Espacio generado de forma compacta

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Propiedad de espacios topológicos

En topología, un espacio topológico ${displaystyle X}$ se llama espacio generado compactamente o k-space si su topología es determinada por espacios compactos de manera precisa a continuación. De hecho, no existe una definición comúnmente acordada para tales espacios, ya que diferentes autores utilizan variaciones de la definición que no son exactamente equivalentes entre sí. También algunos autores incluyen algún axioma de separación (como espacio Hausdorff o espacio Hausdorff débil) en la definición de uno o ambos términos, y otros no.

En la definición más simple, una espacio generado compactamente es un espacio coherente con la familia de sus subespacios compactos, lo que significa que para cada conjunto ${displaystyle Asubseteq X,}$ ${displaystyle A}$ está abierto ${displaystyle X}$ si ${displaystyle Acap K}$ está abierto ${displaystyle K}$ para cada subespacio compacto ${displaystyle Ksubseteq X.}$ Otras definiciones utilizan una familia de mapas continuos de espacios compactos a ${displaystyle X}$ y declarar ${displaystyle X}$ para ser generado compactamente si su topología coincide con la topología final con respecto a esta familia de mapas. Y otras variaciones de la definición reemplazan espacios compactos con espacios compactos Hausdorff.

Se desarrollaron espacios compactos para remediar algunas de las deficiencias de la categoría de espacios topológicos. En particular, bajo algunas de las definiciones, forman una categoría cerrada cartesiana mientras que todavía contienen los espacios típicos de interés, lo que los hace convenientes para su uso en topología algebraica.

Definiciones

Marco general para las definiciones

Vamos. ${displaystyle (X,T)}$ ser un espacio topológico, donde ${displaystyle T}$ es la topología, es decir, la colección de todos los conjuntos abiertos en ${displaystyle X.}$

Existen múltiples definiciones (no equivalentes) de espacio generado compactamente o k-space en la literatura. Estas definiciones comparten una estructura común, comenzando por una familia adecuada ${displaystyle {mathcal {F}}}$ de mapas continuos de algunos espacios compactos a ${displaystyle X.}$ Las distintas definiciones difieren en su elección de la familia ${displaystyle {mathcal {F}},}$ como se indica a continuación.

La topología final ${displaystyle T_{mathcal {F}}}$ on ${displaystyle X}$ con respecto a la familia ${displaystyle {mathcal {F}}}$ se llama k-ification de ${displaystyle T.}$ Desde todas las funciones ${displaystyle {mathcal {F}}}$ continuos ${displaystyle (X,T),}$ la k-ificación de ${displaystyle T}$ es más fino que (o igual a) la topología original ${displaystyle T}$ . Los conjuntos abiertos en el k-ification se llaman el k-open sets dentro ${displaystyle X;}$ son los conjuntos ${displaystyle Usubseteq X}$ tales que ${displaystyle f^{-1}(U)}$ está abierto ${displaystyle K}$ para todos ${displaystyle f:Kto X}$ dentro ${displaystyle {mathcal {F}}.}$ Del mismo modo, el k-closed sets dentro ${displaystyle X}$ son los conjuntos cerrados en su k-ification, con una caracterización correspondiente. En el espacio ${displaystyle X,}$ cada conjunto abierto es k-abierto y cada conjunto cerrado es k-cerrado. El espacio ${displaystyle X}$ junto con la nueva topología ${displaystyle T_{mathcal {F}}}$ es generalmente denotado ${displaystyle kX.}$

El espacio ${displaystyle X}$ se llama generada compactamente o a k-space (con respecto a la familia ${displaystyle {mathcal {F}}}$ ) si su topología es determinada por todos los mapas en ${displaystyle {mathcal {F}}}$ , en el sentido de que la topología ${displaystyle X}$ es igual a su k-ificación; equivalentemente, si cada k-abierto se abre ${displaystyle X,}$ o si cada conjunto k cerrado está cerrado ${displaystyle X;}$ o en corto, si ${displaystyle kX=X.}$

