Forma canónica

En matemáticas e informática, una forma canónica, normal o estándar de un objeto matemático es una forma estándar de presentar ese objeto como una expresión matemática. A menudo, es aquel que proporciona la representación más simple de un objeto y permite identificarlo de una manera única. La distinción entre "canónico" y "normal" Las formas varían de un subcampo a otro. En la mayoría de los campos, una forma canónica especifica una representación única para cada objeto, mientras que una forma normal simplemente especifica su forma, sin el requisito de unicidad.

La forma canónica de un número entero positivo en representación decimal es una secuencia finita de dígitos que no comienza con cero. De manera más general, para una clase de objetos sobre los cuales se define una relación de equivalencia, una forma canónica consiste en la elección de un objeto específico en cada clase. Por ejemplo:

• Jordania forma normal es una forma canónica para la similitud de la matriz.
• La forma echelon fila es una forma canónica, cuando se considera equivalente a una matriz y su producto izquierdo por una matriz invertible.

En informática, y más específicamente en álgebra informática, cuando se representan objetos matemáticos en una computadora, generalmente hay muchas formas diferentes de representar el mismo objeto. En este contexto, una forma canónica es una representación tal que cada objeto tiene una representación única (siendo la canonicalización el proceso mediante el cual una representación se pone en su forma canónica). Por tanto, la igualdad de dos objetos puede comprobarse fácilmente comprobando la igualdad de sus formas canónicas.

A pesar de esta ventaja, las formas canónicas frecuentemente dependen de elecciones arbitrarias (como ordenar las variables), lo que introduce dificultades para probar la igualdad de dos objetos que resultan de cálculos independientes. Por lo tanto, en álgebra informática, la forma normal es una noción más débil: una forma normal es una representación tal que el cero está representado de forma única. Esto permite probar la igualdad poniendo la diferencia de dos objetos en forma normal.

La forma canónica también puede significar una forma diferencial que se define de forma natural (canónica).

Definición

Dado un conjunto S de objetos con una relación de equivalencia R sobre S, se da una forma canónica designando algunos objetos de S a estar "en forma canónica", de modo que cada objeto considerado sea equivalente exactamente a un objeto en forma canónica. En otras palabras, las formas canónicas en S representan las clases de equivalencia, una vez y sólo una vez. Para comprobar si dos objetos son equivalentes, basta con comprobar la igualdad en sus formas canónicas. Por tanto, una forma canónica proporciona un teorema de clasificación y más, en el sentido de que no sólo clasifica cada clase, sino que también proporciona un representante distinguido (canónico) para cada objeto de la clase.

Formalmente, una canonicalización con respecto a una relación de equivalencia R en un conjunto S es una asignación c:S→S tal que para todos los s, s₁, s< sub>2 ∈ S:

1. c()s) c()c()s) (idempotence),
2. s₁ R s₂ si c()s₁) c()s₂.
3. s R c()s) (representación).

La propiedad 3 es redundante; se sigue aplicando 2 a 1.

En términos prácticos, suele ser ventajoso poder reconocer las formas canónicas. También hay que considerar una cuestión algorítmica práctica: ¿cómo pasar de un objeto dado s en S a su forma canónica s*? Las formas canónicas se utilizan generalmente para hacer más eficaz la operación con clases de equivalencia. Por ejemplo, en aritmética modular, la forma canónica de una clase de residuo generalmente se toma como el número entero menos negativo que contiene. Las operaciones con clases se llevan a cabo combinando estos representantes y luego reduciendo el resultado al menor residuo no negativo. El requisito de unicidad a veces se relaja, permitiendo que las formas sean únicas hasta alguna relación de equivalencia más fina, como permitir la reordenación de los términos (si no existe un ordenamiento natural de los términos).

Una forma canónica puede ser simplemente una convención o un teorema profundo. Por ejemplo, los polinomios se escriben convencionalmente con los términos en potencias descendentes: es más habitual escribir x² + x + 30 que x + 30 + x², aunque las dos formas definen el mismo polinomio. Por el contrario, la existencia de la forma canónica de Jordan para una matriz es un teorema profundo.

