del sigmoide;

L

, el supremum de los valores de la función;

k

, la tasa de crecimiento logístico o la empinada de la curva.

Para valores $x$ en el dominio de números reales de $-infty$ a $+infty$ , el S-curve mostrado en la derecha se obtiene, con el gráfico de $f$ acercamiento $L$ como $x$ enfoques $+infty$ y acercamiento a cero como $x$ enfoques $-infty$ .

La función logística encuentra aplicaciones en una variedad de campos, incluida la biología (especialmente la ecología), las biomatemáticas, la química, la demografía, la economía, las geociencias, la psicología matemática, la probabilidad, la sociología, las ciencias políticas, la lingüística, la estadística y las redes neuronales artificiales. Una generalización de la función logística es la función hiperbolástica de tipo I.

La función logística estándar, donde ${displaystyle L=1,k=1,x_{0}=0}$ , a veces se llama simplemente el sigmoide. También se llama a veces expiración, siendo el inverso del logit.

Historia

Imagen original de una curva logística, contrastada con lo que Verhulst llamó "una curva logarítmica" (en términos modernos, "curva exponencial")

La función logística fue introducida en una serie de tres artículos por Pierre François Verhulst entre 1838 y 1847, quien la ideó como un modelo de crecimiento de la población ajustando el modelo de crecimiento exponencial, bajo la dirección de Adolphe Quetelet. Verhulst primero ideó la función a mediados de la década de 1830, publicó una breve nota en 1838, luego presentó un análisis ampliado y nombró la función en 1844 (publicada en 1845); el tercer artículo ajustó el término de corrección en su modelo de crecimiento de la población belga.

La etapa inicial de crecimiento es aproximadamente exponencial (geométrica); luego, cuando comienza la saturación, el crecimiento se vuelve lineal (aritmético), y en la madurez, el crecimiento se detiene. Verhulst no explicó la elección del término "logística" (Francés: logistique), pero presumiblemente contrasta con la curva logarítmica, y por analogía con la aritmética y la geometría. Su modelo de crecimiento está precedido por una discusión sobre el crecimiento aritmético y el crecimiento geométrico (cuya curva él llama curva logarítmica, en lugar del término moderno curva exponencial), y por lo tanto "crecimiento logístico" presumiblemente se nombra por analogía, logística siendo del griego antiguo: λογῐστῐκός, romanizado: logistikós, una división tradicional de las matemáticas griegas. El término no está relacionado con el término militar y de gestión logística, que en cambio proviene del francés: logis "alojamientos", aunque algunos creen que el término griego también influyó en la logística; ver Logística § Origen para más detalles.

Propiedades matemáticas

El función logística estándar es la función logística con parámetros $k=1$ , $x_{0}=0$ , $L=1$ , que rinde

{displaystyle f(x)={frac {1}{1+e^{-x}}}={frac {e^{x}}{e^{x}+1}}={frac {1}{2}}+{frac {1}{2}}tanh left({frac {x}{2}}right).}

En la práctica, debido a la naturaleza de la función exponencial $e^{-x}$ , a menudo es suficiente para calcular la función logística estándar para $x$ sobre una pequeña gama de números reales, como un rango contenido en [−6, +6], ya que rápidamente converge muy cerca de sus valores de saturación de 0 y 1.

La función logística tiene la propiedad de simetría que

{displaystyle 1-f(x)=f(-x).}

Así, $x mapsto f(x) - 1/2$ es una función extraña.

