Forma modular

format_list_bulleted Contenido keyboard_arrow_down

ImprimirCitar

Función analítica en el medio plano superior con cierto comportamiento bajo el grupo modular

En matemáticas, una forma modular es una función analítica (compleja) en el semiplano superior que satisface un cierto tipo de ecuación funcional con respecto a la acción de grupo del grupo modular, y también satisface una condición de crecimiento. La teoría de las formas modulares pertenece, por lo tanto, al análisis complejo, pero la principal importancia de la teoría ha estado tradicionalmente en sus conexiones con la teoría de números. Las formas modulares aparecen en otras áreas, como la topología algebraica, el empaquetamiento de esferas y la teoría de cuerdas.

Una función modular es una función que es invariante con respecto al grupo modular, pero sin la condición de que $f (z)$ ser holomorfo en el semiplano superior (entre otros requisitos). En cambio, las funciones modulares son meromórficas (es decir, son holomorfas en el complemento de un conjunto de puntos aislados, que son polos de la función).

La teoría de la forma modular es un caso especial de la teoría más general de las formas automorfológicas que son funciones definidas en grupos de Lie que se transforman agradablemente con respecto a la acción de ciertos subgrupos discretos, generalizando el ejemplo del grupo modular ${displaystyle mathrm {SL} _{2}(mathbb {Z})subset mathrm {SL} _{2}(mathbb {R})}$ .

Definición general de formas modulares

En general, dado un subgrupo ${displaystyle Gamma subset {text{SL}}_{2}(mathbb {Z})}$ de índice finito, llamado grupo aritmético, un forma modular de nivel $Gamma$ y peso $k$ es una función holomorfa ${displaystyle f:{mathcal {H}}to mathbb {C} }$ del medio plano superior de tal manera que las dos condiciones siguientes estén satisfechas:

1. ()estado automorfoPara cualquier ${displaystyle gamma in Gamma }$ hay igualdad ${displaystyle f(gamma (z))=(cz+d)^{k}f(z)}$
2.estado de crecimientoPara cualquier ${displaystyle gamma in {text{SL}}_{2}(mathbb {Z})}$ la función ${displaystyle (cz+d)^{-k}f(gamma (z))}$ está obligado ${displaystyle {text{im}}(z)to infty }$

Donde ${textstyle gamma (z)={frac {az+b}{cz+d}}}$ y la función ${textstyle gamma }$ se identifica con la matriz ${textstyle gamma ={begin{pmatrix}a&b\c&dend{pmatrix}}in {text{SL}}_{2}(mathbb {Z}).,}$ (La identificación de tales funciones con tales matrices hace que la composición de tales funciones corresponda a la multiplicación de la matriz.) Además, se llama a cusp form si satisface la siguiente condición de crecimiento:

3. ()condiciónPara cualquier ${displaystyle gamma in {text{SL}}_{2}(mathbb {Z})}$ la función ${displaystyle (cz+d)^{-k}f(gamma (z))to 0}$ como ${displaystyle {text{im}}(z)to infty }$

Como secciones de un paquete de líneas

Las formas modulares también se pueden interpretar como secciones de un paquete de línea específico sobre variedades modulares. Para ${displaystyle Gamma subset {text{SL}}_{2}(mathbb {Z})}$ una forma modular de nivel $Gamma$ y peso $k$ puede definirse como un elemento

${displaystyle fin H^{0}(X_{Gamma },omega ^{otimes k})=M_{k}(Gamma)}$

Donde $omega$ es un paquete de línea canónica en la curva modular

${displaystyle X_{Gamma }=Gamma backslash ({mathcal {H}}cup mathbb {P} ^{1}(mathbb {Q}))}$

Las dimensiones de estos espacios de formas modulares se pueden calcular utilizando el teorema Riemann-Roch. Las formas modulares clásicas ${displaystyle Gamma ={text{SL}}_{2}(mathbb {Z})}$ son secciones de un paquete de línea en la pila de moduli de curvas elípticas.