En cuanto a las diferentes opciones para la familia ${displaystyle {mathcal {F}}}$ , uno puede tomar todos los mapas de inclusiones de ciertos subespacios de ${displaystyle X,}$ por ejemplo todos los subespacios compactos, o todos los subespacios compactos de Hausdorff. Esto corresponde a elegir un conjunto ${displaystyle {mathcal {C}}}$ of subspaces of ${displaystyle X.}$ El espacio ${displaystyle X}$ entonces generada compactamente exactamente cuando su topología es coherente con esa familia de subespacios; es decir, un conjunto ${displaystyle Asubseteq X}$ está abierto (resp. cerrado) ${displaystyle X}$ exactamente cuando la intersección ${displaystyle Acap K}$ está abierto (resp. cerrado) ${displaystyle K}$ para todos ${displaystyle Kin {mathcal {C}}.}$ Otra opción es tomar la familia de todos los mapas continuos de espacios arbitrarios de cierto tipo en ${displaystyle X,}$ por ejemplo todos estos mapas de espacios compactos arbitrarios, o de espacios compactos arbitrarios Hausdorff.

Estas diferentes opciones para la familia de mapas continuos en ${displaystyle X}$ dar lugar a diferentes definiciones de espacio generado compactamente. Además, algunos autores requieren ${displaystyle X}$ para satisfacer un axioma de separación (como Hausdorff o Hausdorff débil) como parte de la definición, mientras que otros no. Las definiciones de este artículo no comprenderán ningún axioma de separación.

Como nota general adicional, una condición suficiente que puede ser útil para demostrar que un espacio ${displaystyle X}$ se genera compactamente (con respecto a ${displaystyle {mathcal {F}}}$ ) es encontrar una subfamilia ${displaystyle {mathcal {G}}subseteq {mathcal {F}}}$ tales que ${displaystyle X}$ se genera compactamente con respecto a ${displaystyle {mathcal {G}}.}$ Para espacios coherentes, que corresponde a demostrar que el espacio es coherente con una subfamilia de la familia de subespacios. Por ejemplo, esto proporciona una manera de demostrar que los espacios locales compactos se generan compactamente.

A continuación se presentan con más detalle algunas de las definiciones más utilizadas, en orden creciente de especificidad.

Para los espacios de Hausdorff, las tres definiciones son equivalentes. Entonces, la terminología espacio de Hausdorff generado de forma compacta no es ambiguo y se refiere a un espacio generado de forma compacta (en cualquiera de las definiciones) que también es Hausdorff.

Definición 1

Informalmente, un espacio cuya topología está determinada por sus subespacios compactos, o equivalentemente en este caso, por todos los mapas continuos de espacios compactos arbitrarios.

Un espacio topológico ${displaystyle X}$ se llama generada compactamente o a k-space si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

(1) La topología en

{displaystyle X}

es coherente con la familia de sus subespacios compactos; es decir, satisface la propiedad:

un conjunto

{displaystyle Asubseteq X}

está abierto (resp. cerrado)

{displaystyle X}

exactamente cuando la intersección

{displaystyle Acap K}

está abierto (resp. cerrado)

{displaystyle K}

para cada subespacio compacto

{displaystyle Ksubseteq X.}

(2) La topología en

{displaystyle X}

coincide con la topología final con respecto a la familia de todos los mapas continuos

{displaystyle f:Kto X}

de todos los espacios compactos

{displaystyle K.}

{displaystyle X}

es un espacio cociente de una suma topológica de espacios compactos.

{displaystyle X}

es un espacio cociente de un espacio débilmente compacto localmente.

Como se explica en el artículo final de topología, la condición (2) está bien definida, aunque la familia de mapas continuos de espacios compactos arbitrarios no es un conjunto sino una clase adecuada.

