Función elíptica de Weierstrass

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Clase de funciones matemáticas

En matemáticas, las funciones elípticas de Weierstrass son funciones elípticas que adoptan una forma particularmente simple. Llevan el nombre de Karl Weierstrass. Esta clase de funciones también se conoce como ℘-funciones y normalmente se indican con el símbolo ℘, una escritura singularmente elegante p. Desempeñan un papel importante en la teoría de funciones elípticas. Una función ℘ junto con su derivada se puede utilizar para parametrizar curvas elípticas y generan el campo de funciones elípticas con respecto a una red de período determinada.

Símbolo para Weierstrass $wp$ - Función

Definición

Vamos ${displaystyle omega _{1},omega _{2}in mathbb {C} }$ ser dos números complejos que son linealmente independientes sobre $mathbb {R}$ y dejar ${displaystyle Lambda:=mathbb {Z} omega _{1}+mathbb {Z} omega _{2}:={momega _{1}+nomega _{2}:m,nin mathbb {Z} }}$ ser la celosía generada por esos números. Entonces el $wp$ - La función se define como sigue:

{displaystyle wp (z,omega _{1},omega _{2}):=wp (z,Lambda):={frac {1}{z^{2}}}+sum _{lambda in Lambda setminus {0}}left({frac {1}{(z-lambda)^{2}}}-{frac {1}{lambda ^{2}}}right).}

Esta serie converge localmente uniformemente absolutamente en ${displaystyle mathbb {C} setminus Lambda }$ . A menudo en lugar de ${displaystyle wp (z,omega _{1},omega _{2})}$ sólo $wp (z)$ está escrito.

La Weierstrass $wp$ - la función se construye exactamente de tal manera que tiene un polo del orden dos en cada punto de celo.

Porque la suma ${textstyle sum _{lambda in Lambda }{frac {1}{(z-lambda)^{2}}}}$ por sí solo no convergería es necesario añadir el término ${textstyle -{frac {1}{lambda ^{2}}}}$ .

Es común usar $1$ y $tau$ en el medio plano superior $0}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">H:={}z▪ ▪ C:Im⁡ ⁡ ()z)■0}{displaystyle {H}:={zin mathbb {C}:operatorname {Im} (z) título0}0}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6149e3d83106a85623e71d5130a7df67aa014a16" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.612ex; height:2.843ex;"/>$ como generadores de la celosía. Dividiendo por ${textstyle omega _{1}}$ mapas de la celosa ${displaystyle mathbb {Z} omega _{1}+mathbb {Z} omega _{2}}$ isomorfamente sobre la celosa ${displaystyle mathbb {Z} +mathbb {Z} tau }$ con ${textstyle tau ={tfrac {omega _{2}}{omega _{1}}}}$ . Porque... $-tau$ puede sustituirse $tau$ , sin pérdida de generalidad podemos asumir ${displaystyle tau in mathbb {H} }$ , y luego definir ${displaystyle wp (z,tau):=wp (z,1,tau)}$ .

Motivación

Un cúbico de la forma ${displaystyle C_{g_{2},g_{3}}^{mathbb {C} }={(x,y)in mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}}}$ , donde ${displaystyle g_{2},g_{3}in mathbb {C} }$ son números complejos con ${displaystyle g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}neq 0}$ , no se puede parameter racionalmente. Sin embargo, uno todavía quiere encontrar una manera de parametrizarlo.

Para el quadric ${displaystyle K=left{(x,y)in mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=1right}}$ , el círculo de unidad, existe una parametrización (no-racional) usando la función sine y su derivativo la función cosina:

{displaystyle psi:mathbb {R} /2pi mathbb {Z} to K,quad tmapsto (sin t,cos t).}

Debido a la periodicidad del seno y el cosino ${displaystyle mathbb {R} /2pi mathbb {Z} }$ es elegido para ser el dominio, por lo que la función es bijetivo.

