Familia de conjuntos

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Cualquier colección de conjuntos o subconjuntos de un conjunto

En la teoría de conjuntos y ramas relacionadas de las matemáticas, a familia (o colección) puede significar, dependiendo del contexto, cualquiera de los siguientes: conjunto, conjunto indexado, multiset o clase. Una colección ${displaystyle F}$ de subconjuntos de un conjunto dado ${displaystyle S}$ se llama familia de subconjuntos de ${displaystyle S}$ , o un familia de juegos sobre ${displaystyle S.}$ Más generalmente, una colección de cualquier conjunto se llama un familia de juegos, familia, o un sistema establecido. Además, una familia de conjuntos puede definirse como una función de un conjunto ${displaystyle I}$ , conocido como el conjunto índice, a ${displaystyle F}$ , en cuyo caso los conjuntos de la familia son indexados por miembros de ${displaystyle I}$ . En algunos contextos, se puede permitir a una familia de conjuntos contener copias repetidas de cualquier miembro dado, y en otros contextos puede formar una clase adecuada.

Una familia finita de subconjuntos de un conjunto finito ${displaystyle S}$ también se llama hipergrafía. El tema de la teoría extremal conjunto se refiere a los ejemplos más grandes y más pequeños de familias de conjuntos que satisfacen ciertas restricciones.

Ejemplos

El conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado ${displaystyle S}$ se llama el conjunto de poder ${displaystyle S}$ y es denotado por ${displaystyle wp (S).}$ El sistema de energía ${displaystyle wp (S)}$ de un determinado conjunto ${displaystyle S}$ es una familia de conjuntos ${displaystyle S.}$

Un subconjunto ${displaystyle S}$ teniendo ${displaystyle k}$ elementos se llama ${displaystyle k}$ - Subset de ${displaystyle S.}$ El ${displaystyle k}$ - Subsets ${displaystyle S^{(k)}}$ de un conjunto ${displaystyle S}$ formar una familia de juegos.

Vamos. ${displaystyle S={a,b,c,1,2}.}$ Un ejemplo de familia de conjuntos ${displaystyle S}$ (en el sentido multiset) es dado por ${displaystyle F=left{A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}right},}$ Donde ${displaystyle A_{1}={a,b,c},A_{2}={1,2},A_{3}={1,2},}$ y ${displaystyle A_{4}={a,b,1}.}$

La clase ${displaystyle operatorname {Ord} }$ de todos los números ordinal es un grande familia de juegos. Es decir, no es en sí mismo un conjunto, sino una clase adecuada.

Propiedades

Cualquier familia de subconjuntos de un conjunto ${displaystyle S}$ es en sí mismo un subconjunto del sistema de poder ${displaystyle wp (S)}$ si no tiene miembros repetidos.

Cualquier familia de conjuntos sin repeticiones es una subclase de la clase propia de todos los conjuntos (el universo).

El teorema del matrimonio de Hall, debido a Philip Hall, da las condiciones necesarias y suficientes para que una familia finita de conjuntos no vacíos (se permiten repeticiones) tenga un sistema de representantes distintos.

Si ${displaystyle {mathcal {F}}}$ es cualquier familia de conjuntos entonces ${displaystyle cup {mathcal {F}}:={textstyle bigcup limits _{Fin {mathcal {F}}}}F}$ denota la unión de todos los grupos en ${displaystyle {mathcal {F}},}$ en particular, ${displaystyle cup varnothing =varnothing.}$ Cualquier familia ${displaystyle {mathcal {F}}}$ de conjuntos es una familia ${displaystyle cup {mathcal {F}}}$ y también una familia sobre cualquier superset de ${displaystyle cup {mathcal {F}}.}$

Conceptos relacionados

Ciertos tipos de objetos de otras áreas de las matemáticas son equivalentes a familias de conjuntos, en el sentido de que pueden describirse puramente como una colección de conjuntos de objetos de algún tipo:

Un hipergrafo, también llamado sistema conjunto, está formado por un conjunto de vértices junto con otro conjunto de hiperedges, cada uno de los cuales puede ser un conjunto arbitrario. Las hiperedges de un hipergraph forman una familia de conjuntos, y cualquier familia de conjuntos se puede interpretar como un hipergrafo que tiene la unión de los conjuntos como sus vértices.
Un complejo simplicial abstracto es una abstracción combinatorial de la noción de un complejo simplicial, una forma forma formada por sindicatos de segmentos de línea, triángulos, tetrahedra y simplices de mayor dimensión, unidos cara a cara. En un complejo simplicial abstracto, cada simplex se representa simplemente como el conjunto de sus vértices. Cualquier familia de conjuntos finitos sin repeticiones en las que los subconjuntos de cualquier conjunto en la familia también pertenecen a la familia forma un complejo simplicial abstracto.
Una estructura de incidencia consiste en un conjunto de puntos, un conjunto de líneas, y una relación binaria (arbitraria), llamada incidencia, especificando qué puntos pertenecen a qué líneas. Una estructura de incidencia puede ser especificada por una familia de conjuntos (incluso si dos líneas distintas contienen el mismo conjunto de puntos), los conjuntos de puntos pertenecientes a cada línea, y cualquier familia de conjunto puede interpretarse como una estructura de incidencia de esta manera.
Un código de bloque binario consiste en un conjunto de palabras clave, cada una de las cuales es una cadena de 0s y 1s, toda la misma longitud. Cuando cada par de palabras clave tiene gran distancia Hamming, se puede utilizar como un código de corrección de errores. Un código de bloques también se puede describir como una familia de conjuntos, describiendo cada palabra clave como el conjunto de posiciones en las que contiene un 1.
Un espacio topológico consiste en un par ${displaystyle (X,tau)}$ Donde ${displaystyle X}$ es un conjunto (cuyos elementos se llaman puntos) y ${displaystyle tau }$ es un topología on ${displaystyle X,}$ que es una familia de conjuntos (cuyos elementos se llaman juegos abiertos. ${displaystyle X}$ que contiene tanto el conjunto vacío ${displaystyle varnothing }$ y ${displaystyle X}$ en sí mismo, y está cerrado bajo uniones establecidas arbitrarias y intersecciones establecidas finitas.