La equivalencia entre las condiciones (1) y (2) se debe al hecho de que cada inclusión de un subespacio es un mapa continuo; y por otro lado, cada mapa continuo ${displaystyle f:Kto X}$ desde un espacio compacto ${displaystyle K}$ tiene una imagen compacta ${displaystyle f(K)}$ y por lo tanto factores mediante la inclusión del subespacio compacto ${displaystyle f(K)}$ en ${displaystyle X.}$

Definición 2

Informalmente, un espacio cuya topología está determinada por todos los mapas continuos de espacios compactos arbitrarios de Hausdorff.

Un espacio topológico ${displaystyle X}$ se llama generada compactamente o a k-space si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

(1) La topología en

{displaystyle X}

coincide con la topología final con respecto a la familia de todos los mapas continuos

{displaystyle f:Kto X}

de todos los espacios compactos Hausdorff

{displaystyle K.}

En otras palabras, satisface la condición:

un conjunto

{displaystyle Asubseteq X}

está abierto (resp. cerrado)

{displaystyle X}

exactamente cuando

{displaystyle f^{-1}(A)}

está abierto (resp. cerrado)

{displaystyle K}

para cada compacto Espacio Hausdorff

{displaystyle K}

y cada mapa continuo

{displaystyle f:Kto X.}

{displaystyle X}

es un espacio cociente de una suma topológica de espacios compactos Hausdorff.

{displaystyle X}

es un espacio cociente de un espacio Hausdorff compacto localmente.

Como se explica en el artículo final sobre topología, la condición (1) está bien definida, aunque la familia de mapas continuos de espacios compactos arbitrarios de Hausdorff no es un conjunto sino una clase adecuada.

Todo espacio que satisface la Definición 2 también satisface la Definición 1. Lo contrario no es cierto. Por ejemplo, la compactación de un punto del espacio de Arens-Fort es compacta y, por tanto, satisface la Definición 1, pero no satisface la Definición 2.

La Definición 2 es la que se usa más comúnmente en topología algebraica. Esta definición a menudo se combina con la propiedad débil de Hausdorff para formar la categoría CGWH de espacios de Hausdorff débiles generados de forma compacta.

Definición 3

Informalmente, un espacio cuya topología está determinada por sus subespacios compactos de Hausdorff.

Un espacio topológico ${displaystyle X}$ se llama generada compactamente o a k-space si su topología es coherente con la familia de sus subespacios Hausdorff compactos; es decir, satisface la propiedad:

un conjunto

{displaystyle Asubseteq X}

está abierto (resp. cerrado)

{displaystyle X}

exactamente cuando la intersección

{displaystyle Acap K}

está abierto (resp. cerrado)

{displaystyle K}

para cada subespacial Hausdorff compacto

{displaystyle Ksubseteq X.}

Cada espacio que satisface la definición 3 también satisface la definición 2. El contrario no es cierto. Por ejemplo, el espacio Sierpiński ${displaystyle X={0,1}}$ con topología ${displaystyle {emptyset{1},X}}$ no satisface la definición 3, porque sus subespacios Hausdorff compactos son los singletons ${displaystyle {0}}$ y ${displaystyle {1}}$ , y la topología coherente que inducen sería la topología discreta en su lugar. Por otro lado, satisface la definición 2 porque es homeomorfa al espacio cociente del intervalo compacto ${displaystyle [0,1]}$ obtenido identificando todos los puntos en ${displaystyle (0,1].}$

Por sí misma, la definición 3 no es tan útil como las otras dos definiciones ya que carece de algunas de las propiedades implicadas por los demás. Por ejemplo, cada espacio cociente de un espacio que satisfaga la definición 1 o la definición 2 es un espacio del mismo tipo. Pero eso no sostiene la definición 3.

Sin embargo, para espacios débiles de Hausdorff, las definiciones 2 y 3 son equivalentes. Por lo tanto, la categoría CGWH también se puede definir emparejando la propiedad débil de Hausdorff con la Definición 3, que puede ser más fácil de enunciar y trabajar que la Definición 2.

