Función definida positiva

En matemáticas, una función definida positiva es, según el contexto, uno de dos tipos de funciones.

Definición 1

Vamos. ${displaystyle mathbb {R}$ ser el conjunto de números reales y ${displaystyle mathbb}$ ser el conjunto de números complejos.

Una función ${displaystyle f:mathbb {R} to mathbb {C}$ se llama semi-definido positivo si para cualquier número real x₁,... x_n el n×n matriz

${displaystyle A=left(a_{ij}right)_{i,j=1}{n}~quad a_{ij}=f(x_{i}-x_{j}}$

es una matriz semidefinida positiva.

Por definición, una matriz semidefinida positiva, como ${displaystyle A}$, es Hermitian; por lo tanto f() -x) es el complejo conjugado de f()x)).

En particular, es necesario (pero no suficiente) que

${displaystyle f(0)geq 0~,quad Silenciof(x)$

(estas desigualdades se derivan de la condición para n = 1, 2.)

Una función es semidefinida negativa si la desigualdad se invierte. Una función es definida si la desigualdad débil se reemplaza por una fuerte (<, > 0).

Ejemplos

Si ${displaystyle (X,langle cdotcdot rangle)}$ es un espacio de producto interno real, entonces ${displaystyle G_{y}colon Xto mathbb {C}$, ${displaystyle xmapsto exp(ilangle y,xrangle)}$ es positivo para cada uno ${displaystyle yin X}$: para todos ${displaystyle uin mathbb {C}$ y todos ${displaystyle x_{1},ldotsx_{n}$ tenemos

${displaystyle u^{}A^{(g_{y}u=sum _{j,k=1}{n}{n}{overline {fnK}u_{j}e^{ilangle Y... }=sum _{k=1} {n}{n}{overline {fnK}e^{ilangle Y... ¿Por qué? Y... }=izquierda ##{j=1} {n}{n}{overline {fnK}e^{ilangle Y,x_{j}rangle 0.}$

Como las combinaciones lineales no negativas de funciones definidas positivas son nuevamente definidas positivas, la función coseno es definida positiva como una combinación lineal no negativa de las funciones anteriores:

${displaystyle cos(x)={2}(e^{ix}+e^{-ix})={frac {1}{2}}(g_{1}+g_{-1}). }$

Uno puede crear una función definida positiva ${displaystyle fcolon Xto mathbb {C}$ fácilmente desde la función definida positiva ${displaystyle fcolon mathbb {R} to mathbb {C}$ para cualquier espacio vectorial ${displaystyle X}$: elegir una función lineal ${displaystyle phi colon Xto mathbb {R}$ y definir ${displaystyle f^{*}:=fcirc phi }$. Entonces...

${displaystyle u^{*}a}u=sum _{j,k=1}{n}{n}{overline {f} {f}(x_{k}-x_{j})=sum - ¿Qué? ¿Qué?$

Donde $[displaystyle {tilde {f]}={big (}f(phi (x_{i})-phi (x_{j})=f({tilde) {fnMicrosoft Sans Serif}$ Donde ${displaystyle {tilde {x}_{k}:=phi (x_{k}}$ son distintos ${displaystyle phi }$ es lineal.

Teorema de Bochner

La definición positiva surge naturalmente en la teoría de la transformación Fourier; se puede ver directamente que para ser positivo-definido es suficiente para f ser la transformación Fourier de una función g en la línea real con g()Sí.) ≥ 0.

El resultado inverso es el teorema de Bochner, que establece que cualquier función definida positiva continua en la recta real es la transformada de Fourier de una medida (positiva).

Aplicaciones

En las estadísticas, y especialmente en las estadísticas bayesianas, el teorema se aplica generalmente a funciones reales. Típicamente, n medidas de escalar de algún valor de escalar en puntos en ${displaystyle R^{d}$ se toman y los puntos que están mutuamente cercanos deben tener mediciones altamente correlativas. En la práctica, hay que tener cuidado de asegurar que la matriz de covariancia resultante (un n×n matriz) es siempre positivo-definido. Una estrategia es definir una matriz de correlación A que se multiplica entonces por un escalar para dar una matriz de covariancia: esto debe ser positivo-definido. El teorema de Bochner afirma que si la correlación entre dos puntos depende sólo de la distancia entre ellos (a través de la función) f), entonces función f debe ser positivo-definido para asegurar la matriz de covariancia A es positivo-definido. Mira Kriging.

En este contexto, la terminología de Fourier no se utiliza normalmente y en cambio se dice que f()x) es la función característica de una función de densidad de probabilidad simétrica (PDF).

Generalización

Se pueden definir funciones definidas positivas en cualquier grupo topológico abeliano localmente compacto; El teorema de Bochner se extiende a este contexto. Las funciones definidas positivas en grupos ocurren naturalmente en la teoría de la representación de grupos en espacios de Hilbert (es decir, la teoría de las representaciones unitarias).

Definición 2

Alternativamente, una función ${displaystyle f:mathbb {R} ^{n}to mathbb {R}$ se llama positivo-definido en un barrio D del origen si ${displaystyle f(0)=0}$ y ${displaystyle f(x)}$ para cada no-cero ${displaystyle xin D}$.

Tenga en cuenta que esta definición entra en conflicto con la definición 1, dada anteriormente.

En física, el requisito de que ${displaystyle f(0)=0}$ a veces se cae (véase, por ejemplo, Corney y Olsen).