Formas modulares para SL(2, Z)

Definición estándar

Una forma modular de peso $k$ para el grupo modular

text{SL}(2, mathbf Z) = left { left. begin{pmatrix}a & b \ c & d end{pmatrix} right| a, b, c, d in mathbf Z, ad-bc = 1 right }

es una función de valor complejo $f$ en el semiplano superior $H = {z \in C, Im(z) > 0},$ cumpliendo las siguientes tres condiciones:

$f$ es una función holomorfa en $H$ .
Para cualquier $z ▪ H$ y cualquier matriz en $SL(2, Z)$ como arriba, tenemos:
$fleft(frac{az+b}{cz+d}right) = (cz+d)^k f(z)$
$f$ está obligado a ser obligado $z \to i$ .

Observaciones:

El peso $k$ es típicamente un entero positivo.
Para extraño $k$ , sólo la función cero puede satisfacer la segunda condición.
La tercera condición también se expresa diciendo que $f$ es "holomorfo en el cusp", una terminología que se explica a continuación. Explícitamente, la condición significa que hay algunos $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">M,D■0{displaystyle M,D confía0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc8326040c6bfde528e83f0eb51287bf17fcc48b" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.661ex; height:2.509ex;"/>$ tales que $Mimplies |f(z)|Im ()z)■M⟹ ⟹ Silenciof()z)Silencio.D{displaystyle operatorname {Im} (z) títuloMimplies tenciónf(z) intimidadD} Mimplies |f(z)|$ , que significa $f$ está atado sobre una línea horizontal.
La segunda condición para

S = begin{pmatrix}0 & -1 \ 1 & 0 end{pmatrix}, qquad T = begin{pmatrix}1 & 1 \ 0 & 1 end{pmatrix}

lecturas

{displaystyle fleft(-{frac {1}{z}}right)=z^{k}f(z),qquad f(z+1)=f(z)}

respectivamente. Desde

S

T

generar el grupo modular

SL(2, Z)

, la segunda condición anterior es equivalente a estas dos ecuaciones.

Desde $f () z + 1) f () z)$ , las formas modulares son funciones periódicas, con período $1$ , y así tener una serie Fourier.

Definición en términos de celosías o curvas elípticas

Una forma modular puede definirse de manera equivalente como una función F del conjunto de celosías en $C$ al conjunto de números complejos que satisface ciertas condiciones:

Si consideramos la ropa $▪ Z α + Z z$ generado por una constante $α$ y una variable $z$ , entonces $F (XXI)$ es una función analítica de $z$ .
Si $α$ es un número no-cero complejo y $α ▪$ es la rejilla obtenida multiplicando cada elemento de $▪$ por $α$ , entonces $F () α \geq) = α - k F (XXI)$ Donde $k$ es una constante (típicamente un entero positivo) llamado el peso de la forma.
El valor absoluto $F (XXI)$ permanece ligado arriba mientras el valor absoluto del elemento no cero más pequeño en $▪$ está atado de 0.

La idea clave para probar la equivalencia de las dos definiciones es que tal función $F$ está determinada, debido a la segunda condición, por sus valores en redes de la forma $Z + Z τ$ , donde τ ∈ H.

Ejemplos

Yo. Serie Eisenstein

Los ejemplos más simples desde este punto de vista son las series de Eisenstein. Para cada entero par $k > 2$ , definimos $G k (Λ)$ como la suma de $λ - k$ sobre todos los vectores distintos de cero $λ$ de $Λ$ :

{displaystyle G_{k}(Lambda)=sum _{0neq lambda in Lambda }lambda ^{-k}.}

Entonces $G k$ es una forma modular de peso $k$ . Para $Λ = Z + Z τ$ tenemos

{displaystyle G_{k}(Lambda)=G_{k}(tau)=sum _{(0,0)neq (m,n)in mathbf {Z} ^{2}}{frac {1}{(m+ntau)^{k}}},}

{displaystyle {begin{aligned}G_{k}left(-{frac {1}{tau }}right)&=tau ^{k}G_{k}(tau),\G_{k}(tau +1)&=G_{k}(tau).end{aligned}}}

La condición $k > 2$ es necesario para la convergencia; para impar $k$ hay cancelación entre $λ - k$ y $(- λ) - k$ , por lo que tales series son idénticamente cero.

