Equicontinuidad

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Relación entre funciones continuas

En análisis matemático, una familia de funciones es equicontinua si todas las funciones son continuas y tienen la misma variación en un vecindario determinado, en el sentido preciso descrito aquí. En particular, el concepto se aplica a familias contables y, por tanto, a secuencias de funciones.

La equicontinuidad aparece en la formulación del teorema de Ascoli, que establece que un subconjunto de C(X), el espacio de funciones continuas en un compacto de Hausdorff El espacio X es compacto si y sólo si es cerrado, acotado puntualmente y equicontinuo. Como corolario, una secuencia en C(X) es uniformemente convergente si y sólo si es equicontinua y converge puntualmente a una función (no necesariamente continua a priori). En particular, el límite de una secuencia convergente puntual equicontinua de funciones continuas f_n en un espacio métrico o en un espacio localmente compacto es continuo. Si, además, f_n son holomorfos, entonces el límite también es holomorfo.

El principio de acotación uniforme establece que una familia acotada puntualmente de operadores lineales continuos entre espacios de Banach es equicontinua.

Equicontinuidad entre espacios métricos

Did you mean:

Let X and Y be two metric spaces, and F a family of functions from X to Y. We shall denoted by d the respective metrics of these spaces.

La familia F es equicontinua en un punto x₀ ∈ X si por cada ε > 0, existe un δ > 0 tal que d(ƒ(x₀), ƒ(x)) < ε para todo ƒ ∈ F y todo x tal que d(x₀, x) < δ. La familia es equicontinua puntualmente si es equicontinua en cada punto de X.

La familia F es uniformemente equicontinua si para cada ε > 0, existe un δ > 0 tal que d(ƒ(x₁), ƒ(x₂)) < ε para todo ƒ ∈ F y todo x₁, x₂ ∈ X tal que d(x₁, x ₂) < δ.

A modo de comparación, la afirmación 'todas las funciones ƒ en F son continuas' significa que por cada ε > 0, cada ƒ ∈ F, y cada x₀ ∈ X, hay existe un δ > 0 tal que d(ƒ(x₀), ƒ(x)) < ε para todo x ∈ X tal que d(x₀, x) < δ.

Para continuidad, δ puede depender de ε, ., y x₀.
Para continuidad uniformeδ puede depender de ε y..
Para equicontinuidadδ puede depender de ε y x₀.
Para equicontinuidad uniforme, δ puede depender sólo de ε.

De manera más general, cuando X es un espacio topológico, un conjunto F de funciones de X a Y se dice que es equicontinuo en x si para cada ε > 0, x tiene una vecindad U_x tal que

<math alttext="{displaystyle d_{Y}(f(y),f(x))dY()f()Sí.),f()x)).ε ε {displaystyle d_{Y}(f(y),f(x)<img alt="{displaystyle d_{Y}(f(y),f(x))

para todos los y ∈ U_x y ƒ ∈ F. Esta definición suele aparecer en el contexto de espacios vectoriales topológicos.

Cuando X es compacto, un conjunto es uniformemente equicontinuo si y sólo si es equicontinuo en cada punto, esencialmente por la misma razón que la continuidad uniforme y la continuidad coinciden en espacios compactos. Utilizado por sí solo, el término "equicontinuidad" puede referirse a la noción puntual o uniforme, según el contexto. En un espacio compacto, estas nociones coinciden.

Algunas propiedades básicas se derivan inmediatamente de la definición. Todo conjunto finito de funciones continuas es equicontinuo. El cierre de un conjunto equicontinuo es nuevamente equicontinuo. Cada miembro de un conjunto uniformemente equicontinuo de funciones es uniformemente continuo, y todo conjunto finito de funciones uniformemente continuas es uniformemente equicontinuo.

Ejemplos

Un conjunto de funciones con una constante común de Lipschitz es (uniformly) equicontinua. En particular, este es el caso si el conjunto consiste en funciones con derivados ligados por la misma constante.
El principio de fijación uniforme da una condición suficiente para que un conjunto de operadores lineales continuos sean equicontinuous.
Una familia de itinerarios de una función analítica es equicontinua en el set Fatou.

Contraejemplos

La secuencia de funciones f_nx) = arctan(nx), no es equicontinua porque la definición se viola en x₀=0.

Equicontinuidad de mapas valorados en grupos topológicos

Supongamos que $T$ es un espacio topológico y $Y$ es un grupo topológico aditivo (es decir, un grupo dotado de una topología que hace que sus operaciones sean continuas). Los espacios vectoriales topológicos son ejemplos destacados de grupos topológicos y cada grupo topológico tiene una uniformidad canónica asociada.