De una manera similar se puede conseguir una parametrización ${displaystyle C_{g_{2},g_{3}}^{mathbb {C} }}$ por medio de la doble periodicidad $wp$ - Función (ver en la sección "Relación a curvas elípticas"). Esta parametrización tiene el dominio ${displaystyle mathbb {C} /Lambda }$ , que es topológicamente equivalente a un torus.

Existe otra analogía con las funciones trigonométricas. Considere la función integral

{displaystyle a(x)=int _{0}^{x}{frac {dy}{sqrt {1-y^{2}}}}.}

Puede ser simplificado sustituyendo ${displaystyle y=sin t}$ y ${displaystyle s=arcsin x}$ :

{displaystyle a(x)=int _{0}^{s}dt=s=arcsin x.}

Eso significa ${displaystyle a^{-1}(x)=sin x}$ . Así que la función sine es una función inversa de una función integral.

Las funciones elípticas también son funciones inversas de funciones integrales, a saber, de integrales elípticos. En particular, $wp$ - La función se obtiene de la siguiente manera:

Dejar

{displaystyle u(z)=-int _{z}^{infty }{frac {ds}{sqrt {4s^{3}-g_{2}s-g_{3}}}}.}

Entonces... ${displaystyle u^{-1}}$ se puede extender al plano complejo y esta extensión iguala el $wp$ - Función.

Propiedades

$wp$ es una función uniforme. Eso significa ${displaystyle wp (z)=wp (-z)}$ para todos ${displaystyle zin mathbb {C} setminus Lambda }$ , que se puede ver de la siguiente manera: ${displaystyle {begin{aligned}wp (-z)&={frac {1}{(-z)^{2}}}+sum _{lambda in Lambda setminus {0}}left({frac {1}{(-z-lambda)^{2}}}-{frac {1}{lambda ^{2}}}right)\[4pt]&={frac {1}{z^{2}}}+sum _{lambda in Lambda setminus {0}}left({frac {1}{(z+lambda)^{2}}}-{frac {1}{lambda ^{2}}}right)\[4pt]&={frac {1}{z^{2}}}+sum _{lambda in Lambda setminus {0}}left({frac {1}{(z-lambda)^{2}}}-{frac {1}{lambda ^{2}}}right)=wp (z).end{aligned}}}$ La segunda última igualdad es porque ${displaystyle {-lambda:lambda in Lambda }=Lambda }$ . Puesto que la suma converge absolutamente este reordenamiento no cambia el límite.
$wp$ es meromorfo y su derivado es ${displaystyle wp '(z)=-2sum _{lambda in Lambda }{frac {1}{(z-lambda)^{3}}}.}$
$wp$ y $wp '$ son doblemente periódicos con los períodos ${displaystyle omega _{1}}$ y $omega _{2}$ . Esto significa: ${displaystyle {begin{aligned}wp (z+omega _{1})&=wp (z)=wp (z+omega _{2}), {textrm {and}}\[3mu]wp '(z+omega _{1})&=wp '(z)=wp '(z+omega _{2}).end{aligned}}}$

De ello se desprende que ${displaystyle wp (z+lambda)=wp (z)}$ y ${displaystyle wp '(z+lambda)=wp '(z)}$ para todos $lambda in Lambda$ . Las funciones meromórficas y doblemente periódicas también se denominan funciones elípticas.