La función logística es una función tangente hiperbólica compensada y escalada:

{displaystyle f(x)={frac {1}{2}}+{frac {1}{2}}tanh left({frac {x}{2}}right),}

{displaystyle tanh(x)=2f(2x)-1.}

Esto se deduce de

{displaystyle {begin{aligned}tanh(x)&={frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={frac {e^{x}cdot left(1-e^{-2x}right)}{e^{x}cdot left(1+e^{-2x}right)}}\&=f(2x)-{frac {e^{-2x}}{1+e^{-2x}}}=f(2x)-{frac {e^{-2x}+1-1}{1+e^{-2x}}}=2f(2x)-1.end{aligned}}}

Derivado

La función logística estándar tiene una derivada fácil de calcular. La derivada se conoce como la densidad de la distribución logística:

{displaystyle f(x)={frac {1}{1+e^{-x}}}={frac {e^{x}}{1+e^{x}}},}

{displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}f(x)={frac {e^{x}cdot (1+e^{x})-e^{x}cdot e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}}={frac {e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}}=f(x){big (}1-f(x){big)}}

La distribución logística tiene media x₀ y varianza π²/3k

Integrales

Por el contrario, su antiderivado puede ser calculado por la sustitución ${displaystyle u=1+e^{x}}$ , desde ${displaystyle f(x)={frac {e^{x}}{1+e^{x}}}={frac {u'}{u}}}$ , por lo tanto (trayendo la constante de la integración)

{displaystyle int {frac {e^{x}}{1+e^{x}}},dx=int {frac {1}{u}},du=ln u=ln(1+e^{x}).}

En las redes neuronales artificiales, esto se conoce como la función softplus y (con escala) es una aproximación suave de la función de rampa, al igual que la función logística (con escala) es una aproximación suave de la función de paso de Heaviside.

Ecuación diferencial logística

La función logística estándar es la solución de la ecuación diferencial ordinaria no lineal simple de primer orden

{displaystyle {frac {d}{dx}}f(x)=f(x){big (}1-f(x){big)}}

con condición de límite ${displaystyle f(0)=1/2}$ . Esta ecuación es la versión continua del mapa logístico. Tenga en cuenta que la función logística recíproca es la solución a un orden simple lineal ecuación diferencial común.

El comportamiento cualitativo se entiende fácilmente en términos de la línea de fase: el derivado es 0 cuando la función es 1; y el derivado es positivo para $f$ entre 0 y 1, y negativo para $f$ arriba 1 o menos de 0 (aunque las poblaciones negativas generalmente no coinciden con un modelo físico). Esto produce un equilibrio inestable a 0 y un equilibrio estable a 1, y por lo tanto para cualquier valor de función superior a 0 y menos de 1, crece a 1.

La ecuación logística es un caso especial de la ecuación diferencial de Bernoulli y tiene la siguiente solución:

{displaystyle f(x)={frac {e^{x}}{e^{x}+C}}.}

Elegir la constante de integración $C=1$ da la otra forma bien conocida de la definición de la curva logística:

{displaystyle f(x)={frac {e^{x}}{e^{x}+1}}={frac {1}{1+e^{-x}}}.}

Más cuantitativamente, como se puede ver en la solución analítica, la curva logística muestra un crecimiento exponencial temprano para un argumento negativo, que alcanza un crecimiento lineal de pendiente 1/4 para un argumento cercano a 0, luego se aproxima a 1 con una brecha que decae exponencialmente.

La función logística es la inversa de la función logit natural

<math alttext="{displaystyle operatorname {logit} p=log {frac {p}{1-p}}{text{ for }}0<plogit⁡ ⁡ p=log⁡ ⁡ p1− − ppara0.p.1{displaystyle operatorname {logit} p=log {frac {p}{} {text{ for }0}0 Seccionó1}<img alt="{displaystyle operatorname {logit} p=log {frac {p}{1-p}}{text{ for }}0<p

y así convierte el logaritmo de probabilidades en una probabilidad. La conversión de la razón de verosimilitud logarítmica de dos alternativas también toma la forma de una curva logística.

La ecuación diferencial derivada arriba es un caso especial de una ecuación diferencial general que sólo modela la función sigmoide para $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">x■0{displaystyle x confianza0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80d24be5f0eb4a9173da6038badc8659546021d0" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.591ex; height:2.176ex;"/>$ . En muchas aplicaciones de modelado, más Forma general

{displaystyle {frac {df(x)}{dx}}={frac {k}{a}}f(x){big (}a-f(x){big)},quad f(0)={frac {a}{1+e^{kr}}}}

{displaystyle aS{big (}k(x-r){big)}}

La relación hiperbólica-tangente conduce a otra forma para la derivada de la función logística:

{displaystyle {frac {d}{dx}}f(x)={frac {1}{4}}operatorname {sech} ^{2}left({frac {x}{2}}right),}

que vincula la función logística con la distribución logística.

