Elasticidad del arco

En matemáticas y economía, la elasticidad del arco es la elasticidad de una variable con respecto a otra entre dos puntos dados. Es la relación entre el cambio porcentual de una de las variables entre los dos puntos y el cambio porcentual de la otra variable. Contrasta con la elasticidad puntual, que es el límite de la elasticidad del arco cuando la distancia entre los dos puntos se acerca a cero y que, por tanto, se define en un solo punto en lugar de para un par de puntos.

Al igual que la elasticidad del punto, la elasticidad del arco puede variar en valor dependiendo del punto de partida. Por ejemplo, la elasticidad del arco de la oferta de un producto con respecto al precio del producto podría ser grande cuando los precios inicial y final son bajos, pero podría ser pequeña cuando ambos son altos.20%/10%= 2

Fórmula

La elasticidad del arco y de x se define como:

Ex,Sí.=% % cambio en x% % cambio en Sí.{displaystyle ¿Qué?

donde el cambio porcentual al pasar del punto 1 al punto 2 generalmente se calcula en relación con el punto medio:

% % cambio en x=x2− − x1()x2+x1)/2;{displaystyle%{mbox{ cambio in }x={frac} {x_{2}-x_{1}{(x_{2}+x_{1}}/2}}}}}

% % cambio en Sí.=Sí.2− − Sí.1()Sí.2+Sí.1)/2.{displaystyle%{mbox{ cambio in }y={frac} {y_{2}-y_{1} {y_{2}}/2}}}}} {y_}} {cH0} {cH0} {cH0}}} {cH0}} {cH0}} {cH00}}}}}

El uso de la fórmula de elasticidad del arco del punto medio (con el punto medio utilizado como base del cambio, en lugar del punto inicial (x₁, y ₁) que se utiliza en casi todos los demás contextos para calcular porcentajes) fue recomendado por R. G. D. Allen para su uso cuando x se refiere a la cantidad demandada de un bien o ofertado y y se refiere a su precio, debido a las siguientes propiedades: (1) es simétrico con respecto a los dos precios y cantidades, (2) es independiente de las unidades de medida, y ( 3) produce un valor de unidad si los ingresos totales (precio multiplicado por cantidad) en los dos puntos son iguales.

La elasticidad de arco se utiliza cuando no existe una función general para la relación de dos variables, pero se conocen dos puntos de la relación. Por el contrario, el cálculo de la elasticidad puntual requiere un conocimiento detallado de la relación funcional y se puede calcular dondequiera que se defina la función.

A modo de comparación, la elasticidad puntual y de x viene dada por

Ex,Sí.=∂ ∂ x∂ ∂ Sí.⋅ ⋅ Sí.x=∂ ∂ In⁡ ⁡ x∂ ∂ In⁡ ⁡ Sí.{displaystyle E_{x,y}={frac {partial x}{partial y}cdot {frac {y}{y}={frac {partial ln x}{partial ln y}}} {} {c}}} {c}}} {c}}} {c} {c}}}} {c}}}}} {c}}}} {c}}}}} {c}}}}}}}}}}}}} {\\\\c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\m}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\m}}}}\\\\\\\\\\m}}

Aplicación en economía

La elasticidad arco de la cantidad demandada (o cantidad ofrecida) Q con respecto al precio P, también conocida como elasticidad precio arco de la demanda (u oferta), se calcula como

()% % cambio en Q)/()% % cambio en P){displaystyle (%{mbox{ change in }Q)/(%{ cambio in }P)}

Ejemplo

Supongamos que dos puntos en una curva de demanda, ()Q1,P1){displaystyle (Q_{1},P_{1})} y ()Q2,P2){displaystyle (Q_{2},P_{2}}, son conocidos. (Nada más podría ser conocido sobre la curva de demanda.) Luego se obtiene la elasticidad del arco usando la fórmula

Ep=Q2− − Q1()Q1+Q2)/2P2− − P1()P1+P2)/2.{displaystyle E_{p}={frac {frac {Q_{2}-Q_{1}{(Q_{1}+Q_{2}}{frac}{frac} {f}} {fn0}} {f}}} {fnK}}}} {fnK}}}} {f}} {f}} {fnK_}}} {f}}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}} {f} {f}} {f}}}} {f}}}}}} {f} {f} {f}}}}} {f}}} {f} {f}}}} {f}}} {f}} {f}}}}}} {f}}} {f}}}}}}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f}}}}} {P_{2}-P_{1} {} {}}}}} {}}}} {cH00}} {cH00}}} {cH00}}}} {cH00}}} {cH00}} {cH00}}} {cH00}}}}}} {cH00}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {ccccccH00}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {cccccccccH00}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {cccccccH00}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c

Supongamos que la cantidad de hot dogs demandada en el entretiempo de un partido de fútbol se mide en dos juegos diferentes en los que se cobran dos precios diferentes: en una medida la cantidad demandada es de 80 unidades y en la otra es de 120 unidades. El cambio porcentual, medido con respecto al promedio, sería (120-80)/((120+80)/2))=40%. Si las mediciones se tomaran en secuencia inversa (primero 120 y luego 80), el valor absoluto del cambio porcentual sería el mismo.

Por el contrario, si el cambio porcentual en la cantidad demandada se midiera con respecto al valor inicial, el cambio porcentual calculado sería (120-80)/80 = 50%. El cambio porcentual para la secuencia inversa de observaciones, de 120 unidades a 80 unidades, sería (80-120)/120 = -33,3%. La fórmula del punto medio tiene la ventaja de que un cambio porcentual de A a B se mide en valor absoluto como el mismo de B a A.

Supongamos que el cambio en el precio de los hot dogs, que llevó a este cambio en la cantidad demandada de 80 a 120, fue de $3 a $1. El cambio porcentual en el precio medido respecto del punto medio sería (1-3)/2 = -100%, por lo que la elasticidad precio de la demanda es 40%/(-100%) o -0,4. Es común referirse al valor absoluto de la elasticidad precio simplemente como elasticidad precio, ya que para una curva de demanda normal (decreciente) la elasticidad es siempre negativa y por lo tanto el valor "menos" parte puede hacerse implícita. Por tanto, la elasticidad precio del arco de la demanda de los aficionados al fútbol es 0,4.