Definición: Una familia

H

de mapas desde

T

Y

se dice que equicontínua a

t ▪ T

si por cada barrio

V

0

dentro

Y

, existe algún vecindario

U

t

dentro

T

tales que

h () U \subseteq h () t) + V

para todos

h ▪ H

. Decimos eso

H

es equicontínua si es equicontinua en cada punto de

T

Tenga en cuenta que si $H$ es equicontinuo en un punto, entonces todos los mapas en $H$ es continua en el punto. Claramente, cada conjunto finito de mapas continuos desde $T$ hasta $Y$ es equicontinuo.

Mapas lineales equicontinuos

Did you mean:

Debido a que cada espacio vectorial topológico (TVS) es un grupo topológico, la definición de una familia equicontinua de mapas dada para grupos topológicos se transfiere a TVS sin cambios.

Caracterización de mapas lineales equicontinuos

Una familia $H$ de mapas de la forma $Xto Y$ entre dos espacios vectoriales topológicos se dice que equicontínua en un punto $xin X$ si por cada barrio $V$ del origen en $Y$ existe algún vecindario $U$ del origen en $X$ tales que ${displaystyle h(x+U)subseteq h(x)+V}$ para todos ${displaystyle hin H.}$

Si $H$ es una familia de mapas y $U$ es un conjunto que se deja ${displaystyle H(U):=bigcup _{hin H}h(U).}$ Con notación, si $U$ y $V$ son conjuntos entonces ${displaystyle h(U)subseteq V}$ para todos $hin H$ si ${displaystyle H(U)subseteq V.}$

Vamos $X$ y $Y$ ser espacios vectoriales topológicos (TVSs) y $H$ ser una familia de operadores lineales de $X$ en $Y.$ Entonces los siguientes son equivalentes:

$H$ es equicontínua;
$H$ es equicontinua en cada punto de $X.$
$H$ es equicontinua en algún punto de $X.$
H{displaystyle H. $H$ es equicontinua en el origen.
- es decir, por cada barrio $V$ del origen en $Y,$ existe un vecindario $U$ del origen en $X$ tales que ${displaystyle H(U)subseteq V}$ (o equivalentemente, ${displaystyle h(U)subseteq V}$ para todos $hin H$ ).
por cada barrio $V$ del origen en $Y,$ ${displaystyle bigcap _{hin H}h^{-1}(V)}$ es un barrio del origen en $X.$
el cierre del H{displaystyle H. $H$ dentro Lσ σ ()X;Y){displaystyle L_{sigma}(X;Y)} ${displaystyle L_{sigma }(X;Y)}$ es equicontinua.
- ${displaystyle L_{sigma }(X;Y)}$ denotaciones ${displaystyle L(X;Y)}$ dotado con la topología de la convergencia de punta.
el casco equilibrado $H$ es equicontinua.

mientras $Y$ es localmente convex entonces esta lista puede ser extendida para incluir:

el casco convexo de $H$ es equicontinua.
el casco balanceado convexo $H$ es equicontinua.

mientras $X$ y $Y$ son localmente convex entonces esta lista puede ser extendida para incluir:

para cada seminorm continuo q{displaystyle q} $q$ on Y,{displaystyle Sí. $Y,$ existe un seminorm continuo p{displaystyle p} $p$ on X{displaystyle X} $X$ tales que q∘ ∘ h≤ ≤ p{displaystyle qcirc hleq p} ${displaystyle qcirc hleq p}$ para todos h▪ ▪ H.{displaystyle hin H.} ${displaystyle hin H.}$
- Aquí, ${displaystyle qcirc hleq p}$ significa que ${displaystyle q(h(x))leq p(x)}$ para todos ${displaystyle xin X.}$

mientras $X$ es barricada y $Y$ es localmente convex entonces esta lista puede ser extendida para incluir:

$H$ está atado ${displaystyle L_{sigma }(X;Y)}$ ;
H{displaystyle H. $H$ está atado Lb()X;Y).{displaystyle L_{b}(X;Y).} ${displaystyle L_{b}(X;Y).}$
- ${displaystyle L_{b}(X;Y)}$ denotaciones ${displaystyle L(X;Y)}$ dotada de la topología de la convergencia atada (es decir, convergencia uniforme en subconjuntos atados de $X.$

mientras $X$ y $Y$ son espacios de Banach entonces esta lista puede ser extendida para incluir:

$<math alttext="{displaystyle sup{|T|:Tin H}Sup{}.. T.. :T▪ ▪ H}.JUEGO JUEGO {displaystyle sup{fnMicrosoft Sans Serif} <img alt="{displaystyle sup{|T|:Tin H}$ (es decir, $H$ está ligada uniformemente en la norma del operador).

