Construcción con regla y compás

Ajustar Compartir Imprimir Citar
Método de dibujo objetos geométricos
Creación de un hexágono regular con una trama y brújula

En geometría, construcción con regla y compás, también conocida como construcción con regla y compás, construcción euclidiana o construcción clásica: es la construcción de longitudes, ángulos y otras figuras geométricas usando solo una regla idealizada y un compás.

Se supone que la regla idealizada, conocida como regla, tiene una longitud infinita, solo tiene un borde y no tiene marcas. Se supone que la brújula no tiene un radio máximo o mínimo y se supone que "colapsa" cuando se levanta de la página, por lo que no se puede usar directamente para transferir distancias. (Esta es una restricción sin importancia ya que, utilizando un procedimiento de varios pasos, se puede transferir una distancia incluso con una brújula colapsada; consulte el teorema de equivalencia de la brújula. Tenga en cuenta, sin embargo, que si bien una brújula que no colapsa sostenida contra una regla puede parecer equivalente a al marcarlo, la construcción neusis sigue siendo inadmisible y esto es lo que realmente significa sin marcar: consulte Reglas marcables a continuación).

Resulta ser el caso de que cada punto construible usando regla y compás también puede construirse usando solo compás, o solo con regla si se le da un solo círculo y su centro.

Los antiguos matemáticos griegos concibieron por primera vez las construcciones con regla y compás, y varios problemas antiguos de geometría plana imponen esta restricción. Los antiguos griegos desarrollaron muchas construcciones, pero en algunos casos no pudieron hacerlo. Gauss demostró que algunos polígonos son construibles pero que la mayoría no lo son. Pierre Wantzel demostró que algunos de los problemas de regla y compás más famosos eran imposibles en 1837 utilizando la teoría de campos, a saber, trisecar un ángulo arbitrario y duplicar el volumen de un cubo (ver § construcciones imposibles). Muchos de estos problemas son fácilmente solucionables siempre que se permitan otras transformaciones geométricas; por ejemplo, la construcción neusis se puede utilizar para resolver los dos problemas anteriores.

En términos de álgebra, una longitud es construible si y solo si representa un número construible, y un ángulo es construible si y solo si su coseno es un número construible. Un número es construible si y solo si puede escribirse usando las cuatro operaciones aritméticas básicas y la extracción de raíces cuadradas pero no de raíces de orden superior.

Herramientas de regla y compás

Estrechez y brújula
Una brújula

El "borde recto" y "brújula" de construcciones de regla y compás son versiones idealizadas de reglas y compases del mundo real.

Las brújulas reales no colapsan y las construcciones geométricas modernas suelen utilizar esta característica. Una 'brújula colapsada' parecería ser un instrumento menos poderoso. Sin embargo, por el teorema de equivalencia de la brújula en la Proposición 2 del Libro 1 de los Elementos de Euclides, no se pierde potencia al usar una brújula colapsada. Aunque la proposición es correcta, sus demostraciones tienen una larga y accidentada historia. En cualquier caso, la equivalencia es la razón por la cual esta característica no está estipulada en la definición de la brújula ideal.

Cada construcción debe ser matemáticamente exacta. "Mirando a los ojos" No se permiten distancias (observar la construcción y adivinar su precisión) o usar marcas en una regla. Cada construcción también debe terminar. Es decir, debe tener un número finito de pasos y no ser el límite de aproximaciones cada vez más cercanas. (Si se permite un número ilimitado de pasos, algunas construcciones imposibles de otro modo se vuelven posibles por medio de secuencias infinitas que convergen en un límite).

Dicho de esta manera, las construcciones con regla y compás parecen ser un juego de salón, más que un problema práctico serio; pero el propósito de la restricción es asegurar que se pueda probar que las construcciones son exactamente correctas.

Historia

Los antiguos matemáticos griegos intentaron por primera vez construcciones con regla y compás y descubrieron cómo construir sumas, diferencias, productos, proporciones y raíces cuadradas de longitudes determinadas. También podrían construir la mitad de un ángulo dado, un cuadrado cuya área sea el doble de la de otro cuadrado, un cuadrado que tenga la misma área que un polígono dado y un polígono regular con 3, 4 o 5 lados (o uno con el doble de número de lados de un polígono dado). Pero no podían construir un tercio de un ángulo dado sino en casos particulares, o un cuadrado con la misma área que un círculo dado, o un polígono regular con otros números de lados. Tampoco podrían construir el lado de un cubo cuyo volumen sería el doble del volumen de un cubo con un lado dado.