Motivación

Los espacios generados de forma compacta se llamaban originalmente k-spaces, en honor a la palabra alemana kompakt. Fueron estudiados por Hurewicz y se pueden encontrar en Topología general de Kelley, Topología de Dugundji, Teoría de la homotopía racional de Félix, Halperin y Thomas.

La motivación para su estudio más profundo provino en la década de 1960 de deficiencias bien conocidas de la categoría habitual de espacios topológicos. Esto no es una categoría cartesiana cerrada, el producto cartesiano habitual de los mapas de identificación no siempre es un mapa de identificación, y el producto habitual de los complejos CW no tiene por qué ser un complejo CW. Por el contrario, la categoría de conjuntos simpliciales tenía muchas propiedades convenientes, incluida la de ser cartesiano cerrado. La historia del estudio de la reparación de esta situación se detalla en el artículo del nLab sobre categorías convenientes de espacios.

La primera sugerencia (1962) para remediar esta situación fue restringirse a la subcategoría completa de espacios de Hausdorff generados de forma compacta, que de hecho es cartesiano cerrado. Estas ideas se extienden al teorema de dualidad de De Vries. A continuación se proporciona una definición del objeto exponencial. Otra sugerencia (1964) fue considerar los espacios habituales de Hausdorff pero utilizar funciones continuas en subconjuntos compactos.

Estas ideas se generalizan al caso no-Hausdorff; es decir, con una definición diferente de espacios generados de forma compacta. Esto es útil ya que los espacios de identificación de espacios de Hausdorff no necesitan ser Hausdorff.

En la topología algebraica moderna, esta propiedad se combina más comúnmente con la propiedad débil de Hausdorff, de modo que se trabaja en la categoría CGWH de espacios de Hausdorff débiles generados de forma compacta.

Ejemplos

Como se explica en la sección Definiciones, no existe una definición universalmente aceptada en la literatura para espacios generados de forma compacta; pero las Definiciones 1, 2, 3 de esa sección son algunas de las más utilizadas. Para expresar los resultados de una forma más concisa, en esta sección se utilizarán las abreviaturas CG-1, CG-2, CG-3 para denotar cada una de las tres definiciones sin ambigüedades. Esto se resume en la siguiente tabla (consulte la sección Definiciones para conocer otras condiciones equivalentes para cada una).

Abreviatura	Significado resumen
CG-1	Topología coherente con la familia de sus subespacios compactos
CG-2	Topología igual que la topología final con respecto a mapas continuos de espacios compactos arbitrarios Hausdorff
CG-3	Topología coherente con la familia de sus subespacios compactos Hausdorff

Para espacios Hausdorff las propiedades CG-1, CG-2, CG-3 son equivalentes. Tales espacios pueden llamarse Hausdorff generado compactamente sin ambigüedad.

Cada espacio CG-3 es CG-2 y cada espacio CG-2 es CG-1. Las implicaciones inversas no se cumplen en general, como lo muestran algunos de los ejemplos siguientes.

Para espacios débiles de Hausdorff las propiedades CG-2 y CG-3 son equivalentes.

Los espacios secuenciales son CG-2. Esto incluye primeros espacios contables, espacios discretos de Alexandrov y espacios finitos.

Cada espacio CG-3 es un espacio T1 (porque dado un singleton ${displaystyle {x}subseteq X,}$ su intersección con cada subespacial Hausdorff compacto ${displaystyle Ksubseteq X}$ es el conjunto vacío o un solo punto, que se cierra en ${displaystyle K;}$ por lo tanto el singleton está cerrado ${displaystyle X}$ ). Finite T₁ los espacios tienen la topología discreta. Así que entre los espacios finitos, que son todos CG-2, los espacios CG-3 son los que tienen la topología discreta. Cualquier espacio finito no revelado, como el espacio Sierpiński, es un ejemplo del espacio CG-2 que no es CG-3.