Caracterización de funcionales lineales equicontinuos

Did you mean:

Vamos $X$ ser un espacio vectorial topológico (TVS) sobre el campo $mathbb {F}$ con espacio dual continuo ${displaystyle X^{prime }.}$ Una familia $H$ de las funcionalidades lineales en $X$ se dice que equicontínua en un punto $xin X$ si por cada barrio $V$ del origen en $mathbb {F}$ existe algún vecindario $U$ del origen en $X$ tales que ${displaystyle h(x+U)subseteq h(x)+V}$ para todos ${displaystyle hin H.}$

Para cualquier subconjunto ${displaystyle Hsubseteq X^{prime },}$ los siguientes son equivalentes:

$H$ es equicontinua.
$H$ es equicontinua en el origen.
$H$ es equicontinua en algún punto de $X.$
$H$ está contenida en el polar de algún barrio del origen en $X$
la (pre)polar of $H$ es un barrio del origen en $X.$
el cierre débil* $H$ dentro ${displaystyle X^{prime }}$ es equicontinua.
el casco equilibrado $H$ es equicontinua.
el casco convexo de $H$ es equicontinua.
el casco balanceado convexo $H$ es equicontinua.

mientras $X$ esta lista puede extenderse para incluir:

$H$ es un subconjunto fuertemente ligado ${displaystyle X^{prime }.}$

mientras $X$ es un espacio en barrica, entonces esta lista puede ser extendida para incluir:

$H$ es relativamente compacto en la débil* topología en ${displaystyle X^{prime }.}$
$H$ está débil* atado (es decir, $H$ es ${displaystyle sigma left(X^{prime },Xright)-}$ atado ${displaystyle X^{prime }}$ ).
$H$ está atado en la topología de la convergencia atada (es decir, $H$ es ${displaystyle bleft(X^{prime },Xright)-}$ atado ${displaystyle X^{prime }}$ ).

Propiedades de aplicaciones lineales equicontinuas

El principio de unión uniforme (también conocido como el teorema de Banach-Steinhaus) establece que un conjunto $H$ de mapas lineales entre los espacios de Banach es equicontinua si está ligado a puntos; es decir, $<math alttext="{displaystyle sup _{hin H}|h(x)|Suph▪ ▪ H.. h()x).. .JUEGO JUEGO {displaystyle sup _{hin H}fnh(x)fnMicrosoft Sans Serif<img alt="{displaystyle sup _{hin H}|h(x)|$ para cada uno ${displaystyle xin X.}$ El resultado se puede generalizar a un caso cuando $Y$ es localmente convex y $X$ es un espacio en barrica.

Propiedades de funcionales lineales equicontinuos

El teorema de Alaoglu implica que el cierre débil* de un subconjunto equicontinua ${displaystyle X^{prime }}$ es débil-* compacto; así que cada subconjunto equicontinua es débil-* relativamente compacto.

Si $X$ es cualquier TVS convex local, luego la familia de todos los barriles en $X$ y la familia de todos los subconjuntos ${displaystyle X^{prime }}$ que son convexas, equilibradas, cerradas, ${displaystyle X_{sigma }^{prime },}$ corresponden entre sí por polaridad (con respecto a ${displaystyle leftlangle X,X^{#}rightrangle }$ ). Sigue que un TVS convexo local $X$ se barrica si y sólo si cada subconjunto atado de ${displaystyle X_{sigma }^{prime }}$ es equicontinua.

Theorem—Supongamos que $X$ es un TVS separable. Entonces cada subconjunto equicontinua cerrado ${displaystyle X_{sigma }^{prime }}$ es un espacio compacto metrizable (bajo la topología subespacial). Si además $X$ entonces es posible ${displaystyle X_{sigma }^{prime }}$ es separable.

Equicontinuidad y convergencia uniforme

Sea X un espacio compacto de Hausdorff y equipe C(X) con la norma uniforme, haciendo así C(X) un espacio de Banach, por tanto, un espacio métrico. Entonces el teorema de Arzelà-Ascoli establece que un subconjunto de C(X) es compacto si y sólo si es cerrado, uniformemente acotado y equicontinuo. Esto es análogo al teorema de Heine-Borel, que establece que los subconjuntos de Rⁿ son compactos si y sólo si son cerrados y acotados. Como corolario, toda secuencia equicontinua uniformemente acotada en C(X) contiene una subsecuencia que converge uniformemente a una función continua en X.