Hipócrates y Menaechmus demostraron que el volumen del cubo se puede duplicar encontrando las intersecciones de hipérbolas y parábolas, pero estas no se pueden construir con regla y compás. En el siglo V a. C., Hipias usó una curva que llamó cuadratriz para trisecar el ángulo general y cuadrar el círculo, y Nicomedes en el siglo II a. C. mostró cómo usar una concoide para trisecar un ángulo arbitrario; pero estos métodos tampoco se pueden seguir con regla y compás.

No se avanzó en los problemas no resueltos durante dos milenios, hasta que en 1796 Gauss demostró que se podía construir un polígono regular de 17 lados; cinco años después mostró el criterio suficiente para que un polígono regular de n lados sea construible.

En 1837, Pierre Wantzel publicó una demostración de la imposibilidad de trisecar un ángulo arbitrario o de duplicar el volumen de un cubo, basada en la imposibilidad de construir raíces cúbicas de longitudes. También demostró que la condición de constructibilidad suficiente de Gauss para polígonos regulares también es necesaria.

Luego en 1882 Lindemann mostró que π π {displaystyle pi} es un número trascendental, y por lo tanto, es imposible construir un cuadrado con el mismo área que un círculo dado.

Las construcciones básicas

Las construcciones básicas

Todas las construcciones con regla y compás consisten en la aplicación repetida de cinco construcciones básicas usando los puntos, líneas y círculos que ya se han construido. Estos son:

Por ejemplo, comenzando con solo dos puntos distintos, podemos crear una línea o dos círculos (a su vez, usando cada punto como centro y pasando por el otro punto). Si dibujamos ambos círculos, se crean dos nuevos puntos en sus intersecciones. Dibujar líneas entre los dos puntos originales y uno de estos puntos nuevos completa la construcción de un triángulo equilátero.

Por lo tanto, en cualquier problema geométrico tenemos un conjunto inicial de símbolos (puntos y líneas), un algoritmo y algunos resultados. Desde esta perspectiva, la geometría equivale a un álgebra axiomática, reemplazando sus elementos por símbolos. Probablemente Gauss fue el primero en darse cuenta de esto y lo utilizó para probar la imposibilidad de algunas construcciones; sólo mucho más tarde encontró Hilbert un conjunto completo de axiomas para la geometría.

Construcciones comunes de regla y compás

Las construcciones de regla y compás más utilizadas incluyen:

Puntos construibles

Construcciones de tracción y compás correspondientes a operaciones algebraicas
x=a·b (Teorema de interceptación)
x=a/b (Teorema de interceptación)
x=√a (Teorema pitagórico)

Se puede asociar un álgebra a nuestra geometría utilizando un sistema de coordenadas cartesianas formado por dos líneas, y representar puntos de nuestro plano mediante vectores. Finalmente podemos escribir estos vectores como números complejos.

Usando las ecuaciones para líneas y círculos, se puede mostrar que los puntos en los que se intersecan se encuentran en una extensión cuadrática del campo más pequeño F que contiene dos puntos en la línea, el centro del círculo, y el radio del círculo. Es decir, tienen la forma x +y√k, donde x, y y k están en F.

Dado que el campo de puntos construibles está cerrado bajo raíces cuadradas, contiene todos los puntos que pueden obtenerse mediante una secuencia finita de extensiones cuadráticas del campo de números complejos con coeficientes racionales. Mediante el párrafo anterior, se puede demostrar que cualquier punto construible se puede obtener mediante tal secuencia de extensiones. Como corolario de esto, se encuentra que el grado del polinomio mínimo para un punto construible (y por lo tanto de cualquier longitud construible) es una potencia de 2. En particular, cualquier punto construible (o longitud) es un número algebraico, aunque no todo número algebraico es construible; por ejemplo, 3√2 es algebraico pero no construible.