Historia

Según OED y LSJ, el término canónico proviene de la palabra griega antigua kanonikós (κανονικός, "regular, según gobernar") de kanṓn (κᾰνών, "vara, regla"). El sentido de norma, estándar o arquetipo se ha utilizado en muchas disciplinas. El uso matemático está atestiguado en una carta de Logan de 1738. El término alemán kanonische Form está atestiguado en un artículo de 1846 de Eisenstein, más tarde, ese mismo año, Richelot usa el término Normalform en un artículo, y en 1851 Sylvester escribe:

"Ahora procedo a [...] el modo de reducir las Funciones Algebraicas a su más simple y simétrica, o como mi admirable amigo M. Hermite bien propone llamarlas, su Formas canónicas."

En el mismo período, el uso está atestiguado por Hesse ("Normalform"), Hermite ("forme canonique"), Borchardt ("forme canonique"), y Cayley ("forma canónica").

En 1865, el Diccionario de Ciencia, Literatura y Arte define la forma canónica como:

"En Matemáticas, denota una forma, generalmente la más simple o simétrica, a la que, sin pérdida de generalidad, se pueden reducir todas las funciones de la misma clase".

Ejemplos

Nota: en esta sección, "hasta" alguna relación de equivalencia E significa que la forma canónica no es única en general, pero que si un objeto tiene dos formas canónicas diferentes, son E-equivalentes.

Notación de números grandes

Muchos matemáticos y científicos utilizan la forma estándar para escribir números extremadamente grandes de una manera más concisa y comprensible, siendo la más destacada la notación científica.

Teoría de números

• Representación canónica de un entero positivo
• Forma canónica de una fracción continua

Álgebra lineal

Objetos	A equivale a B si:	Forma normal	Notas
Matrices normales sobre los números complejos	${displaystyle A=U^{*}BU}$ para alguna matriz unitaria U	Matricias diagonales (hasta reordenamiento)	Este es el teorema espectral
Matrices sobre los números complejos	${displaystyle A=UBV^{*}$ para algunas matrices unitarias U y V	matrices diagonales con entradas positivas reales (en orden descendente)	Descomposición de valor
Matrices sobre un campo algebraicamente cerrado	${displaystyle A=P^{-1}BP}$ para alguna matriz invertible P	Jordan normal form (up to reordering of blocks)
Matrices sobre un campo algebraicamente cerrado	${displaystyle A=P^{-1}BP}$ para alguna matriz invertible P	Forma canónica Weyr (hasta reordenamiento de bloques)
Matrices sobre un campo	${displaystyle A=P^{-1}BP}$ para alguna matriz invertible P	Forma normal Frobenius
Matrices sobre un dominio ideal principal	${displaystyle A=P^{-1}BQ}$ para algunas matrices invertibles P y Q	Forma normal de Smith	La equivalencia es la misma que permite transformaciones invertibles de filas primarias y columnas
Matrices sobre los enteros	${displaystyle A=UB$ para alguna matriz unimodular U	Forma normal hermita
Matrices sobre los enteros modulo n		Forma normal
Espacios vectoriales de dimensión finita sobre un campo K	A y B son isomorfos como espacios vectoriales	${displaystyle K^{n}$, n un entero no negativo

Álgebra

Geometría

En geometría analítica:

• La ecuación de una línea: Ax+Por=C, con A²+B²= 1 y C≥ 0
• La ecuación de un círculo: ${displaystyle (x-h)^{2}+(y-k)}=r^{2}$

Por el contrario, existen formas alternativas para escribir ecuaciones. Por ejemplo, la ecuación de una recta se puede escribir como una ecuación lineal en forma punto-pendiente y pendiente-intersección.

Los poliedros convexos se pueden poner en forma canónica de modo que:

• Todas las caras son planas,
• Todos los bordes son tangentes a la esfera de unidad, y
• El centroide del poliedro está en el origen.

Sistemas integrables

Cada variedad diferenciable tiene un paquete cotangente. Ese paquete siempre puede estar dotado de una determinada forma diferencial, llamada forma única canónica. Esta forma le da al paquete cotangente la estructura de una variedad simpléctica y permite integrar los campos vectoriales en la variedad mediante las ecuaciones de Euler-Lagrange o mediante la mecánica hamiltoniana. Estos sistemas de ecuaciones diferenciales integrables se denominan sistemas integrables.