Expansión Laurent

Vamos ${displaystyle r:=min{{|lambda }|:0neq lambda in Lambda }}$ . Entonces... $<math alttext="{displaystyle 0<|z|0.SilenciozSilencio.r{displaystyle 0 Seguido <img alt="{displaystyle 0<|z|$ el $wp$ - Función tiene la siguiente expansión Laurent

{displaystyle wp (z)={frac {1}{z^{2}}}+sum _{n=1}^{infty }(2n+1)G_{2n+2}z^{2n}}

{displaystyle G_{n}=sum _{0neq lambda in Lambda }lambda ^{-n}}

ngeq 3

Ecuación diferencial

Set ${displaystyle g_{2}=60G_{4}}$ y ${displaystyle g_{3}=140G_{6}}$ . Entonces el $wp$ - Función satisface la ecuación diferencial

{displaystyle wp '^{2}(z)=4wp ^{3}(z)-g_{2}wp (z)-g_{3}.}

Esta relación puede verificarse formando una combinación lineal de poderes $wp$ y $wp '$ para eliminar el poste en $z=0$ . Esto produce toda una función elíptica que tiene que ser constante por el teorema de Liouville.

Invariantes

Los coeficientes de la ecuación diferencial anterior g₂ y g₃ son conocidos como invariantes. Porque dependen de la ropa $Lambda$ pueden ser vistos como funciones en $omega _{1}$ y $omega _{2}$ .

La expansión en serie sugiere que g₂ y g₃ son funciones homogéneas de grado −4 y − 6. Eso es

{displaystyle g_{2}(lambda omega _{1},lambda omega _{2})=lambda ^{-4}g_{2}(omega _{1},omega _{2})}

{displaystyle g_{3}(lambda omega _{1},lambda omega _{2})=lambda ^{-6}g_{3}(omega _{1},omega _{2})}

lambda neq 0

Si $omega _{1}$ y $omega _{2}$ son elegidos de tal manera que $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Im⁡ ⁡ ()⋅ ⋅ 2⋅ ⋅ 1)■0{displaystyle operatorname {Im} left({tfrac {omega ###{2}{omega ¿Qué?0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa71861f0e7a97ee4da4631dbc70d6201201407b" style="vertical-align: -1.838ex; width:12.502ex; height:4.843ex;"/>$ , g₂ y g₃ puede interpretarse como funciones en el medio plano superior $0}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">H:={}z▪ ▪ C:Im⁡ ⁡ ()z)■0}{displaystyle mathbb {H}:={zin mathbb {C}:operatorname {Im} (z) título0}0}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c57a494beaf8b794ea4125129a756ec64b8c6363" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.356ex; height:2.843ex;"/>$ .

Vamos ${displaystyle tau ={tfrac {omega _{2}}{omega _{1}}}}$ . Uno tiene:

{displaystyle g_{2}(1,tau)=omega _{1}^{4}g_{2}(omega _{1},omega _{2}),}

{displaystyle g_{3}(1,tau)=omega _{1}^{6}g_{3}(omega _{1},omega _{2}).}

g₂g₃

{displaystyle g_{2}(tau):=g_{2}(1,tau)}

{displaystyle g_{3}(tau):=g_{3}(1,tau).}

Como funciones ${displaystyle tau in mathbb {H} }$ ${displaystyle g_{2},g_{3}}$ se llaman formas modulares.

La serie Fourier para $g_{2}$ y $g_{3}$ se dan como sigue:

{displaystyle g_{2}(tau)={frac {4}{3}}pi ^{4}left[1+240sum _{k=1}^{infty }sigma _{3}(k)q^{2k}right]}

{displaystyle g_{3}(tau)={frac {8}{27}}pi ^{6}left[1-504sum _{k=1}^{infty }sigma _{5}(k)q^{2k}right]}

{displaystyle sigma _{a}(k):=sum _{dmid {k}}d^{alpha }}

q=e^{{pi itau }}

Discriminante modular

El discriminante modular Δ se define como el discriminante del polinomio en el lado derecho de la ecuación diferencial anterior:

{displaystyle Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}.}

El discriminante es una forma modular de peso 12. Es decir, bajo la acción del grupo modular, se transforma como

{displaystyle Delta left({frac {atau +b}{ctau +d}}right)=left(ctau +dright)^{12}Delta (tau)}

{displaystyle a,b,d,cin mathbb {Z} }

adbc

Note que $Delta =(2pi)^{{12}}eta ^{{24}}$ Donde $eta$ es la función Dedekind eta.