Ángulos construibles

Hay una biyección entre los ángulos que son construibles y los puntos que son construibles en cualquier círculo construible. Los ángulos que son construibles forman un grupo abeliano bajo módulo de suma 2π (que corresponde a la multiplicación de los puntos en el círculo unitario visto como números complejos). Los ángulos que son construibles son exactamente aquellos cuya tangente (o equivalentemente, seno o coseno) es construible como un número. Por ejemplo, el heptadecágono regular (el polígono regular de diecisiete lados) se puede construir porque

#⁡ ⁡ ()2π π 17)=− − 116+11617+11634− − 217+1817+317− − 34− − 217− − 234+217{fnMicrosoft Sans} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicros} {fnMicros} {fnMicros} {fnMicros} {fnMicros} {fnMicros} {f} {f} {f}f}}fnMicros} {fnMis}f}f}f}f}fnMicros}f}fnMis}fnMis}fnMis}}fnMis}fnMis}fnMis}fnMinMiss}fnMissoysssssssfnMisfnMis}fnMis}fnMisssfnMiss}fnMis}fnMis}\fnMinMi

como lo descubrió Gauss.

El grupo de ángulos construibles se cierra bajo la operación de dividir ángulos por la mitad (que corresponde a sacar raíces cuadradas en los números complejos). Los únicos ángulos de orden finito que se pueden construir a partir de dos puntos son aquellos cuyo orden es una potencia de dos o el producto de una potencia de dos y un conjunto de números primos de Fermat distintos. Además hay un conjunto denso de ángulos construibles de orden infinito.

Relación con la aritmética compleja

Dado un conjunto de puntos en el plano euclidiano, seleccionar cualquiera de ellos para llamarlo 0 y otro para llamarlo 1, junto con una elección arbitraria de orientación nos permite considerar los puntos como un conjunto de números complejos.

Dada cualquier interpretación de un conjunto de puntos como números complejos, los puntos que se pueden construir usando solo construcciones válidas de regla y compás son precisamente los elementos del campo más pequeño que contiene el conjunto original de puntos y cerrado bajo el complejo conjugado y cuadrado operaciones de raíz (para evitar la ambigüedad, podemos especificar la raíz cuadrada con un argumento complejo menor que π). Los elementos de este campo son precisamente aquellos que pueden expresarse como una fórmula en los puntos originales usando solo las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, complejo conjugado y raíz cuadrada, que se ve fácilmente como un subconjunto denso numerable de el avión. Cada una de estas seis operaciones corresponde a una construcción simple con regla y compás. A partir de dicha fórmula es sencillo producir una construcción del punto correspondiente combinando las construcciones para cada una de las operaciones aritméticas. Construcciones más eficientes de un conjunto particular de puntos corresponden a atajos en tales cálculos.

De manera equivalente (y sin necesidad de elegir arbitrariamente dos puntos) podemos decir que, dada una elección arbitraria de orientación, un conjunto de puntos determina un conjunto de proporciones complejas dadas por las proporciones de las diferencias entre dos pares cualesquiera de puntos. El conjunto de proporciones que se puede construir con regla y compás a partir de dicho conjunto de proporciones es precisamente el campo más pequeño que contiene las proporciones originales y se cierra tomando conjugados complejos y raíces cuadradas.

Por ejemplo, la parte real, la parte imaginaria y el módulo de un punto o razón z (tomando uno de los dos puntos de vista anteriores) son construibles ya que pueden expresarse como

Re()z)=z+z̄ ̄ 2{displaystyle mathrm {Re} (z)={frac {z+{bar {Z}} {2};}
Im()z)=z− − z̄ ̄ 2i{displaystyle mathrm {Im} (z)={frac {z-{bar {Z}}{2i};}
SilenciozSilencio=zz̄ ̄ .{fnMicrosoft Sans Serif} {fnfnfnfnfnfnfnfn\fnfnh00}.

Doblar el cubo y trisección de un ángulo (excepto para ángulos especiales como cualquier φ tal que φ/(2π) es un número racional con denominador no divisible por 3) requiere proporciones que son la solución de ecuaciones cúbicas, mientras que cuadrar el círculo requiere una razón trascendental. Ninguno de estos está en los campos descritos, por lo tanto, no existe una construcción de regla y compás para estos.