II. Funciones theta de redes incluso unimodulares

Una celosía unimodular uniforme $L$ en $R n$ es una red generada por $n$ vectores que forman las columnas de una matriz de determinante 1 y satisfaciendo la condición de que el cuadrado de la longitud de cada vector en $L$ sea un entero par. La llamada función theta

vartheta_L(z) = sum_{lambdain L}e^{pi i VertlambdaVert^2 z}

converge cuando Im(z) > 0 y, como consecuencia de la fórmula de suma de Poisson, se puede demostrar que es una forma modular de peso $n /2$ . No es tan fácil construir redes incluso unimodulares, pero aquí hay una manera: Sea $n$ un número entero divisible por 8 y considere todos los vectores $v$ en $R n$ tal que $2 v$ tiene coordenadas enteras, ya sea todas pares o todas impares, y tal que el la suma de las coordenadas de $v$ es un número entero par. Llamamos a esta red $L n$ . Cuando $n = 8$ , esta es la red generada por las raíces en el sistema raíz llamado E8. Debido a que solo hay una forma modular de peso 8 hasta la multiplicación escalar,

vartheta_{L_8times L_8}(z) = vartheta_{L_{16}}(z),

aunque las redes $L 8 \times L 8$ y $L 16$ no son similares. John Milnor observó que los toros de 16 dimensiones obtenidos al dividir $R 16$ entre estos dos retículos son, en consecuencia, ejemplos de riemanniano compacto variedades que son isoespectrales pero no isométricas (ver Escuchar la forma de un tambor).

III. El discriminante modular

La función eta de Dedekind se define como

{displaystyle eta (z)=q^{1/24}prod _{n=1}^{infty }(1-q^{n}),qquad q=e^{2pi iz}.}

donde q es el cuadrado del nombre. Entonces el discriminante modular $Δ(z) = (2π) 12 η (z) 24$ es una forma modular de peso 12. La presencia de 24 está relacionada con el hecho de que la red Leech tiene 24 dimensiones. Una célebre conjetura de Ramanujan afirmó que cuando $Δ(z)$ se expande como una serie de potencias en q, el coeficiente de $q p$ para cualquier primo $p$ tiene valor absoluto $\leq 2 p 11/2$ . Esto fue confirmado por el trabajo de Eichler, Shimura, Kuga, Ihara y Pierre Deligne como resultado de la prueba de Deligne de las conjeturas de Weil, que demostraron implicar la conjetura de Ramanujan.

El segundo y el tercer ejemplo dan una idea de la conexión entre las formas modulares y las cuestiones clásicas de la teoría de números, como la representación de números enteros mediante formas cuadráticas y la función de partición. El vínculo conceptual crucial entre las formas modulares y la teoría de números lo proporciona la teoría de los operadores de Hecke, que también proporciona el vínculo entre la teoría de las formas modulares y la teoría de la representación.

Funciones modulares

Cuando el peso k es cero, se puede demostrar usando el teorema de Liouville que las únicas formas modulares son funciones constantes. Sin embargo, relajar el requisito de que f sea holomorfa conduce a la noción de funciones modulares. Una función f: H → C se denomina modular si cumple las siguientes propiedades:

f es meromorfa en el medio plano superior abierto H.
Para cada matriz del entero ${begin{pmatrix}a&b\c&dend{pmatrix}}$ en el grupo modular $fleft(frac{az+b}{cz+d}right) = f(z)$ .
Como se señaló anteriormente, la segunda condición implica que f es periódica, y por lo tanto tiene una serie Fourier. La tercera condición es que esta serie es de la forma

f(z) = sum_{n=-m}^infty a_n e^{2ipi nz}.

A menudo se escribe en términos de $q=exp(2pi i z)$ (la plaza del nomo), como:

f(z)=sum_{n=-m}^infty a_n q^n.

This is also referred to as the q- expansión de f (principio de expansión q). Los coeficientes $a_{n}$ son conocidos como los coeficientes Fourier de f, y el número m se llama el orden del poste de f en i∞. Esta condición se llama "meromorfo en el cusp", lo que significa que sólo finitamente muchos negativos-n los coeficientes no son cero, así que q- la expansión está atada abajo, garantizando que es meromorfica a q= 0.