En vista del teorema de Arzelà-Ascoli, una sucesión en C(X) converge uniformemente si y sólo si es equicontinua y converge puntualmente. La hipótesis del enunciado puede debilitarse un poco: una secuencia en C(X) converge uniformemente si es equicontinua y converge puntualmente en un subconjunto denso a alguna función en X (no se supone continuo).

Prueba

Suppose f_j es una secuencia equicontinua de funciones continuas en un subconjunto denso D de X. Vamos εSe le darán. Por equicontinuidad, por cada z ▪ D, existe un vecindario U_z de z tales que

<math alttext="{displaystyle |f_{j}(x)-f_{j}(z)|Silenciofj()x)− − fj()z)Silencio.ε ε /3{displaystyle Silenciof_{j}(x)-f_{j}(z) Dominóepsilon /3}<img alt="{displaystyle |f_{j}(x)-f_{j}(z)|

para todos j y x ▪ U_z. Por densidad y compactidad, podemos encontrar un subconjunto finito D′ ⊂ D tales que X es la unión de U_z sobre z ▪ D′. Desde f_j convergencias de punto en D′, existe N ■ 0 tal que

<math alttext="{displaystyle |f_{j}(z)-f_{k}(z)|Silenciofj()z)− − fk()z)Silencio.ε ε /3{displaystyle Silenciof_{j}(z)-f_{k}(z) Esperando identificadoepsilon /3}<img alt="{displaystyle |f_{j}(z)-f_{k}(z)|

siempre z ▪ D′ y j, k ■ N. De ello se desprende que

<math alttext="{displaystyle sup _{X}|f_{j}-f_{k}|SupXSilenciofj− − fkSilencio.ε ε {displaystyle sup ¿Qué?<img alt="sup _{X}|f_{j}-f_{k}|

para todos j, k ■ N. De hecho, si x ▪ X, entonces x ▪ U_z para algunos z ▪ D′ y así lo conseguimos:

<math alttext="{displaystyle |f_{j}(x)-f_{k}(x)|leq |f_{j}(x)-f_{j}(z)|+|f_{j}(z)-f_{k}(z)|+|f_{k}(z)-f_{k}(x)|Silenciofj()x)− − fk()x)Silencio≤ ≤ Silenciofj()x)− − fj()z)Silencio+Silenciofj()z)− − fk()z)Silencio+Silenciofk()z)− − fk()x)Silencio.ε ε {displaystyle TENF_{j}(x)-f_{k}(x) Torturaleq TENF_{j}(x)-f_{j}(z) Por la vida+ por la vida_{j}(z)-f_{k}(z) Por la vida, por la muerte, por el amor de Dios.<img alt="|f_{j}(x)-f_{k}(x)|leq |f_{j}(x)-f_{j}(z)|+|f_{j}(z)-f_{k}(z)|+|f_{k}(z)-f_{k}(x)|

Por lo tanto, f_j Es Cauchy C()X) y así converge por la integridad.

Esta versión más débil se utiliza normalmente para demostrar el teorema de Arzelà-Ascoli para espacios compactos separables. Otra consecuencia es que el límite de una secuencia convergente puntual equicontinua de funciones continuas en un espacio métrico, o en un espacio localmente compacto, es continuo. (Vea a continuación un ejemplo). En lo anterior, la hipótesis de compacidad de X no puede relajarse. Para ver eso, considere una función continua soportada de forma compacta g en R con g(0) = 1, y considere la secuencia equicontinua de funciones { ƒ_n} en R definido por ƒ_n(x) = g(x − n). Entonces, ƒ_n converge puntualmente a 0 pero no converge uniformemente a 0.

