Eversión de la esfera

En topología diferencial, eversión de esfera es el proceso de girar una esfera al revés en un espacio tridimensional (la palabra eversión significa "dar la vuelta al revés" #34;). Sorprendentemente, es posible girar una esfera de adentro hacia afuera de manera suave y continua de esta manera (permitiendo autointersecciones de la superficie de la esfera) sin cortarla, rasgarla ni crear ningún pliegue. Esto es sorprendente, tanto para los no matemáticos como para quienes entienden la homotopía regular, y puede considerarse una paradoja verídica; eso es algo que, si bien es cierto, a primera vista parece falso.

Más precisamente, dejemos

f:: S2→ → R3{displaystyle fcolon S^{2}to mathbb {R} {3}}

ser la incrustación estándar; entonces hay una homotopía regular de inmersiones

ft:: S2→ → R3{displaystyle f_{t}colon S^{2}to mathbb {R} {3}

tal que ƒ₀ = ƒ y ƒ₁ = −ƒ.

Historia

Stephen Smale (1957) creó por primera vez una prueba de existencia para la eversión de esferas sin arrugas. Es difícil visualizar un ejemplo particular de tal giro, aunque se han producido algunas animaciones digitales que lo hacen algo más fácil. El primer ejemplo se exhibió gracias a los esfuerzos de varios matemáticos, entre ellos Arnold S. Shapiro y Bernard Morin, que era ciego. Por otro lado, es mucho más fácil demostrar que tal "giro" existe, y eso es lo que hizo Smale.

El asesor graduado de Smale, Raoul Bott, al principio le dijo a Smale que el resultado era obviamente incorrecto (Levy 1995). Su razonamiento fue que el grado del mapa de Gauss debe preservarse en tal "giro"; en particular, se deduce que no existe tal giro de S. ¹ en R². Pero los grados del mapa de Gauss para las incrustaciones f y −f en R³ son ambos iguales a 1., y no tienen signo opuesto como se podría suponer incorrectamente. El grado del mapa de Gauss de todas las inmersiones de S² en R³ es 1, por lo que no hay obstáculo. El término "paradoja verídica" se aplica quizás más apropiadamente a este nivel: hasta el trabajo de Smale, no hubo ningún intento documentado de argumentar a favor o en contra de la eversión de S², y los esfuerzos posteriores son En retrospectiva, nunca hubo una paradoja histórica asociada con la eversión de la esfera, sólo una apreciación de las sutilezas al visualizarla por parte de quienes confrontaron la idea por primera vez.

Consulte el principio h para obtener más generalizaciones.

Prueba

La prueba original de Smale fue indirecta: identificó (homotopia regular) clases de inmersiones de esferas con un grupo de homotopy del manifold Stiefel. Desde el grupo homotopy que corresponde a inmersiones de S2{displaystyle S^{2} dentro R3{displaystyle mathbb {R} {} {}}} desaparece, el embedding estándar y el interior debe ser homotopic regular. En principio, la prueba puede ser insonorizada para producir una homotopia regular explícita, pero esto no es fácil de hacer.

Hay varias formas de producir ejemplos explícitos y visualización matemática:

• Modelos de medio camino: estos consisten en homotopies muy especiales. Este es el método original, hecho primero por Shapiro y Phillips a través de la superficie de Boy, más tarde refinado por muchos otros. Los originales homotopies modelo se construyeron a mano, y trabajaron topológicamente pero no eran mínimos. La película creada por Nelson Max, durante un período de siete años, y basada en los modelos de alambre de pollo de Charles Pugh (subsecuentemente robado del Departamento de Matemáticas de Berkeley), fue una "fuerza giratoria" por su tiempo, y estableció la marca de banco para la animación informática durante muchos años. Un refinamiento gráfico más reciente y definitivo (1980s) es minimax eversiones, que es un método de variación, y consiste en homotopies especiales (son caminos más cortos con respecto a la energía de Willmore). A su vez, entender el comportamiento de la energía de Willmore requiere entender soluciones de las ecuaciones diferenciales parciales de cuarto orden, y por lo tanto las imágenes visualmente hermosas y evocativas crean algunas matemáticas muy profundas más allá de la prueba abstracta original de Smale.

• Las corrugaciones de Thurston: este es un método topológico y genérico; se necesita una homotopia y la perturba para que se convierta en un homotopy regular. Esto se ilustra en la animación computarizada En el exterior desarrollado en el Geometry Center bajo la dirección de Silvio Levy, Delle Maxwell y Tamara Munzner.
• Combinando los métodos anteriores, la eversión completa de la esfera puede ser descrita por un conjunto de ecuaciones cerradas que dan una complejidad topológica mínima

Variaciones

• Una esfera de seis dimensiones S6{displaystyle S^{6} en espacio euclidiano de siete dimensiones R7{displaystyle mathbb {R} {7}} Admite la eversión. Con un caso evidente de una esfera 0dimensional S0{displaystyle S^{0} (dos puntos distintos) en una línea real R{displaystyle mathbb {R} y descrito anteriormente caso de una esfera bidimensional en R3{displaystyle mathbb {R} {} {}}} sólo hay tres casos cuando la esfera Sn{displaystyle S^{n} incrustado en espacio euclidiano Rn+1{displaystyle mathbb {R} {n+1} Admite la eversión.

Galería de pasos de eversión

Parcelas de superficie

Modelo de mitad de camino con punto de cuádruple vista superior vista diagonal vista lateral	Cerrado a mitad de camino vista superior vista diagonal vista lateral	Modelo de muerte de tres puntos vista superior vista diagonal vista lateral
Modelo de finalización del bucle central de intersección vista superior vista diagonal vista lateral	Modelo de última etapa vista superior vista diagonal vista lateral

Modelo abierto de cadena de nylon

mitad de la parte superior

mitad del lado

triple muerte superior

triple mortal

intersección extremo superior

intersección lado final