Simetría rotacional sobre (0, 1/2)

La suma de la función logística y su reflexión sobre el eje vertical, $f(-x)$ , es

{displaystyle {frac {1}{1+e^{-x}}}+{frac {1}{1+e^{-(-x)}}}={frac {e^{x}}{e^{x}+1}}+{frac {1}{e^{x}+1}}=1.}

La función logística es, por lo tanto, rotacionalmente simétrica con respecto al punto (0, 1/2).

Aplicaciones

Link creó una extensión de la teoría de Wald de análisis secuencial a una acumulación sin distribución de variables aleatorias hasta que un límite positivo o negativo sea primero igualado o superado. El vínculo deriva de la probabilidad de la primera igualación o superación del límite positivo como ${displaystyle 1/(1+e^{-theta A})}$ , la función logística. Esta es la primera prueba de que la función logística puede tener un proceso estocástico como base. Link proporciona un siglo de ejemplos de resultados experimentales "logísticos" y una relación recién derivada entre esta probabilidad y el tiempo de absorción en los límites.

En ecología: modelización del crecimiento demográfico

Pierre-François Verhulst (1804-1849)

Una aplicación típica de la ecuación logística es un modelo común de crecimiento de la población (ver también dinámica de la población), originalmente debido a Pierre-François Verhulst en 1838, donde la tasa de reproducción es proporcional tanto a la población existente como a la cantidad de recursos disponibles, todo lo demás en igualdad de condiciones. La ecuación de Verhulst se publicó después de que Verhulst leyera a Thomas Malthus & # 39; Un ensayo sobre el principio de la población, que describe el modelo de crecimiento malthusiano de crecimiento exponencial simple (sin restricciones). Verhulst derivó su ecuación logística para describir el crecimiento autolimitado de una población biológica. La ecuación fue redescubierta en 1911 por A. G. McKendrick para el crecimiento de bacterias en caldo y probada experimentalmente utilizando una técnica para la estimación de parámetros no lineales. La ecuación también se denomina a veces ecuación de Verhulst-Pearl tras su redescubrimiento en 1920 por Raymond Pearl (1879–1940) y Lowell Reed (1888–1966) de la Universidad Johns Hopkins. Otro científico, Alfred J. Lotka, derivó la ecuación nuevamente en 1925, llamándola la ley del crecimiento demográfico.

Letting $P$ representan el tamaño de la población ( $N$ se utiliza a menudo en la ecología en su lugar) y $t$ representar tiempo, este modelo se formaliza por la ecuación diferencial:

{displaystyle {frac {dP}{dt}}=rPleft(1-{frac {P}{K}}right),}

donde la constante $r$ define la tasa de crecimiento y $K$ es la capacidad de carga.

En la ecuación, la tasa de crecimiento temprana y sin trabas se modela por el primer término ${displaystyle +rP}$ . El valor de la tasa $r$ representa el aumento proporcional de la población $P$ en una unidad de tiempo. Más tarde, a medida que crece la población, el módulo del segundo término (que se multiplica es ${displaystyle -rP^{2}/K}$ ) se vuelve casi tan grande como el primero, como algunos miembros de la población $P$ interfieren entre sí compitiendo por algún recurso crítico, como la comida o el espacio habitable. Este efecto antagónico se llama cuello de botella, y se modela por el valor del parámetro $K$ . La competencia disminuye la tasa de crecimiento combinada, hasta que el valor $P$ deja de crecer (esto se llama madurez de la población). La solución a la ecuación (con $P_{0}$ ser la población inicial)