Los espacios compactos y los espacios débilmente compactos localmente son CG-1, pero no necesariamente CG-2 (ver ejemplos a continuación).

Los espacios de Hausdorff generados de forma compacta incluyen la versión de Hausdorff de las diversas clases de espacios mencionados anteriormente como CG-1 o CG-2, a saber, espacios secuenciales de Hausdorff, primeros espacios contables de Hausdorff, espacios de Hausdorff localmente compactos, etc. En particular, los espacios métricos y las variedades topológicas se generan de forma compacta. Los complejos CW también se generan de forma compacta según Hausdorff.

Para proporcionar ejemplos de espacios que no se generan compactamente, es útil examinar anticompacto espacios, es decir, espacios cuyos subespacios compactos son todos finitos. Si un espacio ${displaystyle X}$ es anticompacto y T₁, cada subespacio compacto de ${displaystyle X}$ tiene la topología discreta y la k-ificación correspondiente ${displaystyle X}$ es la topología discreta. Por lo tanto, cualquier T anticompacto₁ El espacio no discreto no es CG-1. Por ejemplo:

La topología contable en un espacio incontable.
La Lindelöficación de un espacio discreto incontable (también llamado espacio Fortissimo).
El espacio Arens-Fort.
El espacio Appert.
La "topología del ultrafiltro del sonido".

Otros ejemplos de espacios (Hausdorff) que no se generan compactamente incluyen:

El producto de innumerables ejemplares de ${displaystyle mathbb {R} }$ (cada uno con la topología Euclideana habitual).
El producto de innumerables ejemplares de ${displaystyle mathbb {Z} }$ (cada una con la topología discreta).

Para ejemplos de espacios que son CG-1 y no CG-2, se puede comenzar con cualquier espacio ${displaystyle Y}$ que no es CG-1 (por ejemplo el espacio Arens-Fort o un producto incontable de copias de ${displaystyle mathbb {R} }$ ) y dejar ${displaystyle X}$ ser la compactación de un punto ${displaystyle Y.}$ El espacio ${displaystyle X}$ es compacto, por lo tanto CG-1. Pero no es CG-2 porque subespacios abiertos heredan la propiedad CG-2 y ${displaystyle Y}$ es un subespacio abierto ${displaystyle X}$ que no es CG-2.

Propiedades

(Véase la sección Ejemplos para el significado de las abreviaturas CG-1, CG-2, CG-3).

Subespacios

Los subespacios de un espacio generado compactamente no se generan compactamente en general, incluso en el caso Hausdorff. Por ejemplo, el espacio ordinal ${displaystyle omega _{1}+1=[0,omega _{1}]}$ Donde ${displaystyle omega _{1}}$ es el primer ordinal incontable es Hausdorff compacto, por lo tanto generado compactamente. Su subespacio con todos los ordinal límite excepto ${displaystyle omega _{1}}$ Se elimina isomorfo al espacio Fortissimo, que no se genera compactamente (como se menciona en la sección Ejemplos, es anticompacto y no descreto). Otro ejemplo es el espacio Arens, que es el Hausdorff secuencial, por lo tanto generado compactamente. Contiene como subespacio el espacio Arens-Fort, que no se genera compactamente.

En un espacio CG-1, todo conjunto cerrado es CG-1. No ocurre lo mismo con los conjuntos abiertos. Por ejemplo, como se muestra en la sección de Ejemplos, hay muchos espacios que no son CG-1, pero están abiertos en su compactación de un punto, que es CG-1.

En un espacio CG-2 ${displaystyle X,}$ cada conjunto cerrado es CG-2; y así es cada conjunto abierto (porque hay un mapa de referencia ${displaystyle q:Yto X}$ para algunos locales compactos espacio Hausdorff ${displaystyle Y}$ y para un conjunto abierto ${displaystyle Usubseteq X}$ la restricción de ${displaystyle q}$ a ${displaystyle q^{-1}(U)}$ es también un mapa cociente en un espacio Hausdorff compacto localmente. Lo mismo es cierto más generalmente para cada conjunto localmente cerrado, es decir, la intersección de un conjunto abierto y un conjunto cerrado.

