Elemento compacto

En el área Matemática de la Teoría del Orden, los elementos compactos o elementos finitos de un conjunto parcialmente ordenado son aquellos elementos que no pueden ser subsumidos por un supremo de ningún conjunto no-ordenado. Conjunto dirigido vacío que aún no contiene miembros encima del elemento compacto. Esta noción de compacidad generaliza simultáneamente las nociones de conjuntos finitos en teoría de conjuntos, conjuntos compactos en topología y módulos finitamente generados en álgebra. (Existen otras nociones de compacidad en matemáticas).

Definición formal

En un conjunto parcialmente ordenado (P,≤) un elemento c se llama compacto (o finito ) si cumple una de las siguientes condiciones equivalentes:

• Por cada subconjunto dirigido D de P, si D tiene supremum sup D y c ≤ sup D entonces c ≤ d para algunos elementos d de D.
• Para cada ideal I de P, si I tiene supremum sup I y c ≤ sup I entonces c es un elemento I.

Si el poset P además es una semirretícula de unión (es decir, si tiene suprema binaria), entonces estas condiciones son equivalentes a la siguiente afirmación:

• Para cada subset S de P, si S tiene supremum sup S y c ≤ sup SEntonces c ≤ sup T para un subconjunto finito T de S.

En particular, si c = sup S, entonces c es el supremo de un subconjunto finito de S >.

Estas equivalencias se verifican fácilmente a partir de las definiciones de los conceptos involucrados. Para el caso de una semired de unión, cualquier conjunto se puede convertir en un conjunto dirigido con el mismo supremo cerrándolo bajo un suprema finito (no vacío).

Al considerar órdenes parciales completas dirigidas o celosías completas, por supuesto, se pueden eliminar los requisitos adicionales de que exista la suprema especificada. Una semired de unión que está dirigida completa es casi una red completa (posiblemente sin un elemento mínimo); consulte Completitud (teoría del orden) para obtener más detalles.

Ejemplos

• El ejemplo más básico se obtiene considerando el conjunto de potencia de algunos conjuntos A, ordenado por la inclusión del subconjunto. Dentro de esta rejilla completa, los elementos compactos son exactamente los subconjuntos finitos de A. Esto justifica el nombre "elemento definitivo".
• El término "compacto" se inspira en la definición de subconjuntos compactos (topológicamente) de un espacio topológico T. Un juego Y es compacto si para cada colección de abierto sets S, si el sindicato termina S Incluye Y como subconjunto, entonces Y se incluye como subconjunto de la unión de una subcollección finita de S. Considerando el conjunto de poder T como una rejilla completa con el orden de inclusión del subconjunto, donde el supremum de una colección de conjuntos es dado por su unión, la condición topológica para la compactidad imita la condición para la compactidad en las semilattices de la unión, pero para el requisito adicional de apertura.
• Si existe, el elemento menos de una pose es siempre compacto. Puede ser que este es el único elemento compacto, como muestra el ejemplo del intervalo de unidad real [0,1] (con el pedido estándar heredado de los números reales).
• Cada elemento de unión-prime completo de una celosía es compacto.

Posets algebraicos

Un poset en el que cada elemento es el supremo del conjunto dirigido formado por los elementos compactos debajo de él se llama poset algebraico. Los posets que son dcpos se utilizan mucho en la teoría de dominios.

Como caso especial importante, una red algebraica es una red completa L donde cada elemento x de L es el supremo de los elementos compactos debajo de x.

Un ejemplo típico (que sirvió de motivación para el nombre "algebraico") es el siguiente:

Para cualquier álgebra A (por ejemplo, un grupo, un anillo, un campo, una red, etc.; o incluso un simple conjunto sin ninguna operación), sea Sub(A ) sea el conjunto de todas las subestructuras de A, es decir, de todos los subconjuntos de A que están cerrados bajo todas las operaciones de A (suma de grupos, suma y multiplicación de anillos, etc.). Aquí la noción de subestructura incluye la subestructura vacía en caso de que el álgebra A no tenga operaciones nulas.

Entonces:

• The set Sub()A), ordenado por la inclusión del set, es una celosía.
• El elemento más grande de Sub(A) es el conjunto A en sí mismo.
• Para cualquier S, T in Sub(s)A), el mayor límite inferior de S y T es la intersección teorética del conjunto S y T; el límite superior más pequeño es el subalgebra generado por la unión de S y T.
• The set Sub()A) es incluso una celosa completa. El límite más bajo de cualquier familia de subestructuras es su intersección (o A si la familia está vacía.
• Los elementos compactos de Sub(A) son exactamente las subestructuras generadas finitamente de A.
• Cada subestructura es la unión de sus subestructuras generadas finitamente; por lo tanto Sub(A) es una celosa algebraica.

Además, se cumple una especie de recíproco: toda red algebraica es isomorfa a Sub(A) para alguna álgebra A.

Existe otra red algebraica que juega un papel importante en el álgebra universal: para cada álgebra A dejamos que Con(A) sea el conjunto de todas las relaciones de congruencia en A. Cada congruencia en A es una subálgebra del álgebra del producto AxA, por lo que Con(A) ⊆ Sub (AxA). De nuevo tenemos

• Con(A), ordenado por la inclusión del set, es una celosía.
• El elemento más grande de Con(A) es el conjunto AxA, que es la congruencia correspondiente al homomorfismo constante. La congruencia más pequeña es la diagonal de AxA, correspondiente a isomorfismos.
• Con(A) es una celosa completa.
• Los elementos compactos de Con(A) son exactamente las congruencias generadas finitamente.
• Con(A) es una celosa algebraica.

Nuevamente hay lo contrario: según un teorema de George Grätzer y E. T. Schmidt, cada red algebraica es isomorfa a Con(A) para algún álgebra A.

Aplicaciones

Los elementos compactos son importantes en informática en el enfoque semántico llamado teoría de dominio, donde se consideran como una especie de elemento primitivo: la información representada por elementos compactos no puede obtenerse mediante ninguna aproximación que no contenga ya este conocimiento. Los elementos compactos no pueden aproximarse a elementos estrictamente inferiores a ellos. Por otra parte, puede ocurrir que todos los elementos no compactos puedan obtenerse como supremas dirigidas de elementos compactos. Esta es una situación deseable, ya que el conjunto de elementos compactos suele ser más pequeño que el conjunto original; los ejemplos anteriores ilustran esto.

Literatura

Consulte la literatura proporcionada para la teoría del orden y la teoría del dominio.