Construcciones imposibles

Los antiguos griegos pensaban que los problemas de construcción que no podían resolver eran simplemente obstinados, no irresolubles. Sin embargo, con los métodos modernos, se ha demostrado que estas construcciones de regla y compás son lógicamente imposibles de realizar. (Sin embargo, los problemas en sí tienen solución, y los griegos sabían cómo resolverlos sin la restricción de trabajar solo con regla y compás).

Cuadrado del círculo

El más famoso de estos problemas, la cuadratura del círculo, también conocido como la cuadratura del círculo, consiste en construir un cuadrado con la misma área que un círculo dado usando solo una regla y un compás.

Se ha demostrado que la cuadratura del círculo es imposible, ya que implica generar un número trascendental, es decir, √π. Solo ciertos números algebraicos pueden construirse solo con regla y compás, a saber, aquellos construidos a partir de los números enteros con una secuencia finita de operaciones de suma, resta, multiplicación, división y raíces cuadradas. La frase "la cuadratura del círculo" se usa a menudo para significar "hacer lo imposible" por esta razón.

Sin la restricción de requerir una solución solo con regla y compás, el problema se resuelve fácilmente mediante una amplia variedad de medios geométricos y algebraicos, y se resolvió muchas veces en la antigüedad.

Un método que se acerca mucho a la aproximación de la "cuadratura del círculo" se puede lograr utilizando un triángulo de Kepler.

Duplicar el cubo

Doblar el cubo es la construcción, usando solo regla y compás, de la arista de un cubo que tiene el doble del volumen de un cubo con una arista dada. Esto es imposible porque la raíz cúbica de 2, aunque algebraica, no se puede calcular a partir de números enteros mediante suma, resta, multiplicación, división y raíces cuadradas. Esto se debe a que su polinomio mínimo sobre los racionales tiene grado 3. Esta construcción es posible usando una regla con dos marcas y un compás.

Trisección de ángulo

La trisección de un ángulo es la construcción, usando solo una regla y un compás, de un ángulo que es un tercio de un ángulo arbitrario dado. Esto es imposible en el caso general. Por ejemplo, el ángulo 2π/5 radianes (72° = 360°/5) se puede trisecar, pero el ángulo de π/3 radianes (60°) no se pueden trisecar. El problema general de la trisección también se resuelve fácilmente cuando se permite una regla con dos marcas (una construcción neusis).

Distancia a una elipse

El segmento de línea desde cualquier punto en el plano hasta el punto más cercano en un círculo se puede construir, pero el segmento desde cualquier punto en el plano hasta el punto más cercano en una elipse de excentricidad positiva en general no se puede construir.

El problema de Alhazen

En 1997, el matemático de Oxford Peter M. Neumann demostró el teorema de que no existe una construcción de regla y compás para la solución general del antiguo problema de Alhazen (problema del billar o reflejo de un espejo esférico).

Construcción de polígonos regulares

Construcción de un pentágono regular

Algunos polígonos regulares (por ejemplo, un pentágono) son fáciles de construir con regla y compás; otros no lo son. Esto llevó a la pregunta: ¿Es posible construir todos los polígonos regulares con regla y compás?

Carl Friedrich Gauss en 1796 demostró que se puede construir un polígono regular de 17 lados, y cinco años más tarde demostró que se puede construir un polígono regular de n lados con regla y compás si el primo impar Los factores de n son primos de Fermat distintos. Gauss conjeturó que esta condición también era necesaria; la conjetura fue probada por Pierre Wantzel en 1837.

Los primeros polígonos regulares construibles tienen los siguientes números de lados:

3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257, 272... (secuencia) A003401 en el OEIS)

Se sabe que hay una infinidad de polígonos regulares construibles con un número par de lados (porque si un n-gon regular es construible, entonces también lo es un 2n-gon y por lo tanto un 4n-gon regular, 8n-gon, etc.). Sin embargo, solo hay 31 n-gons regulares construibles conocidos con un número impar de lados.