A veces se usa una definición más débil de funciones modulares: según la definición alternativa, es suficiente que f sea meromórfico en el semiplano superior abierto y que f sea invariante con respecto a un subgrupo del grupo modular de índice finito. Esto no se cumple en este artículo.

Otra forma de expresar la definición de funciones modulares es usar curvas elípticas: cada red Λ determina una curva elíptica C/Λ sobre C; dos redes determinan curvas elípticas isomórficas si y solo si una se obtiene de la otra multiplicando por algún número complejo distinto de cero $α$ . Por lo tanto, una función modular también puede considerarse como una función meromórfica en el conjunto de clases de isomorfismos de curvas elípticas. Por ejemplo, la j-invariante j(z) de una curva elíptica, considerada como una función en el conjunto de todas las curvas elípticas, es una función modular. Más conceptualmente, las funciones modulares se pueden considerar como funciones en el espacio de módulos de clases de isomorfismo de curvas elípticas complejas.

Una forma modular f que desaparece en $q = 0$ (equivalentemente, $a 0 = 0$ , también parafraseado como $z = i \infty$ ) se denomina forma de cúspide (Spitzenform en alemán). El n más pequeño tal que $a n \neq 0$ es el orden del cero de f en $i \infty$ .

Una unidad modular es una función modular cuyos polos y ceros están confinados a las cúspides.

Formularios modulares para grupos más generales

La ecuación funcional, es decir, el comportamiento de f con respecto a $z mapsto frac{az+b}{cz+d}$ se puede relajar requiriendo sólo para matrices en grupos más pequeños.

La superficie de Riemann GH∗

Sea $G$ un subgrupo de $SL(2, Z)$ que es de índice finito. Tal grupo $G$ actúa sobre H de la misma manera que $SL(2, Z)$ . Se puede demostrar que el espacio topológico del cociente GH es un espacio de Hausdorff. Por lo general, no es compacto, pero se puede compactar agregando un número finito de puntos llamados cúspides. Estos son puntos en el límite de H, es decir, en Q∪{∞}, tales que hay un elemento parabólico de $G$ (una matriz con traza ±2) fijando el punto. Esto produce un espacio topológico compacto GH^∗. Además, puede dotarse de la estructura de una superficie de Riemann, lo que permite hablar de funciones holomorfas y meromórficas.

Ejemplos importantes son, para cualquier número entero positivo N, cualquiera de los subgrupos de congruencia

{displaystyle {begin{aligned}Gamma _{0}(N)&=left{{begin{pmatrix}a&b\c&dend{pmatrix}}in {text{SL}}(2,mathbf {Z}):cequiv 0{pmod {N}}right}\Gamma (N)&=left{{begin{pmatrix}a&b\c&dend{pmatrix}}in {text{SL}}(2,mathbf {Z}):cequiv bequiv 0,aequiv dequiv 1{pmod {N}}right}.end{aligned}}}

Para G = Γ₀(N) o $Γ(N)$ , los espacios GH y GH^∗ se denotan Y₀(N) y X₀(N) y Y(N), X(N), respectivamente.

La geometría de GH^∗ se puede entender estudiando los dominios fundamentales para G, es decir, subconjuntos D ⊂ H tal que D corta cada órbita del $G$ -acción sobre H exactamente una vez y tal que el cierre de D cumple con todas las órbitas. Por ejemplo, se puede calcular el género de GH^∗.

Definición

Una forma modular para $G$ de peso k es una función en H satisfaciendo la ecuación funcional anterior para todas las matrices en $G$ , que es holomorfa en H y en todas las cúspides de $G$ . Nuevamente, las formas modulares que desaparecen en todas las cúspides se denominan formas de cúspide para $G$ . Los espacios vectoriales C de formas modulares y de cúspide de peso k se denotan $M k (G)$ y $S k (G)$ , respectivamente. De manera similar, una función meromórfica en GH^∗ se denomina función modular para $G$ . En el caso de G = Γ₀(N), también se denominan formas modulares/cúspide y funciones de nivel N. Para $G = Γ(1) = SL(2, Z)$ , esto devuelve las definiciones mencionadas anteriormente.