Para los coeficientes Fourier de $Delta$ , vea Ramanujan tau función.

Las constantes e1, e2 y e3

$e_{1}$ , $e_{2}$ y $e_{3}$ se utilizan generalmente para denotar los valores de los $wp$ - Función en medio período.

{displaystyle e_{1}equiv wp left({frac {omega _{1}}{2}}right)}

{displaystyle e_{2}equiv wp left({frac {omega _{2}}{2}}right)}

{displaystyle e_{3}equiv wp left({frac {omega _{1}+omega _{2}}{2}}right)}

Son dos veces diferentes y sólo dependen de la celosía $Lambda$ y no en sus generadores.

$e_{1}$ , $e_{2}$ y $e_{3}$ son las raíces del polinomio cúbico ${displaystyle 4wp (z)^{3}-g_{2}wp (z)-g_{3}}$ y están relacionados por la ecuación:

{displaystyle e_{1}+e_{2}+e_{3}=0.}

Porque esas raíces son distintas. $Delta$ no desaparece en el medio plano superior. Ahora podemos reescribir la ecuación diferencial:

{displaystyle wp '^{2}(z)=4(wp (z)-e_{1})(wp (z)-e_{2})(wp (z)-e_{3}).}

Eso significa que los medio-períodos son ceros de $wp '$ .

Los invariantes $g_{2}$ y $g_{3}$ se puede expresar en términos de estas constantes de la siguiente manera:

{displaystyle g_{2}=-4(e_{1}e_{2}+e_{1}e_{3}+e_{2}e_{3})}

{displaystyle g_{3}=4e_{1}e_{2}e_{3}}

$e_{1}$ , $e_{2}$ y $e_{3}$ están relacionados con la función modular de lambda:

{displaystyle lambda (tau)={frac {e_{3}-e_{2}}{e_{1}-e_{2}}},quad tau ={frac {omega _{2}}{omega _{1}}}.}

Did you mean:

Relation to Jacobi 's elliptic functions

Did you mean:

For numerical work, it is often convenient to calculate the Weierstrass elliptic function in terms of Jacob 's elliptic functions.

Las relaciones básicas son:

{displaystyle wp (z)=e_{3}+{frac {e_{1}-e_{3}}{operatorname {sn} ^{2}w}}=e_{2}+(e_{1}-e_{3}){frac {operatorname {dn} ^{2}w}{operatorname {sn} ^{2}w}}=e_{1}+(e_{1}-e_{3}){frac {operatorname {cn} ^{2}w}{operatorname {sn} ^{2}w}}}

e_1,e_2

e_{3}

{displaystyle k={sqrt {frac {e_{2}-e_{3}}{e_{1}-e_{3}}}}}

{displaystyle w=z{sqrt {e_{1}-e_{3}}}.}

Did you mean:

Relation to Jacob 's theta functions

La función ${displaystyle wp (z,tau)=wp (z,1,omega _{2}/omega _{1})}$ puede ser representado por las funciones teta de Jacobi:

{displaystyle wp (z,tau)=left(pi theta _{2}(0,q)theta _{3}(0,q){frac {theta _{4}(pi z,q)}{theta _{1}(pi z,q)}}right)^{2}-{frac {pi ^{2}}{3}}left(theta _{2}^{4}(0,q)+theta _{3}^{4}(0,q)right)}

q=e^{{pi itau }}

tau

{displaystyle (tau in mathbb {H})}

{displaystyle wp (z,tau)}

Relación con curvas elípticas

Considere la curva cúbica proyectiva

{displaystyle {bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{mathbb {C} }={(x,y)in mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}}cup {infty }subset mathbb {P} _{mathbb {C} }^{2}.}

Para este cúbico, también llamado Weierstrass cúbico, no existe parametrización racional, si $Delta neq 0$ . En este caso también se llama una curva elíptica. Sin embargo hay una parametrización que utiliza la $wp$ - Función y derivación $wp '$ :

{displaystyle varphi:mathbb {C} /Lambda to {bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{mathbb {C} },quad {bar {z}}mapsto {begin{cases}(wp (z),wp '(z),1)&{bar {z}}neq 0\infty quad &{bar {z}}=0end{cases}}}

Ahora el mapa $varphi$ es bijetivo y parametriza la curva elíptica ${displaystyle {bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{mathbb {C} }}$ .

