Filtración (matemáticas)

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En matemáticas, a filtración ${displaystyle {mathcal {F}}}$ es una familia indexada ${displaystyle (S_{i})_{iin I}}$ de subobjetos de una estructura algebraica dada ${displaystyle S}$ , con el índice ${displaystyle i}$ corriendo sobre un índice totalmente ordenado ${displaystyle I}$ , sujeto a la condición de que

{displaystyle ileq j}

dentro

{displaystyle I}

Entonces

{displaystyle S_{i}subseteq S_{j}}

Si el índice ${displaystyle i}$ es el parámetro de tiempo de algún proceso estocástico, entonces la filtración se puede interpretar como representa toda la información histórica pero no futura disponible sobre el proceso estocástico, con la estructura algebraica ${displaystyle S_{i}}$ ganando en complejidad con el tiempo. Por lo tanto, un proceso que se adapta a una filtración ${displaystyle {mathcal {F}}}$ también se llama no previstos, porque no puede "ver en el futuro".

A veces, como en un álgebra filtrada, hay en cambio el requisito de que ${displaystyle S_{i}}$ ser subalgebras con respecto a algunas operaciones (por ejemplo, adición vectorial), pero no con respecto a otras operaciones (por ejemplo, multiplicación) que satisfacen solamente ${displaystyle S_{i}cdot S_{j}subseteq S_{i+j}}$ , donde el conjunto índice es los números naturales; esto es por analogía con un álgebra de grado.

A veces, se supone que las filtraciones satisfacen el requisito adicional de que la unión del ${displaystyle S_{i}}$ todo el mundo ${displaystyle S}$ , o (en casos más generales, cuando la noción de unión no tiene sentido) que el homomorfismo canónico del límite directo del ${displaystyle S_{i}}$ a ${displaystyle S}$ es un isomorfismo. Si este requisito se asume o no generalmente depende del autor del texto y a menudo se declara explícitamente. Este artículo lo hace no imponer este requisito.

Hay también la noción de un filtración descendente, que se requiere para satisfacer ${displaystyle S_{i}supseteq S_{j}}$ en lugar de ${displaystyle S_{i}subseteq S_{j}}$ (y, ocasionalmente, ${displaystyle bigcap _{iin I}S_{i}=0}$ en lugar de ${displaystyle bigcup _{iin I}S_{i}=S}$ ). De nuevo, depende del contexto de cómo debe entenderse exactamente la palabra "filtración". Las filtraciones descendentes no deben confundirse con la noción dual de cofiltraciones (que consisten en objetos cocientes en lugar de subobjetos).

Las filtraciones se utilizan ampliamente en álgebra abstracta, álgebra homológica (donde se relacionan de manera importante con secuencias espectrales) y en teoría de medidas y teoría de probabilidad para secuencias anidadas de σ-álgebras. En el análisis funcional y el análisis numérico se suele utilizar otra terminología, como escala de espacios o espacios anidados.

Ejemplos

SETS

secuencia de comida

álgebra

Álgebras

Ver: Álgebra filtrada

grupos

En álgebra, las filtraciones son generalmente indexadas por ${displaystyle mathbb {N} }$ , el conjunto de números naturales. A filtración de un grupo ${displaystyle G}$ , es entonces una secuencia anidada ${displaystyle G_{n}}$ de subgrupos normales ${displaystyle G}$ (es decir, para cualquier ${displaystyle n}$ tenemos ${displaystyle G_{n+1}subseteq G_{n}}$ ). Tenga en cuenta que este uso de la palabra "filtración" corresponde a nuestra "filtración descendente".

Dado un grupo ${displaystyle G}$ y una filtración ${displaystyle G_{n}}$ , hay una manera natural de definir una topología en ${displaystyle G}$ , dijo que asociado a la filtración. Una base para esta topología es el conjunto de todos los cosets de subgrupos que aparecen en la filtración, es decir, un subconjunto de ${displaystyle G}$ se define como abierto si es una unión de conjuntos de la forma ${displaystyle aG_{n}}$ , donde ${displaystyle ain G}$ y ${displaystyle n}$ es un número natural.

La topología asociada a una filtración en un grupo ${displaystyle G}$ # ${displaystyle G}$ en un grupo topológico.

La topología asociada a una filtración ${displaystyle G_{n}}$ sobre un grupo ${displaystyle G}$ es Hausdorff si y sólo si ${displaystyle bigcap G_{n}={1}}$ .

