Fórmula de De Moivre

En matemáticas, fórmula de de Moivre (también conocida como teorema de de Moivre y identidad de de Moivre< /b>) establece que para cualquier número real x y entero n se mantiene que

${bign}=cos nx+isin,}$

donde i es la unidad imaginaria (i< sup>2 = −1). La fórmula lleva el nombre de Abraham de Moivre, aunque nunca la expresó en sus obras. La expresión cos x + i sin x a veces se abrevia como cis x.

La fórmula es importante porque conecta números complejos y trigonometría. Al expandir el lado izquierdo y luego comparar las partes real e imaginaria bajo el supuesto de que x es real, es posible derivar expresiones útiles para cos nx y sin nx en términos de < abarcan clase="texhtml">cos x y sin x.

Como está escrito, la fórmula no es válida para potencias no enteras n. Sin embargo, hay generalizaciones de esta fórmula válidas para otros exponentes. Estos se pueden usar para dar expresiones explícitas para las nth raíces de la unidad, es decir, números complejos z tal que zⁿ = 1.

Ejemplo

Para ${displaystyle x=30^{circ }$ y ${displaystyle n=2}$, la fórmula de Moivre afirma que

$${displaystyle left(cos(30^{circ })+isin(30^{circ })right)^{2}=cos(2cdot 30^{circ })+isin(2cdot 30^{circ }),}}$$

$${displaystyle left({frac {sqrt {3}{2}+{frac} {}{2}right)}{2}={frac {1}{2}+{frac {sqrt {3}} {2}}}$$

Relación con la fórmula de Euler

La fórmula de De Moivre es un precursor de la fórmula de Euler

$${displaystyle e^{ix}=cos x+isin x,}$$

Se puede derivar la fórmula de De Moivre usando la fórmula de Euler y la ley exponencial para potencias enteras

${displaystyle left(e^{ix}right)}=e^{inx}$

ya que la fórmula de Euler implica que el lado izquierdo es igual a ${displaystyle left(cos x+isin xright)}$ mientras que el lado derecho es igual a

${displaystyle e^{inx}=cos nx+isin nx.}$

Prueba por inducción

La verdad del teorema de De Moivre se puede establecer mediante la inducción matemática para números naturales y extenderse a todos los números enteros a partir de ahí. Para un número entero n, llame a la siguiente instrucción S(n):

${displaystyle (cos x+isin x)^{n}=cos nx+isin nx.}$

Para n > 0, procedemos por inducción matemática. S(1) es claramente cierto. Para nuestra hipótesis, asumimos que S(k) es cierto para algunos k. Es decir, suponemos

${displaystyle left(cos x+isin xright)^{k}=cos kx+isin kx.}$

Ahora, considerando S(k + 1):

${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}$

Ver identidades de suma y diferencia de ángulos.

Deducimos que S(k) implica S(k + 1). Por el principio de inducción matemática se sigue que el resultado es verdadero para todos los números naturales. Ahora, S(0) es claramente cierto ya que cos(0x) + i sin(0x) = 1 + 0i = 1. Finalmente, para los casos de enteros negativos, consideramos un exponente de −n para n.

${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fn} {n}n}n}n}ns x+isin xright)} {n}n}n}n}n}nnnnnnKnKnKnKnK]nKnK]nKnKnMinKnMinMinKnMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinnnMinMinnnMinMientras, ¿Por qué?$

La ecuación (*) es resultado de la identidad

${displaystyle z^{-1}={frac {fnMicroc}bar {fnK} {fnMicrosoft Sans Serif}$

for z = cos nx + i sen nx. Por lo tanto, S(n) vale para todos los enteros n< /lapso>.

Fórmulas para coseno y seno individualmente

Para una igualdad de números complejos, necesariamente se tiene igualdad tanto de las partes reales como de las partes imaginarias de ambos miembros de la ecuación. Si x, y por lo tanto también cos x y sin x, son números reales, entonces la identidad de estas partes se puede escribir usando coeficientes binomiales. Esta fórmula fue dada por el matemático francés del siglo XVI François Viète:

${displaystyle {begin{aligned}sin nx caer=sum _{k=0}{n}{n}{binom} {n}{k}cos x)^{k},(sin x)^{n-k},sin {frac {(n-k)pi }{2}cos nx limit=sum _{k=0}{n}{n} {binom {n} {cos x)^{k}\,(sin x)^{n-k},cos {frac {(n-k)pi }{2}}}}}}end{aligned}}}}}}}}}} {f}} {f}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}f}f}}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnf}fnf}fnfnfnfnfnfnf}}fnfn}fn}fnfnfnfnfnfnfncfn$

En cada una de estas dos ecuaciones, la función trigonométrica final es igual a uno o menos uno o cero, eliminando así la mitad de las entradas en cada una de las sumas. De hecho, estas ecuaciones son válidas incluso para valores complejos de x, porque ambos lados son enteros (es decir, holomorfos en todo el complejo plane) funciones de x, y dos de esas funciones que coinciden en el eje real necesariamente coinciden en todas partes. Aquí están las instancias concretas de estas ecuaciones para n = 2 y n = 3 :

$################################################################################################################################################################################################################################################################$

El lado derecho de la fórmula para cos nx es de hecho el valor T _n(cos x) del polinomio de Chebyshev T _n en cos x.

Fallo para potencias no enteras y generalización

La fórmula de De Moivre no se cumple para potencias no enteras. La derivación de la fórmula de De Moivre anterior implica un número complejo elevado a la potencia entera n. Si un número complejo se eleva a una potencia no entera, el resultado tiene valores múltiples (ver falla de potencia e identidades logarítmicas). Por ejemplo, cuando n = 1/2, la fórmula de Moivre da los siguientes resultados:

para x = 0 la fórmula da 1^1/2= 1, y

para x = 2π la fórmula da 1^1/2= 1 -.

Esto asigna dos valores diferentes para la misma expresión 1^1/2, por lo que la fórmula no es consistente en este caso.

Por otro lado, los valores 1 y −1 son ambos raíces cuadradas de 1. Más generalmente, si z y w son números complejos, entonces

${displaystyle left(cos z+isin zright)}$

tiene varios valores mientras que

${displaystyle cos wz+isin wz}$

no lo es. Sin embargo, siempre sucede que

${displaystyle cos wz+isin wz}$

es uno de los valores de

${displaystyle left(cos z+isin zright)^{w}$

Raíces de números complejos

Se puede usar una modesta extensión de la versión de la fórmula de De Moivre dada en este artículo para encontrar las raíces enésimas de un número complejo (equivalentemente, la potencia de 1/ n).

Si z es un número complejo, escrito en forma polar como

${displaystyle z=rleft(cos x+isin xright),}$

entonces el n n< /span>th raíces de z están dadas por

${displaystyle r^{frac {1}{n}left(cos {x+2pi} {fn} {fn}}derecha)}$

donde k varía sobre los valores enteros de 0 a n − 1.

Esta fórmula también se conoce a veces como la fórmula de De Moivre.

Análogos en otros entornos

Trigonometría hiperbólica

Ya que cosh x + sinh x = e^x, un análogo a la fórmula de De Moivre también se aplica a la trigonometría hiperbólica. Para todos los números enteros n,

$${displaystyle (cosh x+sinh x)^{n}=cosh nx+sinh nx.}$$