Consecuencias

La teoría de las superficies de Riemann se puede aplicar a GH^∗ para obtener más información sobre formas y funciones modulares. Por ejemplo, los espacios $M k (G)$ y $S k (G)$ son de dimensión finita, y sus dimensiones se pueden calcular gracias al teorema de Riemann-Roch en términos de la geometría de la acción $G$ en H. Por ejemplo,

{displaystyle dim _{mathbf {C} }M_{k}left({text{SL}}(2,mathbf {Z})right)={begin{cases}leftlfloor k/12rightrfloor &kequiv 2{pmod {12}}\leftlfloor k/12rightrfloor +1&{text{otherwise}}end{cases}}}

Donde $lfloor cdot rfloor$ denota la función del suelo y $k$ es incluso.

Las funciones modulares constituyen el campo de funciones de la superficie de Riemann, y por tanto forman un campo de grado de trascendencia uno (sobre C). Si una función modular f no es exactamente 0, entonces se puede demostrar que el número de ceros de f es igual al número de polos de f en el cierre de la región fundamental R_Γ. Se puede demostrar que el campo de función modular de nivel N ( N ≥ 1) es generado por las funciones j(z) y j(Nz).

Paquetes de líneas

La situación se puede comparar de forma rentable con la que surge en la búsqueda de funciones en el espacio proyectivo P(V): en ese entorno, a uno le gustarían idealmente las funciones F en el espacio vectorial V que son polinómicos en las coordenadas de v ≠ 0 en V y satisfacen la ecuación F(cv) = F(v) para todos los c distintos de cero. Desafortunadamente, las únicas funciones de este tipo son las constantes. Si permitimos denominadores (funciones racionales en lugar de polinomios), podemos dejar que F sea la razón de dos polinomios homogéneos del mismo grado. Alternativamente, podemos apegarnos a los polinomios y aflojar la dependencia de c, dejando F(cv) = c^kF(v). Las soluciones son entonces los polinomios homogéneos de grado $k$ . Por un lado, estos forman un espacio vectorial de dimensión finita para cada k, y por otro lado, si dejamos variar k, podemos encontrar los numeradores y denominadores para construir todas las funciones racionales que son realmente funciones en el espacio proyectivo subyacente P(V).

Uno podría preguntarse, dado que los polinomios homogéneos no son realmente funciones en P(V), ¿qué son, geométricamente hablando? La respuesta algebro-geométrica es que son secciones de un haz (también se podría decir un haz de líneas en este caso). La situación con las formas modulares es precisamente análoga.

Las formas modulares también se pueden abordar de manera rentable desde esta dirección geométrica, como secciones de haces de líneas en el espacio de módulos de curvas elípticas.

Anillos de formas modulares

Para un subgrupo $.$ de la $SL(2, Z)$ , el anillo de formas modulares es el anillo de grado generado por las formas modulares $.$ . En otras palabras, si $M k (Gálido)$ ser el anillo de formas modulares de peso $k$ , entonces el anillo de formas modulares $.$ es el anillo de grado $0}M_{k}(Gamma)}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">M().. )=⨁ ⨁ k■0Mk().. ){displaystyle M(Gamma)=bigoplus _{k confianza0}M_{k}(Gamma)}0}M_{k}(Gamma)}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d684aee3c19e7327a3abeb262e2522984da0d77" style="vertical-align: -3.171ex; width:19.305ex; height:5.676ex;"/>$ .

Los anillos de formas modulares de subgrupos de congruencia de $SL(2, Z)$ se generan finitamente debido a un resultado de Pierre Deligne y Michael Rapoport. Dichos anillos de formas modulares se generan en peso como máximo 6 y las relaciones se generan en peso como máximo 12 cuando el subgrupo de congruencia tiene formas modulares de peso impar distintas de cero, y los límites correspondientes son 5 y 10 cuando no hay formas modulares de peso impar distintas de cero.