Si dos filtraciones ${displaystyle G_{n}}$ y ${displaystyle G'_{n}}$ se definen en un grupo ${displaystyle G}$ , entonces el mapa de identidad de ${displaystyle G}$ a ${displaystyle G}$ , donde la primera copia de ${displaystyle G}$ se da el ${displaystyle G_{n}}$ -topología y la segunda ${displaystyle G'_{n}}$ -topología, es continua si y sólo si para cualquier ${displaystyle n}$ hay un ${displaystyle m}$ tales que ${displaystyle G_{m}subseteq G'_{n}}$ , es decir, si y sólo si el mapa de identidad es continuo en 1. En particular, las dos filtraciones definen la misma topología si y sólo si para cualquier subgrupo que aparece en uno hay una menor o igual que aparece en el otro.

Anillos y módulos: filtraciones descendentes

Dado un anillo ${displaystyle R}$ y un ${displaystyle R}$ - módulo ${displaystyle M}$ , a filtración descendente de ${displaystyle M}$ es una secuencia decreciente de los submódulos ${displaystyle M_{n}}$ . Por lo tanto, es un caso especial de la noción para grupos, con la condición adicional de que los subgrupos sean submódulos. La topología asociada se define como para grupos.

Un caso especial importante se conoce como el ${displaystyle I}$ - topología médica (o ${displaystyle J}$ -adic, etc. Vamos. ${displaystyle R}$ ser un anillo conmutativo, y ${displaystyle I}$ un ideal ${displaystyle R}$ . Dado un ${displaystyle R}$ - módulo ${displaystyle M}$ , la secuencia ${displaystyle I^{n}M}$ of submodules of ${displaystyle M}$ formas una filtración de ${displaystyle M}$ ( ${displaystyle I}$ - filtración adictiva). El ${displaystyle I}$ - topología médica on ${displaystyle M}$ es entonces la topología asociada a esta filtración. Si ${displaystyle M}$ es sólo el anillo ${displaystyle R}$ en sí mismo, hemos definido el ${displaystyle I}$ - topología médica on ${displaystyle R}$ .

Cuando ${displaystyle R}$ se da el ${displaystyle I}$ - topología médica, ${displaystyle R}$ se convierte en un anillo topológico. Si ${displaystyle R}$ - módulo ${displaystyle M}$ se da entonces ${displaystyle I}$ - topología médica, se convierte en una topológica ${displaystyle R}$ - módulo, relativa a la topología dada ${displaystyle R}$ .

Anillos y módulos: filtraciones ascendentes

Dado un anillo ${displaystyle R}$ y un ${displaystyle R}$ - módulo ${displaystyle M}$ , un Filtración ascendente de ${displaystyle M}$ es una secuencia creciente de submódulos ${displaystyle M_{n}}$ . En particular, si ${displaystyle R}$ es un campo, luego una filtración ascendente de la ${displaystyle R}$ - Espacio de vehículos ${displaystyle M}$ es una secuencia creciente de subespacios vectoriales de ${displaystyle M}$ . Las banderas son una clase importante de tales filtraciones.

Conjuntos

Una filtración máxima de un conjunto es equivalente a un pedido (una permutación) del conjunto. Por ejemplo, la filtración ${displaystyle {0}subseteq {0,1}subseteq {0,1,2}}$ corresponde a la orden ${displaystyle (0,1,2)}$ . Desde el punto de vista del campo con un elemento, un pedido en un conjunto corresponde a una bandera máxima (una filtración en un espacio vectorial), considerando que un conjunto es un espacio vectorial sobre el campo con un elemento.

Teoría de la medida

En la teoría de medida, en particular en la teoría del martingale y la teoría de los procesos estocásticos, una filtración es una secuencia creciente de ${displaystyle sigma }$ - álgebras en un espacio mensurable. Es decir, dado un espacio mensurable ${displaystyle (Omega{mathcal {F}})}$ , una filtración es una secuencia de ${displaystyle sigma }$ - álgebras ${displaystyle {{mathcal {F}}_{t}}_{tgeq 0}}$ con ${displaystyle {mathcal {F}}_{t}subseteq {mathcal {F}}}$ donde cada ${displaystyle t}$ es un número real no negativo y

{displaystyle t_{1}leq t_{2}implies {mathcal {F}}_{t_{1}}subseteq {mathcal {F}}_{t_{2}}.}

El rango exacto de los "tiempos" ${displaystyle t}$ dependerá generalmente del contexto: el conjunto de valores para ${displaystyle t}$ puede ser discreto o continuo, atado o sin límites. Por ejemplo,

