Extrapolación

En matemáticas, la extrapolación es un tipo de estimación, más allá del rango de observación original, del valor de una variable en función de su relación con otra variable. Es similar a la interpolación, que produce estimaciones entre observaciones conocidas, pero la extrapolación está sujeta a una mayor incertidumbre y a un mayor riesgo de producir resultados sin sentido. La extrapolación también puede significar la extensión de un método, suponiendo que sean aplicables métodos similares. La extrapolación también puede aplicarse a la experiencia humana para proyectar, extender o expandir la experiencia conocida en un área no conocida o experimentada previamente para llegar a un conocimiento (generalmente conjetural) de lo desconocido (por ejemplo, un conductor extrapola las condiciones de la carretera más allá de su vista mientras conduce).). El método de extrapolación se puede aplicar en el problema de reconstrucción interior.

Métodos

Una buena elección sobre qué método de extrapolación aplicar se basa en el conocimiento a priori del proceso que creó los puntos de datos existentes. Algunos expertos han propuesto el uso de fuerzas causales en la evaluación de métodos de extrapolación. Las preguntas cruciales son, por ejemplo, si se puede suponer que los datos son continuos, fluidos, posiblemente periódicos, etc.

Lineal

La extrapolación lineal significa crear una línea tangente al final de los datos conocidos y extenderla más allá de ese límite. La extrapolación lineal sólo proporcionará buenos resultados cuando se utiliza para ampliar la gráfica de una función aproximadamente lineal o no mucho más allá de los datos conocidos.

Si los dos datos apuntan más cerca del punto ${displaystyle #$ para ser extrapolados ${displaystyle (x_{k-1},y_{k-1}}$ y ${displaystyle (x_{k},y_{k}}$, extrapolación lineal da la función:

${displaystyle y(x_{*}=y_{k-1}+{frac {x_{*}-x_{k-1} {x_{k}-x_{k-1}(y_{k}-y_{k-1}).}$

(que es idéntica a la interpolación lineal si ${displaystyle x_{k-1}$). Es posible incluir más de dos puntos, y promediar la pendiente del interpolante lineal, por técnicas similares a la regresión, en los puntos de datos elegidos para ser incluidos. Esto es similar a la predicción lineal.

Polinomio

Se puede crear una curva polinómica a través de todos los datos conocidos o cerca del final (dos puntos para extrapolación lineal, tres puntos para extrapolación cuadrática, etc.). La curva resultante puede entonces extenderse más allá del final de los datos conocidos. La extrapolación polinomial generalmente se realiza mediante la interpolación de Lagrange o utilizando el método de diferencias finitas de Newton para crear una serie de Newton que se ajuste a los datos. El polinomio resultante se puede utilizar para extrapolar los datos.

La extrapolación polinómica de alto orden debe utilizarse con el debido cuidado. Para el conjunto de datos de ejemplo y el problema de la figura anterior, cualquier valor superior al orden 1 (extrapolación lineal) posiblemente producirá valores inutilizables; una estimación de error del valor extrapolado crecerá con el grado de extrapolación polinomial. Esto está relacionado con el fenómeno de Runge.

Cónica

Se puede crear una sección cónica utilizando cinco puntos cerca del final de los datos conocidos. Si la sección cónica creada es una elipse o un círculo, al extrapolarla retrocederá y se volverá a unir. Una parábola o hipérbola extrapolada no se volverá a unir a sí misma, pero puede curvarse hacia atrás con respecto al eje X. Este tipo de extrapolación podría realizarse con una plantilla de secciones cónicas (en papel) o con una computadora.

Curva francesa

La extrapolación de la curva francesa es un método adecuado para cualquier distribución que tenga tendencia a ser exponencial, pero con factores de aceleración o desaceleración. Este método se ha utilizado con éxito para proporcionar proyecciones de pronóstico del crecimiento del VIH/SIDA en el Reino Unido desde 1987 y de la variante de la ECJ en el Reino Unido durante varios años. Otro estudio ha demostrado que la extrapolación puede producir la misma calidad de resultados de pronóstico que estrategias de pronóstico más complejas.

Extrapolación geométrica con predicción de errores

Se puede crear con 3 puntos de una secuencia y el "momento" o "índice", este tipo de extrapolación tiene un 100% de precisión en las predicciones en un gran porcentaje de bases de datos de series conocidas (OEIS).

Ejemplo de extrapolación con predicción de errores:

secuencia = [1,2,3,5]

f1(x,y) = (x) / y

d1 = f1 (3,2)

d2 = f1 (5,3)

m = última secuencia (5)

n = última $ última secuencia

fnos (m,n,d1,d2) = ronda (((n * d1) - m) + (m * d2))

redondo $ ((3*1.66)-5) + (5*1.6) = 8

Calidad

Normalmente, la calidad de un método particular de extrapolación está limitada por las suposiciones sobre la función realizadas por el método. Si el método supone que los datos son fluidos, entonces una función no uniforme se extrapolará mal.

