Expresión (matemáticas)

En matemáticas, una expresión o expresión matemática es una combinación finita de símbolos que está bien formada según reglas que dependen del contexto. Los símbolos matemáticos pueden designar números (constantes), variables, operaciones, funciones, paréntesis, puntuación y agrupaciones para ayudar a determinar el orden de las operaciones y otros aspectos de la sintaxis lógica.

Muchos autores distinguen una expresión de una fórmula, el anterior denotar un objeto matemático, y el último denotar una declaración sobre objetos matemáticos. Por ejemplo, ${displaystyle 8x-5}$ es una expresión, mientras ${displaystyle 8x-5geq 5x-8}$ es una fórmula. Sin embargo, en las matemáticas modernas, y en particular en el álgebra de la computadora, las fórmulas se ven como expresiones que se pueden evaluar para verdadero o falso, dependiendo de los valores que se dan a las variables que ocurren en las expresiones. Por ejemplo ${displaystyle 8x-5geq 5x-8}$ toma el valor falso si x se da un valor inferior a –1, y el valor verdadero de lo contrario.

Ejemplos

El uso de expresiones va desde lo simple:

${displaystyle 3+8}$

${displaystyle 8x-5}$ (polónomio lineal)

${displaystyle 7{x}}+4x-10}$ (polinomio acuático)

${displaystyle {frac {x-1}{x}{2}+12}}$ (Fracción racional)

al complejo:

${displaystyle f(a)+sum _{k=1}n}left.{frac {1}{k}} {frac {d^{k}{dt}}}}justo para la vida_{t=0}int _{0}{1}{1}{frac {n} {n}{n}}{n} {frac {d^{n+1}}}{dt}{n+1}} {n+1}}} {n} {n} {n}}}} {}}}}} {}}}}}} {}}}}}}} {n}} {n}}}}}}}}}}} {n}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}} {}}}}} {}}} {} {}}}}} {n}} {}}}}}}}}}}}} {n}} {n}}}}}}} {n}}}}}}}}}}}}}}}} {n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {$

Sintaxis versus semántica

Sintaxis

Una expresión es una construcción sintáctica. Debe estar bien formado: los operadores permitidos deben tener el número correcto de entradas en los lugares correctos, los caracteres que componen estas entradas deben ser válidos, tener un orden claro de operaciones, etc. Cadenas de símbolos que violan las reglas de La sintaxis no está bien formada y no son expresiones matemáticas válidas.

Por ejemplo, en la notación habitual de la aritmética, la expresión 1 + 2 × 3 está bien formada, pero la siguiente expresión no lo está:

${displaystyle times 4)x+,/y}$.

Semántica

La semántica es el estudio del significado. La semántica formal consiste en dar significado a las expresiones.

En álgebra, se puede usar una expresión para designar un valor, que podría depender de los valores asignados a las variables que aparecen en la expresión. La determinación de este valor depende de la semántica adjunta a los símbolos de la expresión. La elección de la semántica depende del contexto de la expresión. La misma expresión sintáctica 1 + 2 × 3 puede tener diferentes valores (matemáticamente 7, pero también 9), dependiendo del orden de las operaciones implicado por el contexto (Ver también Operaciones § Calculadoras).

Las reglas semánticas pueden declarar que ciertas expresiones no designan ningún valor (por ejemplo, cuando involucran división por 0); tales expresiones se dice que tienen un valor indefinido, pero son expresiones bien formadas sin embargo. En general, el significado de las expresiones no se limita a designar valores; por ejemplo, una expresión podría designar una condición, o una ecuación que se va a resolver, o puede ser vista como un objeto en su propio derecho que puede ser manipulado según ciertas reglas. Ciertas expresiones que designan un valor simultáneamente expresan una condición que se supone que tiene, por ejemplo, aquellas que involucran al operador ${displaystyle oplus }$ para designar una suma interna directa.

Lenguajes formales y cálculo lambda

Los lenguajes formales permiten formalizar el concepto de expresiones bien formadas.

En la década de 1930, Alonzo Church y Stephen Kleene introdujeron un nuevo tipo de expresiones, llamadas expresiones lambda, para formalizar funciones y su evaluación. Forman la base del cálculo lambda, un sistema formal utilizado en lógica matemática y la teoría de los lenguajes de programación.

La equivalencia de dos expresiones lambda es indecidible. Este también es el caso de las expresiones que representan números reales, que se construyen a partir de números enteros utilizando las operaciones aritméticas, el logaritmo y la exponencial (teorema de Richardson).

Variables

Muchas expresiones matemáticas incluyen variables. Cualquier variable se puede clasificar como variable libre o variable ligada.

Para una combinación dada de valores de las variables libres, se puede evaluar una expresión, aunque para algunas combinaciones de valores de las variables libres, el valor de la expresión puede no estar definido. Así, una expresión representa una función cuyas entradas son los valores asignados a las variables libres y cuya salida es el valor resultante de la expresión.

Por ejemplo, la expresión

${displaystyle x/y}$

evaluado para x = 10, y = 5, dará 2; pero no está definido para y = 0.

La evaluación de una expresión depende de la definición de los operadores matemáticos y del sistema de valores que es su contexto.

Se dice que dos expresiones son equivalentes si, para cada combinación de valores de las variables libres, tienen el mismo resultado, es decir, representan la misma función. Ejemplo:

La expresión

${displaystyle sum _{n=1}{3}(2nx)}$

tiene una variable libre x, una variable vinculada n, constantes 1, 2 y 3, dos apariciones de un operador de multiplicación implícito y un operador de suma. La expresión es equivalente a la expresión más simple 12x. El valor de x = 3 es 36.