Espacio habitual

En topología y campos relacionados de las matemáticas, un espacio topológico X se denomina espacio regular si cada subconjunto cerrado C de X y un punto p no contenido en C admiten vecindades abiertas que no se superponen. Así, p y C pueden estar separados por vecindades. Esta condición se conoce como Axioma T₃. El término "T₃ espacio" generalmente significa "un espacio de Hausdorff regular". Estas condiciones son ejemplos de axiomas de separación.

Definiciones

El punto x, representado por un punto a la izquierda de la imagen, y el conjunto cerrado F, representado por un disco cerrado a la derecha de la imagen, están separados por sus barrios U y V, representado por discos abiertos más grandes. El punto x tiene mucho espacio para moverse alrededor del disco abierto U, y el disco cerrado F tiene mucho espacio para moverse alrededor del disco abierto V, aún U y V no se toquen.

Un espacio topológico X es un espacio regular si, dado cualquier conjunto cerrado F y cualquier punto x que no pertenece a F, existe una vecindad U de x y una vecindad V de F que son disjuntos. En pocas palabras, debe ser posible separar x y F con vecindarios disjuntos.

Un T₃ espacio o espacio normal de Hausdorff es un espacio topológico que es a la vez regular y un espacio de Hausdorff. (Un espacio de Hausdorff o espacio T₂ es un espacio topológico en el que dos puntos distintos están separados por vecindarios). Resulta que un espacio es T₃ si y solo si es regular y T₀. (Un T₀ o espacio de Kolmogorov es un espacio topológico en el que dos puntos distintos son topológicamente distinguibles, es decir, para cada par de puntos distintos, al menos uno de ellos tiene una vecindad abierta que no contiene al otro.) De hecho, si un espacio es Hausdorff entonces es T₀, y cada T₀ espacio regular es Hausdorff: dados dos puntos distintos, al menos uno de ellos pierde el cierre del otro, por lo que (por regularidad) existen vecindades disjuntas que separan un punto de (el cierre de) el otro.

Aunque las definiciones presentadas aquí para "regular" y "T₃" no son infrecuentes, existe una variación significativa en la literatura: algunos autores cambian las definiciones de "regular" y "T₃" como se usan aquí, o usar ambos términos indistintamente. Este artículo utiliza el término "regular" libremente, pero normalmente dirá "Hausdorff normal", que no es ambiguo, en lugar del menos preciso "T₃". Para obtener más información sobre este tema, consulte Historia de los axiomas de separación.

Un espacio localmente regular es un espacio topológico donde cada punto tiene una vecindad abierta que es regular. Todo espacio regular es localmente regular, pero lo contrario no es cierto. Un ejemplo clásico de un espacio localmente regular que no es regular es la línea de ojos saltones.

Relaciones con otros axiomas de separación

Un espacio regular es necesariamente también preregular, es decir, dos puntos topológicamente distinguibles pueden estar separados por vecindades. Dado que un espacio de Hausdorff es lo mismo que un espacio T0 preregular, un espacio regular que también sea T₀ debe ser Hausdorff (y por lo tanto T₃). De hecho, un espacio regular de Hausdorff satisface la condición ligeramente más fuerte T2½. (Sin embargo, tal espacio no necesita ser completamente Hausdorff). Por lo tanto, la definición de T₃ puede citar T₀, T1 o T_2½ en lugar de T₂ (Hausdorffness); todos son equivalentes en el contexto de espacios regulares.

Hablando más teóricamente, las condiciones de regularidad y T₃-ness están relacionadas por los cocientes de Kolmogorov. Un espacio es regular si y solo si su cociente de Kolmogorov es T₃; y, como se mencionó, un espacio es T₃ si y solo si es regular y T₀. Por lo tanto, se puede suponer que un espacio regular encontrado en la práctica es T₃, reemplazando el espacio con su cociente de Kolmogorov.

Hay muchos resultados para espacios topológicos que son válidos tanto para espacios regulares como de Hausdorff. La mayoría de las veces, estos resultados se mantienen para todos los espacios preregulares; se enumeraron para los espacios regulares y de Hausdorff por separado porque la idea de los espacios preregulares surgió más tarde. Por otro lado, los resultados que realmente tienen que ver con la regularidad generalmente no se aplican también a los espacios de Hausdorff no regulares.

Hay muchas situaciones en las que otra condición de los espacios topológicos (como normalidad, pseudonormalidad, paracompacidad o compacidad local) implicará regularidad si se satisface algún axioma de separación más débil, como la preregularidad. Tales condiciones a menudo vienen en dos versiones: una versión regular y una versión Hausdorff. Aunque los espacios de Hausdorff generalmente no son regulares, un espacio de Hausdorff que también es (digamos) localmente compacto será regular, porque cualquier espacio de Hausdorff es preregular. Por lo tanto, desde cierto punto de vista, la regularidad no es realmente el problema aquí, y podríamos imponer una condición más débil en su lugar para obtener el mismo resultado. Sin embargo, las definiciones todavía se expresan en términos de regularidad, ya que esta condición es más conocida que cualquier otra más débil.

La mayoría de los espacios topológicos estudiados en el análisis matemático son regulares; de hecho, suelen ser completamente regulares, lo cual es una condición más fuerte. Los espacios regulares también deben contrastarse con los espacios normales.

Ejemplos y no ejemplos

Un espacio de dimensión cero con respecto a la pequeña dimensión inductiva tiene una base que consta de conjuntos abiertos. Cada uno de esos espacios es regular.

Como se describió anteriormente, cualquier espacio completamente regular es regular, y cualquier espacio T₀ que no sea Hausdorff (y por lo tanto no sea preregular) no puede ser regular. La mayoría de los ejemplos de espacios regulares y no regulares estudiados en matemáticas se pueden encontrar en esos dos artículos. Por otro lado, los espacios que son regulares pero no completamente regulares, o preregulares pero no regulares, generalmente se construyen solo para proporcionar contraejemplos a conjeturas, mostrando los límites de posibles teoremas. Por supuesto, uno puede encontrar fácilmente espacios regulares que no son T₀, y por lo tanto no Hausdorff, como un espacio indiscreto, pero estos ejemplos proporcionan más información sobre el axioma T0 que sobre la regularidad. Un ejemplo de un espacio regular que no es completamente regular es el sacacorchos de Tychonoff.

La mayoría de los espacios interesantes en matemáticas que son regulares también satisfacen alguna condición más fuerte. Por lo tanto, los espacios regulares generalmente se estudian para encontrar propiedades y teoremas, como los siguientes, que en realidad se aplican a espacios completamente regulares, típicamente en análisis.

Existen espacios de Hausdorff que no son regulares. Un ejemplo es el conjunto R con la topología generada por conjuntos de la forma U — C, donde U es un conjunto abierto en el sentido habitual, y C es cualquier subconjunto contable de U.

Propiedades elementales

Supongamos que X es un espacio regular. Entonces, dado cualquier punto x y vecindad G de x, existe una vecindad cerrada E de x que es un subconjunto de G. En términos más elegantes, los barrios cerrados de x forman una base local en x. De hecho, esta propiedad caracteriza espacios regulares; si las vecindades cerradas de cada punto en un espacio topológico forman una base local en ese punto, entonces el espacio debe ser regular.

Tomando los interiores de estos barrios cerrados, vemos que los conjuntos abiertos regulares forman una base para los conjuntos abiertos del espacio regular X. Esta propiedad es en realidad más débil que la regularidad; un espacio topológico cuyos conjuntos abiertos regulares forman una base es semiregular.