Construir un triángulo a partir de tres puntos característicos o longitudes

Los dieciséis puntos clave de un triángulo son sus vértices, los puntos medios de sus lados, los pies de sus alturas, los pies de las bisectrices de sus ángulos internos y su circuncentro, baricentro, ortocentro e incentro. Estos se pueden tomar de tres en tres para producir 139 problemas no triviales distintos de construir un triángulo a partir de tres puntos. De estos problemas, tres involucran un punto que puede construirse únicamente a partir de los otros dos puntos; 23 puede construirse de forma no única (de hecho, para infinitas soluciones), pero solo si las ubicaciones de los puntos obedecen a ciertas restricciones; en 74 el problema es construible en el caso general; y en 39 el triángulo requerido existe pero no es construible.

Las doce longitudes clave de un triángulo son las longitudes de los tres lados, las tres altitudes, las tres medianas y las tres bisectrices de los ángulos. Junto con los tres ángulos, dan 95 combinaciones distintas, 63 de las cuales dan lugar a un triángulo construible, 30 de las cuales no lo hacen, y dos de las cuales están subdefinidas.

Construcciones restringidas

Se han hecho varios intentos de restringir las herramientas permitidas para construcciones bajo varias reglas, con el fin de determinar qué es aún construible y cómo se puede construir, así como determinar los criterios mínimos necesarios para poder construir todo lo que aún el compás y la regla pueden.

Construir solo con regla o solo con compás

Es posible (según el teorema de Mohr-Mascheroni) construir cualquier cosa con solo un compás si se puede construir con una regla y un compás, siempre que los datos dados y los datos que se van a encontrar consistan en puntos discretos (no líneas o círculos). La verdad de este teorema depende de la verdad de Arquímedes' axioma, que no es de primer orden en la naturaleza. Los ejemplos de construcciones de solo brújula incluyen el problema de Napoleón.

Es imposible sacar una raíz cuadrada solo con una regla, por lo que algunas cosas que no se pueden construir con una regla se pueden construir con un compás; pero (según el teorema de Poncelet-Steiner) dado un solo círculo y su centro, se pueden construir.

Construcciones extendidas

Los antiguos griegos clasificaban las construcciones en tres grandes categorías, según la complejidad de las herramientas necesarias para su solución. Si una construcción usaba solo una regla y un compás, se llamaba plana; si además requería una o más secciones cónicas (diferentes al círculo), entonces se le llamaba sólido; la tercera categoría incluía todas las construcciones que no caían en ninguna de las otras dos categorías. Esta categorización encaja muy bien con el punto de vista algebraico moderno. Un número complejo que se puede expresar usando solo las operaciones de campo y las raíces cuadradas (como se describe arriba) tiene una construcción plana. Un número complejo que incluye también la extracción de raíces cúbicas tiene una construcción sólida.

En el lenguaje de los campos, un número complejo que es plano tiene un grado de potencia de dos y se encuentra en una extensión de campo que se puede descomponer en una torre de campos donde cada extensión tiene un grado dos. Un número complejo que tiene una construcción sólida tiene grado con factores primos de solo dos y tres, y se encuentra en una extensión de campo que está en la parte superior de una torre de campos donde cada extensión tiene grado 2 o 3.

Construcciones sólidas

Un punto tiene una construcción sólida si se puede construir usando una regla, un compás y una herramienta de dibujo cónico (posiblemente hipotética) que pueda dibujar cualquier cónica con foco, directriz y excentricidad ya construidos. El mismo conjunto de puntos a menudo se puede construir utilizando un conjunto de herramientas más pequeño. Por ejemplo, usando un compás, una regla y una hoja de papel en la que tenemos la parábola y=x2 junto con los puntos (0,0) y (1,0), se puede construir cualquier número complejo que tenga una construcción sólida. Del mismo modo, una herramienta que puede dibujar cualquier elipse con focos y ejes principales ya construidos (piense en dos alfileres y un trozo de cuerda) es igual de poderosa.

Los antiguos griegos sabían que duplicar el cubo y trisecar un ángulo arbitrario tenían construcciones sólidas. Arquímedes dio una construcción sólida del 7-ágono regular. La cuadratura del círculo no tiene una construcción sólida.