{displaystyle P(t)={frac {KP_{0}e^{rt}}{K+P_{0}left(e^{rt}-1right)}}={frac {K}{1+left({frac {K-P_{0}}{P_{0}}}right)e^{-rt}}},}

dónde

{displaystyle lim _{tto infty }P(t)=K,}

Donde $K$ es el valor límite de $P$ , el valor más alto que la población puede alcanzar dado tiempo infinito (o acercarse a alcanzar en tiempo finito). Es importante subrayar que la capacidad de carga es asintomáticamente alcanzada independientemente del valor inicial $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">P()0)■0{displaystyle P(0)}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d824ba20e79bb8ac0e3cebbdfa8d4d1db51782bc" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.978ex; height:2.843ex;"/>$ , y también en el caso de que $K}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">P()0)■K{displaystyle P(0) K}K}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9694384d3de148471e5089b73e2bec579c9fff4d" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.882ex; height:2.843ex;"/>$ .

En la ecología, las especies se denominan a veces $r$ - estratega o $K$ - estratega dependiendo de los procesos selectivos que han moldeado sus estrategias de historia de la vida. Elegir las dimensiones variables para que $n$ la población en unidades de capacidad de carga, y $tau$ tiempo en unidades de $1/r$ , da la ecuación diferencial sin dimensión

{displaystyle {frac {dn}{dtau }}=n(1-n).}

Integrales

El antiderivativo de la forma ecológica de la función logística puede ser calculado por la sustitución ${displaystyle u=K+P_{0}left(e^{rt}-1right)}$ , desde ${displaystyle du=rP_{0}e^{rt}dt}$

{displaystyle int {frac {KP_{0}e^{rt}}{K+P_{0}left(e^{rt}-1right)}},dt=int {frac {K}{r}}{frac {1}{u}},du={frac {K}{r}}ln u+C={frac {K}{r}}ln left(K+P_{0}(e^{rt}-1)right)+C}

Capacidad de carga variable en el tiempo

Dado que las condiciones ambientales influyen en la capacidad de carga, por lo tanto puede ser de tiempo, con $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">K()t)■0{displaystyle K(t)}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe015064b95d3cfc242af06acce80135900ed49c" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.976ex; height:2.843ex;"/>$ , que conduce al siguiente modelo matemático:

{displaystyle {frac {dP}{dt}}=rPcdot left(1-{frac {P}{K(t)}}right).}

Un caso particularmente importante es el de la capacidad de carga que varía periódicamente con el período $T$ :

{displaystyle K(t+T)=K(t).}

Se puede demostrar que en tal caso, independientemente del valor inicial $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">P()0)■0{displaystyle P(0)}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d824ba20e79bb8ac0e3cebbdfa8d4d1db51782bc" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.978ex; height:2.843ex;"/>$ , $P(t)$ tendra a una solución periódica única ${displaystyle P_{*}(t)}$ , cuyo período es $T$ .

Un valor típico $T$ es un año: En tal caso $K(t)$ puede reflejar variaciones periódicas de las condiciones meteorológicas.

Otra generalización interesante es considerar que la capacidad de carga $K(t)$ es una función de la población en un momento anterior, capturando un retraso en la forma en que la población modifica su entorno. Esto conduce a una ecuación de demora logística, que tiene un comportamiento muy rico, con bistabilidad en algún rango de parámetro, así como una desintegración monotónica a cero, crecimiento exponencial liso, crecimiento ilimitado puntuado (es decir, múltiples formas S), crecimiento puntuado o alternancia a un nivel estacionario, enfoque oscilatorio a un nivel estacionario, oscilaciones sostenibles, singularidades de tiempo finito como también.

En estadísticas y aprendizaje automático

Las funciones logísticas se utilizan en varios roles en las estadísticas. Por ejemplo, son la función de distribución acumulativa de la familia logística de distribuciones y, de forma un poco simplificada, se utilizan para modelar la posibilidad que tiene un jugador de ajedrez de vencer a su oponente en el sistema de clasificación Elo. Ahora siguen ejemplos más específicos.