Más generalmente, existen fórmulas para los límites de los pesos de los generadores del anillo de formas modulares y sus relaciones para grupos arbitrarios de Fuchsian.

Tipos

Formularios completos

Si f es holomorfo en la cúspide (no tiene polo en q = 0), se denomina forma modular completa.

Si f es meromórfico pero no holomórfico en la cúspide, se denomina forma modular no completa. Por ejemplo, el j-invariante es una forma modular no completa de peso 0 y tiene un polo simple en i∞.

Nuevos formularios

Las nuevas formas son un subespacio de formas modulares de peso fijo $N$ que no se puede construir a partir de formas modulares de pesos inferiores $M$ división $N$ . Las otras formas se llaman viejas formas. Estas formas antiguas se pueden construir utilizando las siguientes observaciones: ${displaystyle Mmid N}$ entonces ${displaystyle Gamma _{1}(N)subseteq Gamma _{1}(M)}$ la inclusión inversa de formas modulares ${displaystyle M_{k}(Gamma _{1}(M))subseteq M_{k}(Gamma _{1}(N))}$ .

Formas de cúspides

Una forma de cúspide es una forma modular con un coeficiente constante cero en su serie de Fourier. Se llama forma de cúspide porque la forma desaparece en todas las cúspides.

Generalizaciones

Hay una serie de otros usos del término "función modular", además de este clásico; por ejemplo, en la teoría de las medidas de Haar, es una función $Δ(g)$ determinada por la acción de conjugación.

Las

formas de Maass son funciones propias analíticas reales del laplaciano pero no necesitan ser holomorfas. Las partes holomorfas de ciertas formas de onda débiles de Maass resultan ser esencialmente funciones theta simuladas de Ramanujan. Se pueden considerar grupos que no son subgrupos de $SL(2, Z)$ .

Las formas modulares de Hilbert son funciones en n variables, cada una de ellas un número complejo en el semiplano superior, que satisfacen una relación modular para matrices de 2×2 con entradas en un campo de números totalmente reales.

Las formas modulares de Siegel se asocian a grupos simplécticos más grandes de la misma manera que las formas modulares clásicas se asocian a $SL(2, R)$ ; en otras palabras, están relacionadas con las variedades abelianas en el mismo sentido que las formas modulares clásicas (que a veces se llaman formas modulares elípticas para enfatizar el punto) están relacionadas con las curvas elípticas.

Las formas de Jacobi son una mezcla de formas modulares y funciones elípticas. Los ejemplos de tales funciones son muy clásicos: las funciones theta de Jacobi y los coeficientes de Fourier de las formas modulares de Siegel del género dos, pero es una observación relativamente reciente que las formas de Jacobi tienen una teoría aritmética muy análoga a la teoría habitual de las formas modulares.

Formas automórficas extienden la noción de formas modulares a grupos de Lie generales.

Integrales modulares de peso $k$ son funciones meromórficas en el semiplano superior de crecimiento moderado en infinito que no puede ser modular de peso $k$ por una función racional.

Factores automorficos son funciones de la forma $varepsilon(a,b,c,d) (cz+d)^k$ que se utilizan para generalizar la relación modular que define formas modulares, de modo que

fleft(frac{az+b}{cz+d}right) = varepsilon(a,b,c,d) (cz+d)^k f(z).

La función $varepsilon(a,b,c,d)$ se llama el nebentypus de la forma modular. Funciones como la función eta de Dedekind, una forma modular de peso 1/2, pueden ser abarcadas por la teoría al permitir factores automorfos.

Historia

La teoría de las formas modulares se desarrolló en cuatro períodos: primero en relación con la teoría de las funciones elípticas, en la primera parte del siglo XIX; luego por Felix Klein y otros hacia fines del siglo XIX cuando se entendió el concepto de forma automórfica (para una variable); luego por Erich Hecke alrededor de 1925; y luego en la década de 1960, cuando las necesidades de la teoría de números y la formulación del teorema de modularidad en particular dejaron en claro que las formas modulares están profundamente implicadas.

El término "forma modular", como descripción sistemática, generalmente se atribuye a Hecke.

Contenido relacionado

Más resultados...