Un n-ágono regular tiene una construcción sólida si y solo si n=2a3bm donde a y b son algunos enteros no negativos y m es un producto de cero o más números primos de Pierpont distintos (primos de la forma 2r3s+1). Por lo tanto, n-gon regular admite una construcción sólida, pero no plana, si y solo si n está en la secuencia

7, 9, 13, 14, 18, 19, 21, 26, 27, 28, 35, 36, 37, 38, 39, 42, 45, 52, 54, 56, 57, 63, 65, 70, 72, 73, 74, 76, 78, 81, 84, 90, 91, 95, 97... (secuencia) A051913 en el OEIS)

El conjunto de n para el cual un n-ágono regular no tiene una construcción sólida es la secuencia

11, 22, 23, 25, 29, 31, 33, 41, 43, 44, 46, 47, 49, 50, 53, 55, 58, 59, 61, 62, 66, 67, 69, 71, 75, 77, 79, 82, 83, 86, 87, 88, 89, 92, 93, 94, 98, 99, 100... (secuencia) A048136 en el OEIS)

Al igual que la pregunta con los números primos de Fermat, es una pregunta abierta si hay un número infinito de números primos de Pierpont.

Trisección de ángulo

¿Y si, junto con la regla y el compás, tuviéramos una herramienta que pudiera (solo) trisecar un ángulo arbitrario? Tales construcciones son construcciones sólidas, pero existen números con construcciones sólidas que no se pueden construir utilizando una herramienta de este tipo. Por ejemplo, no podemos duplicar el cubo con una herramienta de este tipo. Por otro lado, todo n-ágono regular que tenga una construcción sólida se puede construir con una herramienta de este tipo.

Papiroflexia

La teoría matemática del origami es más poderosa que la construcción con regla y compás. Los pliegues que satisfacen los axiomas de Huzita-Hatori pueden construir exactamente el mismo conjunto de puntos que las construcciones extendidas usando un compás y una herramienta de dibujo cónico. Por lo tanto, el origami también se puede usar para resolver ecuaciones cúbicas (y, por lo tanto, ecuaciones cuárticas), y así resolver dos de los problemas clásicos.

Reglas marcables

Arquímedes, Nicomedes y Apolonio dieron construcciones que implicaban el uso de una regla marcable. Esto les permitiría, por ejemplo, tomar un segmento de línea, dos líneas (o círculos) y un punto; y luego trazar una recta que pase por el punto dado y corte a las dos rectas dadas, tal que la distancia entre los puntos de intersección sea igual al segmento dado. Esto los griegos lo llamaron neusis ("inclinación", "tendencia" o "vergencia"), porque la nueva línea tiende al grano. En este esquema ampliado, podemos trisecar un ángulo arbitrario (ver la trisección de Arquímedes) o extraer una raíz cúbica arbitraria (debido a Nicomedes). Por lo tanto, cualquier distancia cuya relación con una distancia existente sea la solución de una ecuación cúbica o cuártica es construible. Usando una regla marcable, se pueden construir polígonos regulares con construcciones sólidas, como el heptágono; y John H. Conway y Richard K. Guy dan construcciones para varios de ellos.

La construcción neusis es más poderosa que una herramienta de dibujo cónico, ya que uno puede construir números complejos que no tienen construcciones sólidas. De hecho, con esta herramienta se pueden resolver algunas quínticas que no se pueden resolver con radicales. Se sabe que no se puede resolver un polinomio irreducible de grado primo mayor o igual a 7 usando la construcción de neusis, por lo que no es posible construir un 23-gon o 29-gon regular usando esta herramienta. Benjamin y Snyder demostraron que es posible construir el 11-gon regular, pero no dieron una construcción. Todavía está abierto si se puede construir un gon regular de 25 o 31 gon con esta herramienta.

Trisecar un segmento recto

Trisección de un procedimiento de borde recto.

Dado un segmento de línea recta llamado AB, ¿podría dividirse en tres nuevos segmentos iguales y en muchas partes requeridas por el uso del teorema de intersección?

Cálculo de dígitos binarios

En 1998, Simon Plouffe presentó un algoritmo de regla y compás que se puede usar para calcular dígitos binarios de ciertos números. El algoritmo implica la duplicación repetida de un ángulo y se vuelve físicamente poco práctico después de unos 20 dígitos binarios.