Regresión logística

Las funciones logísticas se utilizan en la regresión logística para modelar cómo la probabilidad $p$ de un evento puede verse afectado por una o más variables explicativas: un ejemplo sería tener el modelo

{displaystyle p=f(a+bx),}

Donde $x$ es la variable explicativa, $a$ y $b$ son parámetros modelo para ser instalados, y $f$ es la función logística estándar.

La regresión logística y otros modelos logarítmicos lineales también se usan comúnmente en el aprendizaje automático. Una generalización de la función logística a múltiples entradas es la función de activación softmax, utilizada en la regresión logística multinomial.

Otra aplicación de la función logística se encuentra en el modelo de Rasch, utilizado en la teoría de respuesta al ítem. En particular, el modelo de Rasch forma una base para la estimación de máxima verosimilitud de las ubicaciones de objetos o personas en un continuo, con base en colecciones de datos categóricos, por ejemplo, las habilidades de las personas en un continuo con base en respuestas que han sido categorizadas como correctas y correctas. incorrecto.

Redes neuronales

Las funciones logísticas se utilizan a menudo en las redes neuronales para introducir la no linealidad en el modelo o para fijar las señales dentro de un intervalo específico. Un elemento de red neuronal popular calcula una combinación lineal de sus señales de entrada y aplica una función logística limitada como función de activación al resultado; este modelo se puede ver como un "suavizado" variante de la neurona umbral clásica.

Una opción común para la activación o "squashing" funciones, utilizadas para recortar grandes magnitudes para mantener la respuesta de la red neuronal limitada es

{displaystyle g(h)={frac {1}{1+e^{-2beta h}}},}

que es una función logística.

Estas relaciones dan como resultado implementaciones simplificadas de redes neuronales artificiales con neuronas artificiales. Los profesionales advierten que las funciones sigmoidales que son antisimétricas con respecto al origen (por ejemplo, la tangente hiperbólica) conducen a una convergencia más rápida cuando se entrenan redes con retropropagación.

La función logística es en sí misma la derivada de otra función de activación propuesta, el softplus.

En medicina: modelización del crecimiento de tumores

Otra aplicación de la curva logística está en la medicina, donde la ecuación diferencial logística se utiliza para modelar el crecimiento de los tumores. Esta aplicación puede considerarse una extensión del uso mencionado anteriormente en el marco de la ecología (ver también la curva logística generalizada, permitiendo más parámetros). Denotar con $X(t)$ el tamaño del tumor a la vez $t$ , sus dinámicas se rigen por

{displaystyle X'=rleft(1-{frac {X}{K}}right)X,}

que es del tipo

{displaystyle X'=F(X)X,quad F'(X)leq 0,}

Donde $F(X)$ es la tasa de proliferación del tumor.

Si se inicia una quimioterapia con un efecto log-kill, la ecuación puede revisarse para ser

{displaystyle X'=rleft(1-{frac {X}{K}}right)X-c(t)X,}

Donde $c(t)$ es la tasa de mortalidad inducida por terapia. En el caso idealizado de terapia muy larga, $c(t)$ puede ser modelado como una función periódica (de período $T$ ) o (en caso de terapia de infusión continua) como una función constante, y uno tiene que

rto lim _{tto +infty }x(t)=0,}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">1T∫ ∫ 0Tc()t)dt■r→ → limt→ → +JUEGO JUEGO x()t)=0,{displaystyle {frac {1}{0}{0} {T}c(t),dt confianzarto lim _{tto +infty }x(t)=0,}rto lim _{tto +infty }x(t)=0,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af9179f4182504b3486413c7bb1f53ad343b314a" style="vertical-align: -2.338ex; width:35.392ex; height:6.176ex;"/>

es decir si la tasa de mortalidad promedio inducida por la terapia es mayor que la tasa de proliferación de referencia, entonces existe la erradicación de la enfermedad. Por supuesto, este es un modelo demasiado simplificado tanto del crecimiento como de la terapia (por ejemplo, no tiene en cuenta el fenómeno de la resistencia clonal).