Este criterio de convergencia uniforme suele ser útil en análisis reales y complejos. Supongamos que tenemos una secuencia de funciones continuas que converge puntualmente en algún subconjunto abierto G de Rⁿ. Como se señaló anteriormente, en realidad converge uniformemente en un subconjunto compacto de G si es equicontinuo en el conjunto compacto. En la práctica, mostrar la equicontinuidad no suele ser tan difícil. Por ejemplo, si la secuencia consta de funciones diferenciables o funciones con cierta regularidad (por ejemplo, las funciones son soluciones de una ecuación diferencial), entonces se puede utilizar el teorema del valor medio o algún otro tipo de estimaciones para demostrar que la secuencia es equicontinua. Entonces se deduce que el límite de la secuencia es continuo en cada subconjunto compacto de G; por lo tanto, continúa en G. Se puede presentar un argumento similar cuando las funciones son holomorfas. Se puede utilizar, por ejemplo, la estimación de Cauchy para mostrar la equicontinuidad (en un subconjunto compacto) y concluir que el límite es holomórfico. Tenga en cuenta que la equicontinuidad es esencial aquí. Por ejemplo, ƒ_n(x) = arctan n x converge a un múltiplo de la función de signo discontinua.

Generalizaciones

Equicontinuidad en espacios topológicos

El escenario más general en el que se puede definir la equicontinuidad es para espacios topológicos, mientras que la equicontinuidad uniforme requiere que el filtro de vecindades de un punto sea de alguna manera comparable con el filtro de vecindad de otro punto. Esto último generalmente se realiza mediante una estructura uniforme, dando un espacio uniforme. Las definiciones apropiadas en estos casos son las siguientes:

Un juego A de funciones continuas entre dos espacios topológicos X y Y es topológicamente equicontinua en los puntos x ▪ X y Sí. ▪ Y si para cualquier juego abierto O sobre Sí., hay barrios U de x y V de Sí. por cada uno f ▪ A, si la intersección f[U] y V no está vacía, f[U] O. Entonces... A se dice que topológicamente equicontínua x ▪ X si es topológicamente equicontinua a x y Sí. para cada uno Sí. ▪ Y. Finalmente, A es equicontínua si es equicontinua x para todos los puntos x ▪ X.

Un juego A de funciones continuas entre dos espacios uniformes X y Y es uniformemente equicontínua si por cada elemento W de la uniformidad Y, el conjunto

[u,v) X × X: para todos f ▪ A. ()f()u),f()v) W }

es miembro de la uniformidad en X

Introducción a espacios uniformes

A continuación describimos brevemente la idea básica que subyace a las uniformidades.

La uniformidad $𝒱$ es una colección no vacía de subconjuntos de $Y \times Y$ donde, entre muchas otras propiedades, cada $V \in 𝒱$ , $V$ contiene la diagonal de $Y$ (es decir, ${(y, y) \in Y}$ ). Cada elemento de $𝒱$ se llama entourage.

Las uniformidades generalizan la idea (tomada de espacios métricos) de puntos que están " $r$ -cerca" (para $r > 0$ ), lo que significa que su distancia es < $r$ . Para aclarar esto, supongamos que $(Y, d)$ es un espacio métrico (por lo que la diagonal de $Y$ es el conjunto ${(y, z) \in Y \times Y : d (y, z) = 0}$ ) Para cualquier $r > 0$ , deja

U r * Sí., z) Y \times Y : d () Sí., z) r}

denota el conjunto de todos los pares de puntos que están $r$ -cerca. Tenga en cuenta que si "olvidáramos" que $d$ existía entonces, para cualquier $r > 0$ , todavía podríamos determinar si dos puntos de $Y$ son $r$ -cierre usando solo los conjuntos $U r$ . De esta manera, los conjuntos $U r$ encapsulan toda la información necesaria para definir cosas como como continuidad uniforme y convergencia uniforme sin sin necesidad de métrica alguna. Axiomatizar las propiedades más básicas de estos conjuntos conduce a la definición de uniformidad. De hecho, los conjuntos $U r$ generan la uniformidad que está canónicamente asociada con el espacio métrico. $(Y, d)$ .

El beneficio de esta generalización es que ahora podemos extender algunas definiciones importantes que tienen sentido para espacios métricos (por ejemplo, integridad) a una categoría más amplia de espacios topológicos. En particular, a grupos topológicos y espacios vectoriales topológicos.

Un concepto más débil es el de la continuidad

Un juego A de funciones continuas entre dos espacios topológicos X y Y se dice que uniformemente continuo x ▪ X y Sí. ▪ Y si se da un conjunto abierto O que contiene Sí. hay barrios U de x y V de Sí. tales que f[U] O siempre f()x) V. Es uniformemente continuo x si es uniformemente continuo x y Sí. para todos Sí. ▪ Y, y uniformemente continuo si es uniformemente continuo x para todos x ▪ X.

Equicontinuidad estocástica

La equicontinuidad estocástica es una versión de la equicontinuidad utilizada en el contexto de secuencias de funciones de variables aleatorias y su convergencia.

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