Función logarítmicamente cóncava

En análisis convexo, una función no negativa f: Rⁿ → R₊ es logarítmicamente cóncavo (o log-cóncavo para abreviar) si es dominio es un conjunto convexo, y si satisface la desigualdad

f()Silencio Silencio x+()1− − Silencio Silencio )Sí.)≥ ≥ f()x)Silencio Silencio f()Sí.)1− − Silencio Silencio {displaystyle f(theta x+(1-theta)y)geq f(x)^{theta }f(y)^{1-theta }

para todos los x,y ∈ dom f y 0 < θ < 1. Si f es estrictamente positivo, esto equivale a decir que el logaritmo de la función, log ∘ f, es cóncava; eso es,

log⁡ ⁡ f()Silencio Silencio x+()1− − Silencio Silencio )Sí.)≥ ≥ Silencio Silencio log⁡ ⁡ f()x)+()1− − Silencio Silencio )log⁡ ⁡ f()Sí.){displaystyle log f(theta x+(1-theta)y)geq theta log f(x)+(1-theta)log f(y)}

para todos los x,y ∈ dom f y 0 < θ < 1.

Ejemplos de funciones log-cóncavas son las funciones indicadoras 0-1 de conjuntos convexos (que requieren una definición más flexible) y la función gaussiana.

Del mismo modo, una función es log-convex si satisface la desigualdad inversa

f()Silencio Silencio x+()1− − Silencio Silencio )Sí.)≤ ≤ f()x)Silencio Silencio f()Sí.)1− − Silencio Silencio {displaystyle f(theta x+(1-theta)y)leq f(x)^{theta }f(y)^{1-theta }

para todos los x,y ∈ dom f y 0 < θ < 1.

Propiedades

• Una función log-concave también es quasi-concave. Esto se debe al hecho de que el logaritmo es monotono que implica que los conjuntos de supernivel de esta función son convexos.
• Cada función de concave que no es negativa en su dominio es log-concave. Sin embargo, el reverso no necesariamente sostiene. Un ejemplo es la función gaissa f()x) = exp(x²/2) que es la cámara de registro desde log f()x) = −x²/2 es una función cóncava de x. Pero... f no es cóncavo ya que el segundo derivado es positivo paraxSilencio

f.()x)=e− − x22()x2− − 1)≰ ≰ 0{displaystyle f''(x)=e^{-{frac {x^{2}{2}}(x^{2}-1)nleq 0}

• De arriba dos puntos, concavidad ⇒ ⇒ {displaystyle "Rightarrow" log-concavity ⇒ ⇒ {displaystyle "Rightarrow" quasiconcavity.
• Una función dos veces diferente, no negativa con un dominio convex es log-concave si y sólo si para todos x satisfacción f()x) 0,

f()x)Silencio Silencio 2f()x)⪯ ⪯ Silencio Silencio f()x)Silencio Silencio f()x)T{displaystyle f(x)nabla ^{2}f(x)preceq nabla f(x)nabla f(x)^{T},

i.e.

f()x)Silencio Silencio 2f()x)− − Silencio Silencio f()x)Silencio Silencio f()x)T{displaystyle f(x)nabla ^{2}f(x)-nabla f(x)nabla f(x)^{T} es

semi-definido negativo. Para funciones de una variable, esta condición simplifica

f()x)f.()x)≤ ≤ ()f.()x))2{displaystyle f(x)f'(x)leq (f'(x)}{2}

Operaciones que preservan la concavidad logarítmica

• Productos: El producto de las funciones log-concave también es log-concave. De hecho, si f y g son funciones log-concave, entonces log f y log g son concavados por definición. Por lo tanto

logf()x)+logg()x)=log⁡ ⁡ ()f()x)g()x)){displaystyle log ,f(x)+log ,g(x)=log(f(x)g(x)}

es cóncavo, y por lo tanto también f g Es la cámara de registro.