En medicina: modelado de una pandemia

Un nuevo patógeno infeccioso al que una población no tiene inmunidad generalmente se propagará exponencialmente en las primeras etapas, mientras que el suministro de individuos susceptibles es abundante. El virus SARS-CoV-2 que causa el COVID-19 exhibió un crecimiento exponencial temprano en el curso de la infección en varios países a principios de 2020. Factores que incluyen la falta de huéspedes susceptibles (a través de la propagación continua de la infección hasta que supera el umbral de inmunidad colectiva)) o la reducción en la accesibilidad de huéspedes potenciales a través de medidas de distanciamiento físico, puede resultar en curvas epidémicas de aspecto exponencial que primero se linealizan (replicando la transición "logarítmica" a "logística" observada por primera vez por Pierre- François Verhulst, como se señaló anteriormente) y luego alcanzar un límite máximo.

Una función logística, o funciones relacionadas (p. ej., la función de Gompertz) se usan generalmente de manera descriptiva o fenomenológica porque se ajustan bien no solo al aumento exponencial inicial, sino también a la nivelación final de la pandemia a medida que se desarrolla la población. una inmunidad de rebaño. Esto contrasta con los modelos reales de pandemias que intentan formular una descripción basada en la dinámica de la pandemia (por ejemplo, tasas de contacto, tiempos de incubación, distanciamiento social, etc.). Sin embargo, se han desarrollado algunos modelos simples que arrojan una solución logística.

Modelado de casos tempranos de COVID-19

Función logística generalizada (curva de crecimiento de Richards) en modelado epidemiológico

Se aplicó una función logística generalizada, también llamada curva de crecimiento de Richards, para modelar la fase inicial del brote de COVID-19. Los autores ajustan la función logística generalizada al número acumulado de casos infectados, aquí denominado trayectoria de infección. Existen diferentes parametrizaciones de la función logística generalizada en la literatura. Una forma de uso frecuente es

{displaystyle f(t;theta _{1},theta _{2},theta _{3},xi)={frac {theta _{1}}{[1+xi exp(-theta _{2}cdot (t-theta _{3}))]^{1/xi }}}}

Donde ${displaystyle theta _{1},theta _{2},theta _{3}}$ son números reales, y $xi$ es un número real positivo. La flexibilidad de la curva $f$ se debe al parámetro $xi$ i) si ${displaystyle xi =1}$ entonces la curva se reduce a la función logística, y (ii) como $xi$ enfoques cero, la curva converge a la función Gompertz. En la modelación epidemiológica, $theta _{1}$ , $theta _{2}$ , y ${displaystyle theta _{3}}$ representan el tamaño final de la epidemia, la tasa de infección y la fase de lag, respectivamente. Vea el panel derecho para un ejemplo de trayectoria de infección cuando ${displaystyle (theta _{1},theta _{2},theta _{3})}$ se establece ${displaystyle (10000,0.2,40)}$ .

Trayectorias de infección extrapoladas de 40 países gravemente afectados por COVID-19 y grandes (población) promedio hasta el 14 de mayo

Uno de los beneficios de usar una función de crecimiento como la función logística generalizada en el modelado epidemiológico es su aplicación relativamente fácil al marco del modelo multinivel, donde la información de diferentes regiones geográficas se puede agrupar.

En química: modelos de reacción

La concentración de reactivos y productos en reacciones autocatalíticas sigue la función logística. La degradación del catalizador de la reacción de reducción de oxígeno (ORR) libre de metales del grupo platino (sin PGM) en los cátodos de las celdas de combustible sigue la función de descomposición logística, lo que sugiere un mecanismo de degradación autocatalítica.

En física: distribución de Fermi-Dirac

La función logística determina la distribución estadística de fermiones sobre los estados de energía de un sistema en equilibrio térmico. En particular, es la distribución de probabilidades de que cada posible nivel de energía esté ocupado por un fermión, según la estadística de Fermi-Dirac.

En ciencia de materiales: diagramas de fase

Consulte Unión por difusión.

