Espacio simplemente conectado

En topología, un espacio topológico se llama simplemente conexo (o 1-conectado, o 1-simplemente conexo) si es una ruta -conectado y cada camino entre dos puntos se puede transformar continuamente (intuitivamente para espacios incrustados, permaneciendo dentro del espacio) en cualquier otro camino similar preservando los dos puntos finales en cuestión. El grupo fundamental de un espacio topológico es un indicador del fracaso del espacio para ser simplemente conexo: un espacio topológico conexo por caminos es simplemente conexo si y sólo si su grupo fundamental es trivial.

Definición y formulaciones equivalentes

Un espacio topológico ${displaystyle X}$ se llama simplemente conectado si está conectado con el camino y cualquier bucle en ${displaystyle X}$ definidas por ${displaystyle f:S^{1}to X.$ puede ser contratado a un punto: existe un mapa continuo ${displaystyle F:D^{2}to X.$ tales que ${displaystyle F}$ restringidos ${displaystyle S^{1}$ es ${displaystyle f.}$ Aquí, ${displaystyle S^{1}$ y ${displaystyle D^{2}$ denota el círculo de unidad y el disco de unidad cerrado en el plano Euclidean respectivamente.

Una formulación equivalente es esta: ${displaystyle X}$ está simplemente conectado si y sólo si está conectado a la ruta, y siempre ${displaystyle p:[0,1]to X.$ y ${displaystyle q:[0,1]to X}$ son dos caminos (es decir, mapas continuos) con el mismo inicio y punto final (${displaystyle p(0)=q(0)}$ y ${displaystyle p(1)=q(1)}$), entonces ${displaystyle p}$ se puede deformar continuamente ${displaystyle q}$ manteniendo ambos puntos finales fijos. Explícitamente, existe una homotopia ${displaystyle F:[0,1]times [0,1]to X}$ tales que ${displaystyle F(x,0)=p(x)}$ y ${displaystyle F(x,1)=q(x). }$

Un espacio topológico ${displaystyle X}$ es simplemente conectado si y sólo si ${displaystyle X}$ está conectado con el camino y el grupo fundamental ${displaystyle X}$ en cada punto es trivial, es decir, consiste sólo en el elemento de identidad. Análogamente, ${displaystyle X}$ está simplemente conectado si y sólo si para todos los puntos ${displaystyle x,yin X,}$ el conjunto de morfismos ${displaystyle operatorname {Hom} _{Pi (X)}(x,y)}$ en el grupo fundamental de ${displaystyle X}$ tiene sólo un elemento.

En análisis complejos: un subconjunto abierto ${displaystyle Xsubseteq mathbb {C}$ simplemente está conectado si y sólo si ambos ${displaystyle X}$ y su complemento en la esfera Riemann están conectados. El conjunto de números complejos con parte imaginaria estrictamente mayor que cero y menos de uno proporciona un buen ejemplo de un subconjunto abierto y sin límites del plano cuyo complemento no está conectado. Sin embargo, está simplemente conectado. También podría valer la pena señalar que una relajación del requisito de que ${displaystyle X}$ estar conectado conduce a una interesante exploración de subconjuntos abiertos del plano con complemento extendido conectado. Por ejemplo, un conjunto abierto (no necesariamente conectado) tiene un complemento ampliado conectado exactamente cuando cada uno de sus componentes conectados están simplemente conectados.

Discusión informal

Informalmente, un objeto en nuestro espacio está simplemente conectado si consta de una sola pieza y no tiene ningún "agujero" que lo atraviesan por completo. Por ejemplo, ni un donut ni una taza de café (con asa) están simplemente conectados, sino que simplemente se conecta una bola de goma hueca. En dos dimensiones, un círculo no está simplemente conectado, pero un disco y una línea sí lo están. Los espacios que están conectados pero no simplemente conectados se denominan no simplemente conectados o multiplicadamente conectados.

La definición excluye únicamente los agujeros en forma de mango. Una esfera (o, equivalentemente, una pelota de goma con un centro hueco) está simplemente conectada, porque cualquier bucle en la superficie de una esfera puede contraerse hasta formar un punto aunque tenga un "agujero" en su superficie. en el centro hueco. La condición más fuerte, que el objeto no tenga agujeros de ninguna dimensión, se llama contractibilidad.

Ejemplos

• El avión de Euclidea ${displaystyle mathbb {R} {2}}$ es simplemente conectado, pero ${displaystyle mathbb {R} {2}}$ menos el origen ${displaystyle (0,0)}$ No lo es. Si ${displaystyle n título2,}$ entonces ambos ${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$ y ${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$ menos el origen están simplemente conectados.
• Analógicamente: la esfera n-dimensional ${displaystyle S^{n}$ es simplemente conectado si y sólo si ${displaystyle ngeq 2.}$
• Cada subconjunto convexo de ${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$ simplemente está conectado.
• Un toro, el cilindro (elliptic), la tira Möbius, el plano proyectivo y la botella Klein no están simplemente conectados.
• Cada espacio vectorial topológico está simplemente conectado; esto incluye espacios Banach y espacios Hilbert.
• Para ${displaystyle ngeq 2,}$ el grupo ortogonal especial ${displaystyle operatorname {SO} (n,mathbb {R})}$ no está simplemente conectado y el grupo unitario especial ${displaystyle operatorname {SU} (n)}$ simplemente está conectado.
• La compactación de un punto ${displaystyle mathbb {R}$ no es simplemente conectado (aunque ${displaystyle mathbb {R}$ es simplemente conectado).
• La larga línea ${displaystyle L.$ es simplemente conectado, pero su compactación, la larga línea extendida ${displaystyle L^{*}$ no es (ya que ni siquiera es el camino conectado).

Propiedades

Una superficie (variedad topológica bidimensional) es simplemente conexa si y sólo si está conexa y su género (el número de identificadores de la superficie) es 0.

Una cubierta universal de cualquier espacio (apropiado) ${displaystyle X}$ es un espacio simplemente conectado que mapas a ${displaystyle X}$ a través de un mapa de cobertura.

Si ${displaystyle X}$ y ${displaystyle Sí.$ son equivalentes de homotopy y ${displaystyle X}$ es simplemente conectado, entonces lo es ${displaystyle Sí.$

La imagen de un conjunto simplemente conectado bajo una función continua no necesita ser simplemente conectada. Tome por ejemplo el plano complejo bajo el mapa exponencial: la imagen es ${displaystyle mathbb {C} setminus {0}}$ que no está simplemente conectado.

La noción de conexión simple es importante en el análisis complejo debido a los siguientes hechos:

• El teorema integral de Cauchy declara que si ${displaystyle U}$ es un subconjunto abierto simplemente conectado del plano complejo ${displaystyle mathbb {C}$ y ${displaystyle f:Uto mathbb {C}$ es una función holomorfa, entonces ${displaystyle f}$ tiene un antiderivado ${displaystyle F}$ on ${displaystyle U,}$ y el valor de cada línea integral en ${displaystyle U}$ con componentes ${displaystyle f}$ depende sólo de los puntos finales ${displaystyle u}$ y ${displaystyle v}$ del camino, y puede ser calculado como ${displaystyle F(v)-F(u). }$ La integral por lo tanto no depende del camino particular que conecta ${displaystyle u}$ y ${displaystyle v,}$
• El teorema de cartografía de Riemann establece que cualquier subconjunto no vacío simplemente conectado ${displaystyle mathbb {C}$ (excepto ${displaystyle mathbb {C}$ en sí mismo) es conformalmente equivalente al disco de unidad.

La noción de conexión simple es también una condición crucial en la conjetura de Poincaré.