En un espacio CG-3, cada conjunto cerrado es CG-3.

Quotients

La unión disyuntiva ${displaystyle {coprod }_{i}X_{i}}$ de una familia ${displaystyle (X_{i})_{iin I}}$ de los espacios topológicos es CG-1 si y sólo si cada espacio ${displaystyle X_{i}}$ es CG-1. Las declaraciones correspondientes también se refieren a CG-2 y CG-3.

Un espacio cociente de un espacio CG-1 es CG-1. En particular, cada espacio cociente de un espacio débilmente compacto localmente es CG-1. Por el contrario, cada espacio CG-1 ${displaystyle X}$ es el espacio cociente de un espacio débilmente compacto localmente, que se puede tomar como la unión descomunal de los subespacios compactos de ${displaystyle X.}$

Un espacio cociente de un espacio CG-2 es CG-2. En particular, cada espacio cociente de un espacio de Hausdorff localmente compacto es CG-2. Por el contrario, cada espacio CG-2 es el espacio cociente de un espacio de Hausdorff localmente compacto.

Un espacio cociente de un espacio CG-3 no es CG-3 en general. De hecho, cada espacio CG-2 es un espacio cociente de un espacio CG-3 (por ejemplo, algún espacio Hausdorff compacto localmente); pero hay espacios CG-2 que no son CG-3. Para un ejemplo concreto, el espacio Sierpiński no es CG-3, pero es homeomorfo al cociente del intervalo compacto ${displaystyle [0,1]}$ obtenido mediante la identificación ${displaystyle (0,1]}$ a un punto.

Más generalmente, cualquier topología final en un conjunto inducido por una familia de funciones de los espacios CG-1 es también CG-1. Y lo mismo para CG-2. Esto se debe a la combinación de los resultados anteriores para sindicatos y espacios colaterales, junto con el comportamiento de topologías finales bajo la composición de funciones.

Una suma de cuña de espacios CG-1 es CG-1. Lo mismo ocurre con CG-2. Esta es también una aplicación de los resultados anteriores para uniones disjuntas y espacios cocientes.

Productos

El producto de dos espacios compactos no necesita ser generado compactamente, incluso si ambos espacios son Hausdorff y secuencial. Por ejemplo, el espacio ${displaystyle X=mathbb {R} setminus {1,1/2,1/3,ldots }}$ con la topología subespacial de la línea real es primero contable; el espacio ${displaystyle Y=mathbb {R} /{1,2,3,ldots }}$ con la topología cociente de la línea real con los enteros positivos identificados a un punto es secuencial. Ambos espacios se generan compactamente Hausdorff, pero su producto ${displaystyle Xtimes Y}$ no se genera compactamente.

Sin embargo, en algunos casos el producto de dos espacios generados de forma compacta se genera de forma compacta:

El producto de dos primeros espacios contables es primero contable, por lo tanto CG-2.
El producto de un espacio CG-1 y un espacio localmente compacto es CG-1. (Aquí, localmente compacto está en el sentido de la condición (3) en el artículo correspondiente, a saber, cada punto tiene una base local de barrios compactos.)
El producto de un espacio CG-2 y un espacio Hausdorff compacto local es CG-2.

Al trabajar en una categoría de espacios generados compactamente (como todos los espacios CG-1 o todos los espacios CG-2), la topología de producto habitual en ${displaystyle Xtimes Y}$ no se genera compactamente en general, por lo que no puede servir como producto categórico. Pero su k-ification ${displaystyle k(Xtimes Y)}$ pertenece a la categoría esperada y es el producto categórico.