En lingüística: cambio de lengua

En lingüística, la función logística se puede utilizar para modelar el cambio lingüístico: una innovación que al principio es marginal comienza a extenderse más rápidamente con el tiempo y luego más lentamente a medida que se adopta de forma más universal.

En agricultura: modelización de la respuesta de los cultivos

La curva S logística se puede utilizar para modelar la respuesta del cultivo a los cambios en los factores de crecimiento. Hay dos tipos de funciones de respuesta: curvas de crecimiento positivas y negativas. Por ejemplo, el rendimiento del cultivo puede aumentar al aumentar el valor del factor de crecimiento hasta cierto nivel (función positiva), o puede disminuir al aumentar los valores del factor de crecimiento (función negativa). debido a un factor de crecimiento negativo), cuya situación requiere una curva S invertida.

Modelo S-curve para rendimiento de cultivos versus profundidad de la tabla de agua.

Modelo S-curve invertido para rendimiento de cultivos versus salinidad del suelo.

En economía y sociología: difusión de innovaciones

La función logística se puede utilizar para ilustrar el progreso de la difusión de una innovación a lo largo de su ciclo de vida.

In The Laws of Imitation (1890), Gabriel Tarde describe el surgimiento y difusión de nuevas ideas a través de cadenas imitativas. En particular, Tarde identifica tres etapas principales a través de las cuales se propagan las innovaciones: la primera corresponde a los difíciles comienzos, durante los cuales la idea tiene que luchar dentro de un ambiente hostil lleno de hábitos opositores y creencias; la segunda corresponde al despegue adecuadamente exponencial de la idea, con ${displaystyle f(x)=2^{x}}$ ; finalmente, la tercera etapa es logarítmica, con ${displaystyle f(x)=log(x)}$ , y corresponde al tiempo cuando el impulso de la idea se desacelera gradualmente mientras, simultáneamente aparecen nuevas ideas opositoras. La situación posterior detiene o estabiliza el progreso de la innovación, que se acerca a un asinto.

En un estado soberano, las unidades subnacionales (estados constituyentes o ciudades) pueden utilizar préstamos para financiar sus proyectos. Sin embargo, esta fuente de financiamiento suele estar sujeta a estrictas normas legales así como a restricciones de escasez de la economía, especialmente los recursos que los bancos pueden prestar (debido a sus límites de capital o de Basilea). Estas restricciones, que representan un nivel de saturación, junto con una carrera exponencial en una competencia económica por el dinero, crean una difusión de solicitudes de crédito de las finanzas públicas y la respuesta nacional agregada es una curva sigmoidea.

En la historia de la economía, cuando se introducen nuevos productos hay una gran cantidad de investigación y desarrollo que conduce a mejoras dramáticas en la calidad y reducciones en los costos. Esto conduce a un período de rápido crecimiento de la industria. Algunos de los ejemplos más famosos son: ferrocarriles, bombillas incandescentes, electrificación, automóviles y viajes aéreos. Eventualmente, se agotan las oportunidades de mejora dramática y reducción de costos, el producto o proceso es de uso generalizado con pocos clientes nuevos potenciales restantes y los mercados se saturan.

El análisis logístico se utilizó en artículos de varios investigadores del Instituto Internacional de Análisis de Sistemas Aplicados (IIASA). Estos artículos tratan sobre la difusión de diversas innovaciones, infraestructuras y sustituciones de fuentes de energía y el papel del trabajo en la economía, así como sobre el largo ciclo económico. Los ciclos económicos largos fueron investigados por Robert Ayres (1989). Cesare Marchetti publicó sobre largos ciclos económicos y sobre la difusión de innovaciones. El libro de Arnulf Grübler (1990) brinda una descripción detallada de la difusión de infraestructuras, incluidos canales, ferrocarriles, carreteras y líneas aéreas, y muestra que su difusión siguió curvas de forma logística.

Carlota Pérez usó una curva logística para ilustrar el largo ciclo económico (Kondratiev) con las siguientes etiquetas: comienzo de una era tecnológica como irrupción, el ascenso como frenesí, la construcción rápida como sinergia y la finalización como madurez.

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