${displaystyle mathbb {C} /Lambda }$ es un grupo abeliano y un espacio topológico, equipado con la topología cociente.

Se puede demostrar que cada cubículo de Weierstrass se da de tal manera. Eso es decir eso por cada par ${displaystyle g_{2},g_{3}in mathbb {C} }$ con ${displaystyle Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}neq 0}$ existe una celosa ${displaystyle mathbb {Z} omega _{1}+mathbb {Z} omega _{2}}$ , tal que

${displaystyle g_{2}=g_{2}(omega _{1},omega _{2})}$ y ${displaystyle g_{3}=g_{3}(omega _{1},omega _{2})}$ .

La afirmación de que curvas elípticas $mathbb {Q}$ se puede parametizar sobre $mathbb {Q}$ , se conoce como el teorema modular. Este es un teorema importante en la teoría de números. Fue parte de la prueba de Andrew Wiles (1995) del último teorema de Fermat.

Teoremas de la suma

Vamos ${displaystyle z,win mathbb {C} }$ Así que ${displaystyle z,w,z+w,z-wnotin Lambda }$ . Entonces uno tiene:

{displaystyle wp (z+w)={frac {1}{4}}left[{frac {wp '(z)-wp '(w)}{wp (z)-wp (w)}}right]^{2}-wp (z)-wp (w).}

Además de la fórmula de duplicación:

{displaystyle wp (2z)={frac {1}{4}}left[{frac {wp ''(z)}{wp '(z)}}right]^{2}-2wp (z).}

Estas fórmulas también tienen una interpretación geométrica, si se mira la curva elíptica ${displaystyle {bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{mathbb {C} }}$ junto con la asignación ${displaystyle {varphi }:mathbb {C} /Lambda to {bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{mathbb {C} }}$ como en la sección anterior.

La estructura de grupo ${displaystyle (mathbb {C} /Lambda+)}$ traduce a la curva ${displaystyle {bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{mathbb {C} }}$ y puede ser interpretada geométricamente allí:

La suma de tres puntos pares diferentes ${displaystyle a,b,cin {bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{mathbb {C} }}$ es cero si y sólo si se encuentran en la misma línea en ${displaystyle mathbb {P} _{mathbb {C} }^{2}}$ .

Esto es equivalente a:

{displaystyle det left({begin{array}{rrr}1&wp (u+v)&-wp '(u+v)\1&wp (v)&wp '(v)\1&wp (u)&wp '(u)\end{array}}right)=0,}

{displaystyle wp (u)=a}

{displaystyle wp (v)=b}

{displaystyle u,vnotin Lambda }

Tipografía

Did you mean:

The Weierstrass 's elliptic function is usually written with a rather special, lower case script letter ℘.

En informática, la letra ℘ está disponible como wp en TeX. En Unicode, el punto de código es U+2118 ℘ SCRIPT CAPITAL P (&weierp;, &wp;), con el alias más correcto función elíptica de weierstrass. En HTML, se puede utilizar como escape &weierp;.

Información sobre las características
Vista previa	℘
Nombre Unicode	CAPITAL DEL SCRIPT P / WEIERSTRASS ELLIPTIC FUNCTION
Codificaciones	decimal	Hex
Unicode	8472	U+2118
UTF-8	226 132 152	E2 84 98
Referencia de caracteres numéricos	> 8472;	>#x2118;
Referencia de carácter	" Weierp; "

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