{displaystyle tin {0,1,dotsN},mathbb {N} _{0},[0,T]{mbox{ or }}[0,+infty).}

Análogamente, a espacio de probabilidad filtrado (también conocido como base estocástica) ${displaystyle left(Omega{mathcal {F}},left{{mathcal {F}}_{t}right}_{tgeq 0},mathbb {P} right)}$ , es un espacio de probabilidad equipado con la filtración ${displaystyle left{{mathcal {F}}_{t}right}_{tgeq 0}}$ de su ${displaystyle sigma }$ - álgebra ${displaystyle {mathcal {F}}}$ . Se dice que un espacio de probabilidad filtrado satisface el condiciones habituales si está completo (es decir, ${displaystyle {mathcal {F}}_{0}}$ contiene todo ${displaystyle mathbb {P} }$ - conjuntos nulos) y derecho continuo (es decir, $t}{mathcal {F}}_{s}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Ft=Ft+:=⋂ ⋂ s■tFs{fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnh} {\fnMicrosoft} {f}}} {f}}} {f}}} {fnMicrosoft} {f}}} {f}} {F}_{t+}:= - ¿Qué? {F}_{s}t}{mathcal {F}}_{s}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a2ad0b8a2adbb471a06c8fb3981417f825d5fa3" style="vertical-align: -3.005ex; width:18.821ex; height:5.509ex;"/>$ para todos los tiempos ${displaystyle t}$ ).

También es útil (en el caso de un conjunto de índices sin límites) para definir ${displaystyle {mathcal {F}}_{infty }}$ como ${displaystyle sigma }$ -Álgebra generada por la unión infinita del ${displaystyle {mathcal {F}}_{t}}$ 's, que está contenida en ${displaystyle {mathcal {F}}}$ :

{displaystyle {mathcal {F}}_{infty }=sigma left(bigcup _{tgeq 0}{mathcal {F}}_{t}right)subseteq {mathcal {F}}.}

A σ- álgebra define el conjunto de eventos que se pueden medir, que en un contexto de probabilidad es equivalente a eventos que pueden ser discriminados, o "preguntas que pueden ser respondidas a tiempo ${displaystyle t}$ ". Por lo tanto, una filtración se utiliza a menudo para representar el cambio en el conjunto de eventos que se pueden medir, mediante ganancia o pérdida de información. Un ejemplo típico es en la financiación matemática, donde una filtración representa la información disponible hasta e incluyendo cada vez ${displaystyle t}$ , y es más y más preciso (el conjunto de eventos mensurables se mantiene igual o creciente) ya que se dispone de más información de la evolución del precio de stock.

Relación a tiempos de parada: tiempo de parada sigma-álgebras

Vamos. ${displaystyle left(Omega{mathcal {F}},left{{mathcal {F}}_{t}right}_{tgeq 0},mathbb {P} right)}$ ser un espacio de probabilidad filtrado. Una variable aleatoria ${displaystyle tau:Omega rightarrow [0,infty ]}$ es un tiempo de parada con respecto a la filtración ${displaystyle left{{mathcal {F}}_{t}right}_{tgeq 0}}$ , si ${displaystyle {tau leq t}in {mathcal {F}}_{t}}$ para todos ${displaystyle tgeq 0}$ . El Parar el tiempo ${displaystyle sigma }$ - Álgebra ahora se define como

{displaystyle {mathcal {F}}_{tau }:={Ain {mathcal {F}}vert forall tgeq 0colon Acap {tau leq t}in {mathcal {F}}_{t}}}

No es difícil demostrar que ${displaystyle {mathcal {F}}_{tau }}$ es ciertamente un ${displaystyle sigma }$ - álgebra. El set ${displaystyle {mathcal {F}}_{tau }}$ codifica información hasta el al azar tiempo ${displaystyle tau }$ en el sentido de que, si el espacio de probabilidad filtrado se interpreta como un experimento aleatorio, la información máxima que se puede encontrar sobre él desde la repetición arbitrariamente a menudo el experimento hasta el tiempo aleatorio ${displaystyle tau }$ es ${displaystyle {mathcal {F}}_{tau }}$ . En particular, si el espacio de probabilidad subyacente es finito (es decir, ${displaystyle {mathcal {F}}}$ es finito), los conjuntos mínimos de ${displaystyle {mathcal {F}}_{tau }}$ (con respecto a la inclusión establecida) son dadas por el sindicato sobre todo ${displaystyle tgeq 0}$ de los conjuntos de conjuntos mínimos ${displaystyle {mathcal {F}}_{t}}$ que mienten ${displaystyle {tau =t}}$ .

Se puede demostrar que ${displaystyle tau }$ es ${displaystyle {mathcal {F}}_{tau }}$ - Medible. Sin embargo, ejemplos simples muestran que, en general, ${displaystyle sigma (tau)neq {mathcal {F}}_{tau }}$ . Si ${displaystyle tau _{1}}$ y ${displaystyle tau _{2}}$ están parando los tiempos ${displaystyle left(Omega{mathcal {F}},left{{mathcal {F}}_{t}right}_{tgeq 0},mathbb {P} right)}$ , y ${displaystyle tau _{1}leq tau _{2}}$ casi seguro, entonces ${displaystyle {mathcal {F}}_{tau _{1}}subseteq {mathcal {F}}_{tau _{2}}.}$

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