Continuidad de funciones

Las funciones continuas en espacios compactos son aquellas que se comportan bien en subconjuntos compactos. Más precisamente, dejemos ${displaystyle f:Xto Y}$ ser una función de un espacio topológico a otro y suponer el dominio ${displaystyle X}$ se genera compactamente según una de las definiciones de este artículo. Puesto que los espacios generados compactamente se definen en términos de una topología final, se puede expresar la continuidad de ${displaystyle f}$ en términos de la continuidad de la composición ${displaystyle f}$ con los diversos mapas de la familia utilizados para definir la topología final. Los detalles son los siguientes.

Si ${displaystyle X}$ es CG-1, la función ${displaystyle f}$ es continuo si y sólo si la restricción ${displaystyle fvert _{K}:Kto Y}$ es continuo para cada compacto ${displaystyle Ksubseteq X.}$

Si ${displaystyle X}$ es CG-2, la función ${displaystyle f}$ es continuo si y sólo si la composición ${displaystyle fcirc u:Kto Y}$ es continuo para cada espacio Hausdorff compacto ${displaystyle K}$ y mapa continuo ${displaystyle u:Kto X.}$

Si ${displaystyle X}$ es CG-3, la función ${displaystyle f}$ es continuo si y sólo si la restricción ${displaystyle fvert _{K}:Kto Y}$ es continuo para cada Hausdorff compacto ${displaystyle Ksubseteq X.}$

Varios

Para espacios topológicos ${displaystyle X}$ y ${displaystyle Y,}$ Deja ${displaystyle C(X,Y)}$ denota el espacio de todos los mapas continuos de ${displaystyle X}$ a ${displaystyle Y}$ topologized by the compact-open topology. Si ${displaystyle X}$ es CG-1, los componentes de la ruta en ${displaystyle C(X,Y)}$ son precisamente las clases de equivalencia de homotopy.

K-ification

Dado cualquier espacio topológico ${displaystyle X}$ podemos definir una topología posiblemente más fina en ${displaystyle X}$ que se genera compactamente, a veces llamado k-ification de la topología. Vamos. ${displaystyle {K_{alpha }}}$ denota la familia de subconjuntos compactos ${displaystyle X.}$ Definimos la nueva topología en ${displaystyle X}$ declarando un subconjunto ${displaystyle A}$ para ser cerrado si ${displaystyle Acap K_{alpha }}$ está cerrado ${displaystyle K_{alpha }}$ para cada índice ${displaystyle alpha.}$ Denote este nuevo espacio por ${displaystyle kX.}$ Uno puede demostrar que los subconjuntos compactos ${displaystyle kX}$ y ${displaystyle X}$ coinciden, y las topologías inducidas en subconjuntos compactos son las mismas. De ello se desprende que ${displaystyle kX}$ se genera compactamente. Si ${displaystyle X}$ se generó compactamente para comenzar con entonces ${displaystyle kX=X.}$ De lo contrario la topología en ${displaystyle kX}$ es estrictamente más fino que ${displaystyle X}$ (es decir, hay más conjuntos abiertos).

Esta construcción es functorial. We denote ${displaystyle mathbf {CGTop} }$ la subcategoría completa ${displaystyle mathbf {Top} }$ con objetos los espacios generados compactamente, y ${displaystyle mathbf {CGHaus} }$ la subcategoría completa ${displaystyle mathbf {CGTop} }$ con objetos los espacios Hausdorff. El functor de ${displaystyle mathbf {Top} }$ a ${displaystyle mathbf {CGTop} }$ que toma ${displaystyle X}$ a ${displaystyle kX}$ es adecuado para el functor de inclusión ${displaystyle mathbf {CGTop} to mathbf {Top}.}$

El objeto exponencial en ${displaystyle mathbf {CGHaus} }$ es dado por ${displaystyle k(Y^{X})}$ Donde ${displaystyle Y^{X}}$ es el espacio de mapas continuos de ${displaystyle X}$ a ${displaystyle Y}$ con la topología compacta abierta.

Estas ideas pueden generalizarse al caso no Hausdorff. Esto es útil ya que los espacios de identificación de los espacios de Hausdorff no necesitan ser Hausdorff.

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