Endecágono

En geometría, un endecágono (también undecágono o endecágono) o un 11 góno es un polígono de once lados. (El nombre hendecagon, del griego hendeka "once" y –gon "esquina", es a menudo se prefiere al híbrido undécagono, cuya primera parte se forma del latín undecim "once".)

Endecágono regular

Un hendecágono regular está representado por el símbolo de Schläfli {11}.

Un hendecagón regular tiene ángulos internos de 147.27 grados (=147 ${displaystyle {tfrac {3}{11}}$ grados). El área de un hendecagón regular con longitud lateral a es dado por

${displaystyle A={frac} {4}a} {fnK} {fnMit {f} {f}f}fnK} } {11}simeq 9.36564,a^{2}$

Como 11 no es un Fermat Prime, el Hendecagon regular no es construible con la brújula y la recta. Debido a que 11 no es un Pierpont Prime, la construcción de un Hendecagon regular sigue siendo imposible incluso con el uso de un trisector angular.

Se pueden construir aproximaciones cercanas al Hendecagon regular. Por ejemplo, los antiguos matemáticos griegos se aproximaron a la longitud lateral de un Hendecagon inscrito en un círculo unitario como de 14/25 unidades de largo.

El Hendecagon se puede construir exactamente a través de Neusis Construction y también a través de origami doble.

Construcción aproximada

Hendecagon inscrito en un círculo, una continuación de la construcción básica según T. Drummond como animación.
Corresponde al grabado de cobre de Anton Ernst Burkhard de Birckenstein.

Hendecagon, grabado de cobre en 1698 por Anton Ernst Burkhard de Birckenstein

La siguiente descripción de la construcción viene dada por T. Drummond desde 1800:

"Dibuja el radio A B, galletas en C—con una abertura de las brújulas igual a la mitad del radio, sobre A y C como centros describen los arcos C D I y A D—con la distancia I D sobre I describir el arco D O y dibujar la línea C O, que será la extensión de un lado de una hendecagon suficientemente exacta para la práctica."

En un círculo unitario:

• Longitud lateral hendecagon construida ${displaystyle b=0.563692ldots }$
• Longitud lateral hendecagon teórica ${displaystyle a=2sin({frac {pi }}=0.563465ldots }$
• Error absoluto ${displaystyle delta =b-a=2.27ldots cdot 10^{-4}$ - si AB es 10 m entonces este error es de aproximadamente 2.3 mm.

Simetría

El hendecágono regular tiene simetría Dih11, orden 22. Como 11 es un número primo, hay un subgrupo con simetría diédrica: Dih₁, y 2 simetrías de grupo cíclico: Z₁₁ y Z₁.

Estas 4 simetrías se pueden ver en 4 simetrías distintas en el endecágono. John Conway los etiqueta mediante letras y orden de grupo. La simetría completa de la forma regular es r22 y ninguna simetría está etiquetada como a1. Las simetrías diédricas se dividen dependiendo de si pasan por vértices (d para diagonal) o aristas (p para perpendiculares), y i cuando la reflexión trayectoria de líneas a través de aristas y vértices. Las simetrías cíclicas en la columna del medio están etiquetadas como g por sus órdenes de giro central.

Cada simetría de subgrupo permite uno o más grados de libertad para formas irregulares. Sólo el subgrupo g11 no tiene grados de libertad pero puede verse como aristas dirigidas.

Uso en acuñación

La moneda del dólar canadiense, el loonie, es similar, aunque no exactamente, a un prisma endecagonal regular, al igual que la moneda india de 2 rupias y varias otras monedas menos utilizadas de otras naciones. La sección transversal de un dólar canadiense es en realidad un endecágono de Reuleaux. El dólar estadounidense Susan B. Anthony tiene un contorno endecagonal en el interior de sus bordes.

Cifras relacionadas

El endecágono comparte el mismo conjunto de 11 vértices con cuatro endecagramas regulares:

{11/2}

{11/3}

{11/4}

{11/5}