Espacio F

En el análisis funcional, un F-espacio es un espacio vectorial X{displaystyle X} sobre los números reales o complejos junto con una métrica d:X× × X→ → R{displaystyle d:Xtimes Xto mathbb {R} tales que

1. Multiplicación de escalar en X{displaystyle X} es continuo con respecto a d{displaystyle d} y la métrica estándar en R{displaystyle mathbb {R} o C.{displaystyle mathbb {C}
2. Adición en X{displaystyle X} es continuo con respecto a d.{displaystyle d.}
3. La métrica es la traducción-invariante; es decir, d()x+a,Sí.+a)=d()x,Sí.){displaystyle d(x+a,y+a)=d(x,y)} para todos x,Sí.,a▪ ▪ X.{displaystyle x,y,ain X.}
4. El espacio métrico ()X,d){displaystyle (X,d)} está completo.

La operación x↦ ↦ .. x.. :=d()0,x){displaystyle xmapstofnMicrosoft Sans Serif} se llama F-norm, aunque en general un F-norm no es necesario para ser homogéneo. Por traducción-invariancia, la métrica es recuperable del F-norm. Por lo tanto, un espacio F real o complejo es equivalentemente un espacio vectorial real o complejo equipado con un completo F-norm.

Algunos autores utilizan el término espacio de Fréchet en lugar de espacio F, pero normalmente el término "espacio de Fréchet" está reservado para espacios F localmente convexos. Algunos otros autores utilizan el término "F-space" como sinónimo de "espacio de Fréchet", por lo que significan un espacio vectorial topológico metrizable completo localmente convexo. La métrica puede o no ser necesariamente parte de la estructura en un espacio F; muchos autores solo requieren que dicho espacio sea metrizable de una manera que satisfaga las propiedades anteriores.

Ejemplos

Todos los espacios de Banach y Fréchet son espacios F. En particular, un espacio de Banach es un espacio F con un requisito adicional de que d()ax,0)=SilencioaSilenciod()x,0).{displaystyle d(ax,0)= habita sometidad(x,0). }

Los espacios Lp se pueden convertir en espacios F para todos p≥ ≥ 0{displaystyle pgeq 0} y para p≥ ≥ 1{displaystyle pgeq 1} se pueden convertir en convex local y por lo tanto espacios Fréchet e incluso espacios Banach.

Ejemplo 1

L12[0,1]{displaystyle L^{frac {2} {0,,1}} es un espacio F. Admite no seminormas continuas y no funciones lineales continuas — tiene espacio dual trivial.

Ejemplo 2

Vamos Wp()D){displaystyle W_{p}(mathbb {D})} ser el espacio de todas las series de Taylor de valor complejo

f()z)=.. n≥ ≥ 0anzn{displaystyle f(z)=sum _{ngeq ¡No!

D{displaystyle mathbb {}

Wp()D){displaystyle W_{p}(mathbb {D})}

De hecho, Wp{displaystyle W_{p} es un álgebra de cuasi-Banach. Además, para cualquier Especificaciones Especificaciones {displaystyle zeta } con SilencioEspecificaciones Especificaciones Silencio≤ ≤ 1{displaystyle Silenciozeta Silencioleq 1} el mapa f↦ ↦ f()Especificaciones Especificaciones ){displaystyle fmapsto f(zeta)} es un lineal atado (multiplicativo funcional) en Wp()D).{displaystyle W_{p}(mathbb {D}).

Condiciones suficientes

Propiedades relacionadas

El teorema de mapeo abierto implica que si τ τ yτ τ 2{displaystyle tau {text{ and }tau _{2}} son topologías en X{displaystyle X} que hacen ambos ()X,τ τ ){displaystyle (X,tau)} y ()X,τ τ 2){displaystyle left(X,tau _{2}right)} en espacios vectoriales topológicos completos (por ejemplo, espacios de Banach o Fréchet) y si una topología es más fina o más gruesa que la otra, entonces deben ser iguales (es decir, si τ τ ⊆ ⊆ τ τ 2oτ τ 2⊆ ⊆ τ τ entoncesτ τ =τ τ 2{displaystyle tau subseteq tau _{2}{text{ or }tau _{2}subseteq tau {text{ then }tau =tau _{2}}}}).

• Un mapa lineal casi continuo en un espacio F cuyo gráfico está cerrado es continuo.
• Un mapa lineal casi abierto en un espacio F cuyo gráfico está cerrado es necesariamente un mapa abierto.
• Un mapa continuo lineal casi abierto de un espacio F es necesariamente un mapa abierto.
• Un mapa continuo lineal casi abierto de un espacio F cuya imagen es de la segunda categoría en el codomain es necesariamente un mapa abierto subjetivo.