Cubiertas y topologías

Una familia de juegos se dice a cubierta un conjunto ${displaystyle X}$ si cada punto ${displaystyle X}$ pertenece a algún miembro de la familia. Una subfamilia de una cubierta ${displaystyle X}$ que es también una cubierta ${displaystyle X}$ se llama subcover. Una familia se llama colección punto-finito si cada punto ${displaystyle X}$ yace en sólo finitamente muchos miembros de la familia. Si cada punto de una cubierta se encuentra en exactamente un miembro, la cubierta es una partición ${displaystyle X.}$

Cuando ${displaystyle X}$ es un espacio topológico, una cubierta cuyos miembros son todos conjuntos abiertos se llama un cubierta abierta. Una familia se llama localmente finito si cada punto en el espacio tiene un vecindario que intersecta sólo finitamente a muchos miembros de la familia. A σ-locally finite o colección contablemente finita local es una familia que es la unión de muchas familias localmente finitas.

Una cubierta ${displaystyle {mathcal {F}}}$ se dice que refinería otra cubierta (más gruesa) ${displaystyle {mathcal {C}}}$ si cada miembro de ${displaystyle {mathcal {F}}}$ está contenido en algunos miembros ${displaystyle {mathcal {C}}.}$ A refinamiento de estrellas es un tipo particular de refinamiento.

Tipos especiales de familias de conjuntos

Una familia Sperner es una familia de conjuntos en la que ninguno de los conjuntos contiene a los demás. El teorema de Sperner limita el tamaño máximo de una familia de Sperner.

A Familia helly es una familia establecida tal que cualquier subfamilia mínima con intersección vacía tiene tamaño limitado. El teorema de Helly afirma que el convexo se establece en espacios euclidianos de dimensión atada forma familias helly.

An complejo simplicial abstracto es una familia establecida ${displaystyle F}$ (consistiendo en conjuntos finitos) que está cerrado hacia abajo; es decir, cada subconjunto de un conjunto en ${displaystyle F}$ también está ${displaystyle F.}$ A Matroid es un complejo simplicial abstracto con una propiedad adicional llamada bienes de aumento.

Cada filtro es una familia de conjuntos.

Un espacio de convexidad es una familia de conjuntos cerrados bajo intersecciones y uniones arbitrarias de cadenas (con respecto a la relación de inclusión).

Otros ejemplos de familias establecidas son los sistemas de independencia, los codiciosos, los antimatroides y los espacios bornológicos.

Familia ${displaystyle {mathcal {F}}}$ de conjuntos sobre ${displaystyle Omega }$ v t e
Es necesariamente cierto ${displaystyle {mathcal {F}}colon }$ o, es ${displaystyle {mathcal {F}}}$ cerrado bajo:	Dirigida por ${displaystyle ,supseteq }$	${displaystyle Acap B}$	${displaystyle Acup B}$	${displaystyle Bsetminus A}$	${displaystyle Omega setminus A}$	${displaystyle A_{1}cap A_{2}cap cdots }$	${displaystyle A_{1}cup A_{2}cup cdots }$	${displaystyle Omega in {mathcal {F}}}$	${displaystyle varnothing in {mathcal {F}}}$	F.I.P.
π-system
Semiring										Nunca
Semialgebra (Semifield)										Nunca
Clase Monotone						sólo si ${displaystyle A_{i}searrow }$	sólo si ${displaystyle A_{i}nearrow }$
λ-system (Dynkin System)				sólo si ${displaystyle Asubseteq B}$			sólo si ${displaystyle A_{i}nearrow }$ o están descompuestos			Nunca
Anillo (teoría del orden)
Anillo (Teoría del Medido)										Nunca
δ-Ring										Nunca
σ-Ring										Nunca
Álgebra (Field)										Nunca
σ-Algebra (σ-Field)										Nunca
Doble ideal
Filtro				Nunca	Nunca				${displaystyle varnothing not in {mathcal {F}}}$
Prefiltro (Filter base)				Nunca	Nunca				${displaystyle varnothing not in {mathcal {F}}}$
Subbase de filtro				Nunca	Nunca				${displaystyle varnothing not in {mathcal {F}}}$
Open Topology							(even arbitrary ${displaystyle cup }$ )			Nunca
Topología cerrada						(even arbitrary ${displaystyle cap }$ )				Nunca
Es necesariamente cierto ${displaystyle {mathcal {F}}colon }$ o, es ${displaystyle {mathcal {F}}}$ cerrado bajo:	hacia abajo	finito intersecciones	finito sindicatos	relativo complementos	complementos dentro ${displaystyle Omega }$	contable intersecciones	contable sindicatos	contiene ${displaystyle Omega }$	contiene ${displaystyle varnothing }$	FiniteIntersection Propiedad
Adicionalmente, a *semiárea* es un sistema π donde cada complemento ${displaystyle Bsetminus A}$ es igual a una unión descomunal finita ${displaystyle {mathcal {F}}.}$ A *semialgebra* es un semiring donde cada complemento ${displaystyle Omega setminus A}$ es igual a una unión descomunal finita ${displaystyle {mathcal {F}}.}$ ${displaystyle A,B,A_{1},A_{2},ldots }$ son elementos arbitrarios ${displaystyle {mathcal {F}}}$ y se supone que ${displaystyle {mathcal {F}}neq varnothing.}$

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