Sistemas dinámicos

El estudio de los sistemas dinámicos se superpone con el de los sistemas integrables; ahí se tiene la idea de una forma normal (sistemas dinámicos).

Geometría tridimensional

En el estudio de variedades en tres dimensiones, se tiene la primera forma fundamental, la segunda forma fundamental y la tercera forma fundamental.

Análisis funcional

Objetos	A equivale a B si:	Forma normal
Hilbert espacios	Si A y B son ambos espacios Hilbert de dimensión infinita, entonces A y B son isométricamente isomorfos.	${displaystyle ell ^{2}(I)}$ espacios de secuencia (hasta el intercambio del índice I con otro índice de la misma cardenalidad)
Álgebras C* con unidad	A y B son isomorfos como C*-álgebras	El álgebra ${displaystyle C(X)}$ de funciones continuas en un espacio compacto Hausdorff, hasta el homeomorfismo del espacio base.

Lógica clásica

• Forma normal de negación
• Forma normal conjuntiva
• Forma normal disjuntiva
• Forma normal algebraica
• Forma normal prenexo
• Forma normal de Skolem
• Blake forma canónica, también conocida como la suma completa de los principales implicantes, la suma completa, o la forma principal disyuntiva

Teoría de conjuntos

• Forma normal de un número ordinal

Teoría de juegos

• Forma normal juego

Teoría de la prueba

• Forma normal (deducción natural)

Sistemas de reescritura

La manipulación simbólica de una fórmula de una forma a otra se llama "reescritura" de esa fórmula. Se pueden estudiar las propiedades abstractas de reescribir fórmulas genéricas, estudiando el conjunto de reglas mediante las cuales las fórmulas pueden manipularse válidamente. Estas son las "reglas de reescritura", una parte integral de un sistema de reescritura abstracto. Una pregunta común es si es posible llevar alguna expresión genérica a una forma única y común, la forma normal. Si diferentes secuencias de reescrituras aún dan como resultado la misma forma, entonces esa forma puede denominarse forma normal, y la reescritura se denomina confluente. No siempre es posible obtener una forma normal.

Cálculo lambda

• Un término de lambda está en forma normal beta si no es posible reducir beta; el cálculo de lambda es un caso particular de un sistema de reescritura abstracta. En el cálculo de lambda, por ejemplo, el término ${displaystyle (lambda x.(xx);lambda x.(xx)}$ no tiene una forma normal. En el cálculo de lambda tipo, cada término bien formado puede ser reescrito a su forma normal.

Teoría de grafos

En la teoría de grafos, una rama de las matemáticas, la canonización de grafos es el problema de encontrar una forma canónica de un grafo G dado. Una forma canónica es un gráfico etiquetado Canon(G) que es isomorfo a G, de modo que cada gráfico que es isomorfo a G tiene la misma forma canónica como G. Por lo tanto, a partir de una solución al problema de canonización de grafos, también se podría resolver el problema del isomorfismo de grafos: para probar si dos grafos G y H son isomorfos, calcule sus formas canónicas. Canon(G) y Canon(H), y pruebe si estas dos formas canónicas son idénticas.

Informática

En informática, la reducción de datos a cualquier tipo de forma canónica se denomina comúnmente normalización de datos.

Por ejemplo, la normalización de una base de datos es el proceso de organizar los campos y tablas de una base de datos relacional para minimizar la redundancia y la dependencia.

En el campo de la seguridad del software, una vulnerabilidad común es la entrada maliciosa no controlada (consulte Inyección de código). La mitigación de este problema es la validación de entrada adecuada. Antes de realizar la validación de la entrada, la entrada generalmente se normaliza eliminando la codificación (por ejemplo, codificación HTML) y reduciendo los datos de entrada a un único conjunto de caracteres común.

Otras formas de datos, normalmente asociadas con el procesamiento de señales (incluidos el audio y las imágenes) o el aprendizaje automático, se pueden normalizar para proporcionar un rango limitado de valores.

En la gestión de contenidos, el concepto de una única fuente de verdad (SSOT) es aplicable, al igual que en la normalización de bases de datos en general y en el desarrollo de software. Los sistemas de gestión de contenidos competentes ofrecen formas lógicas de obtenerlos, como por ejemplo la transclusión.