En términos de series temporales complejas, algunos expertos han descubierto que la extrapolación es más precisa cuando se realiza mediante la descomposición de fuerzas causales.

Incluso para suposiciones correctas sobre la función, la extrapolación puede diferir severamente de la función. El ejemplo clásico son las representaciones en series de potencias truncadas de sin(x) y funciones trigonométricas relacionadas. Por ejemplo, tomando solo datos cercanos a x = 0, podemos estimar que la función se comporta como sin(x) ~ x. En el entorno de x = 0, esta es una estimación excelente. Sin embargo, lejos de x = 0, la extrapolación se aleja arbitrariamente del eje x mientras sin(x) permanece en el intervalo [−1, 1]. Es decir, el error aumenta sin límite.

Tomar más términos en la serie de potencias de sin(x) alrededor de x = 0 producirá una mejor concordancia en un intervalo mayor cerca de x = 0, pero producirá extrapolaciones que eventualmente se alejarán del eje x incluso más rápido que la aproximación lineal.

Esta divergencia es una propiedad específica de los métodos de extrapolación y solo se evita cuando las formas funcionales asumidas por el método de extrapolación (inadvertida o intencionalmente debido a información adicional) representan con precisión la naturaleza de la función que se extrapola. Para problemas particulares, esta información adicional puede estar disponible, pero en el caso general, es imposible satisfacer todos los comportamientos funcionales posibles con un conjunto pequeño y viable de comportamientos potenciales.

En el plano complejo

En un análisis complejo, un problema de extrapolación puede convertirse en un problema de interpolación por el cambio de variable ${displaystyle {hat {z}=1/z}$. Esto transforma la parte del plano complejo dentro del círculo de la unidad con la parte del plano complejo fuera del círculo de la unidad. En particular, el punto de compactación en el infinito se mapea al origen y viceversa. Sin embargo, se debe tener cuidado con esta transformación, ya que la función original puede haber tenido "características", por ejemplo polos y otras singularidades, en la infinidad que no eran evidentes de los datos muestreados.

Otro problema de extrapolación está vagamente relacionado con el problema de la continuación analítica, donde (típicamente) una representación en serie de potencias de una función se expande en uno de sus puntos de convergencia para producir una serie de potencias con un radio de convergencia mayor. De hecho, se utiliza un conjunto de datos de una región pequeña para extrapolar una función a una región más grande.

Nuevamente, la continuación analítica puede verse frustrada por características funcionales que no eran evidentes a partir de los datos iniciales.

Además, se pueden utilizar transformaciones de secuencia como aproximantes de Padé y transformaciones de secuencia de tipo Levin como métodos de extrapolación que conducen a una suma de series de potencias que son divergentes fuera del radio de convergencia original. En este caso, a menudo se obtiene aproximantes racionales.

Rápida

Los datos extrapolados a menudo se convierten en una función del núcleo. Después de extrapolar los datos, el tamaño de los datos aumenta N veces, aquí N es aproximadamente 2-3. Si es necesario convertir estos datos en una función del núcleo conocida, los cálculos numéricos aumentarán N log(N) veces incluso con la rápida transformada de Fourier (FFT). Existe un algoritmo que calcula analíticamente la contribución de la parte de los datos extrapolados. El tiempo de cálculo se puede omitir en comparación con el cálculo de convolución original. Por lo tanto, con este algoritmo los cálculos de una convolución utilizando los datos extrapolados casi no aumentan. Esto se conoce como extrapolación rápida. La rápida extrapolación se ha aplicado a la reconstrucción de imágenes por TC.

Argumentos de extrapolación

Los argumentos de extrapolación son argumentos informales y no cuantificados que afirman que algo es probablemente cierto más allá del rango de valores para los cuales se sabe que es cierto. Por ejemplo, creemos en la realidad de lo que vemos a través de lupas porque concuerda con lo que vemos a simple vista pero se extiende más allá; creemos en lo que vemos a través de microscopios ópticos porque concuerda con lo que vemos a través de lupas pero se extiende más allá; y lo mismo ocurre con los microscopios electrónicos. Estos argumentos se utilizan ampliamente en biología para extrapolar estudios en animales a humanos y estudios piloto a una población más amplia.

Al igual que los argumentos de pendiente resbaladiza, los argumentos de extrapolación pueden ser fuertes o débiles dependiendo de factores como hasta qué punto la extrapolación va más allá del rango conocido.