• Marginales: si f()x,Sí.): R^n+m → R es log-concave, entonces

g()x)=∫ ∫ f()x,Sí.)dSí.{displaystyle g(x)=int f(x,y)dy}

es log-concave (ver desigualdad Prékopa-Leindler).

• Esto implica que la convolución preserva la concavidad log, ya que h()x,Sí.) = f()x-Sí.) g()Sí.) es log-concave si f y g son log-concave, y por lo tanto

()fAlternativa Alternativa g)()x)=∫ ∫ f()x− − Sí.)g()Sí.)dSí.=∫ ∫ h()x,Sí.)dSí.{displaystyle (f*g)(x)=int f(x-y)g(y)dy=int h(x,y)dy}

Es la cámara de registro.

Distribuciones log-cóncavas

Las distribuciones Log-concave son necesarias para varios algoritmos, por ejemplo, muestreo de rechazo adaptativo. Cada distribución con densidad log-concave es una distribución máxima de probabilidad de entropía con media especificada μ and Deviation risk measure D. Como sucede, muchas distribuciones de probabilidad comunes son log-concave. Algunos ejemplos:

• La distribución normal y las distribuciones normales multivariadas.
• La distribución exponencial.
• La distribución uniforme sobre cualquier conjunto convexo.
• La distribución logística.
• La distribución del valor extremo.
• La distribución de Laplace.
• La distribución chi.
• La distribución del secant hiperbólico.
• La distribución de Wishart, donde n >= p + 1.
• La distribución Dirichlet, donde todos los parámetros son 1.
• La distribución gamma si el parámetro de forma es √= 1.
• La distribución del chi-cuadrón si el número de grados de libertad es >= 2.
• La distribución beta si ambos parámetros de forma son 1.
• La distribución Weibull si el parámetro de forma es √= 1.

Tenga en cuenta que todas las restricciones del parámetro tienen la misma fuente básica: El exponente de la cantidad no negativa debe ser no negativo para que la función sea log-concave.

Las siguientes distribuciones son no-log-concave para todos los parámetros:

• La t-distribución del Estudiante.
• La distribución Cauchy.
• La distribución de Pareto.
• La distribución log-normal.
• La F-distribución.

Tenga en cuenta que la función de distribución acumulativa (CDF) de todas las distribuciones log-cóncavas también es log-cóncava. Sin embargo, algunas distribuciones no log-cóncavas también tienen CDF log-cóncavas:

• La distribución log-normal.
• La distribución de Pareto.
• La distribución de Weibull cuando el parámetro de la forma
• La distribución de gamma cuando el parámetro de la forma

Las siguientes son algunas de las propiedades de las distribuciones log-cóncavas:

• Si una densidad es concave log, así es su función de distribución acumulativa (CDF).
• Si una densidad multivariada es concave log, así es la densidad marginal sobre cualquier subconjunto de variables.
• La suma de dos variables aleatorias independientes de log-concave es log-concave. Esto se debe al hecho de que la convolución de dos funciones de log-concave es log-concave.
• El producto de dos funciones log-concave es log-concave. Esto significa que las densidades articulares se forman multiplicando dos densidades de probabilidad (por ejemplo, la distribución normal-gamma, que siempre tiene un parámetro de forma 1) se registrará. Esta propiedad es muy utilizada en los programas de muestreo para uso general de Gibbs, como BUGS y JAGS, que son capaces de utilizar el muestreo de rechazo adaptativo sobre una amplia variedad de distribuciones condicionales derivadas del producto de otras distribuciones.
• Si una densidad es concave log, así es su función de supervivencia.
• Si una densidad es concave log, tiene una tasa de peligro monotone (MHR), y es una distribución regular ya que el derivado del logaritmo de la función de supervivencia es la tasa de peligro negativo, y por concavidad es monotone i.e.

ddxlog⁡ ⁡ ()1− − F()x))=− − f()x)1− − F()x){displaystyle {frac {d}log left(1-F(x)right)=-{frac {f(x)}{1-F(x)}}} que está disminuyendo ya que es el derivado de una función concave.