Ecuación de clairaut

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In mathematical analysis, Clairaut's 's equation (or the Clairaut equation) is a differential equation of the form

Sí.()x)=xdSí.dx+f()dSí.dx){displaystyle y(x)=x{frac {fnK}fleft({frac}}derecha)}

Donde f{displaystyle f} es continuamente diferente. Es un caso particular de la ecuación diferencial Lagrange. Es nombrado por el matemático francés Alexis Clairaut, quien lo presentó en 1734.

Solución

Para resolver la ecuación de Clairaut, se diferencia con respecto a x{displaystyle x}, rendimiento

dSí.dx=dSí.dx+xd2Sí.dx2+f.()dSí.dx)d2Sí.dx2,{displaystyle {frac {fnMicroc} {fnMicroc}}={fnMicroc} {y} {dx}+x{frac} {fnK} {fnMicroc} {y}{dx}right){frac ¿Qué?

entonces

[x+f.()dSí.dx)]d2Sí.dx2=0.{displaystyle left[x+f'left({frac {y}{dx}right)right]{frac - Sí.

Por lo tanto, ya sea

d2Sí.dx2=0{displaystyle {f}=0}

o

x+f.()dSí.dx)=0.{displaystyle x+f'left({frac {dx}right)=0.}

En el caso anterior, C=dSí./dx{displaystyle C=dy/dx para alguna constante C{displaystyle C}. Sustituyendo esto a la ecuación de Clairaut, se obtiene la familia de funciones de línea recta dadas por

Sí.()x)=Cx+f()C),{displaystyle y(x)=Cx+f(C),,}

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the so-called general solution of Clairaut 's equation.

El último caso,

x+f.()dSí.dx)=0,{displaystyle x+f'left({frac {dx}right)=0,}

define sólo una solución Sí.()x){displaystyle y(x)}, el llamado Solución singular, cuyo gráfico es el sobre de los gráficos de las soluciones generales. La solución singular suele estar representada usando notación paramétrica, como ()x()p),Sí.()p)){displaystyle (x(p),y(p)}, donde p=dSí./dx{displaystyle p=dy/dx}.

La descripción paramétrica de la solución singular tiene la forma

x()t)=− − f.()t),{displaystyle x(t)=-f'(t),,}

Sí.()t)=f()t)− − tf.()t),{displaystyle y(t)=f(t)-tf'(t),,}

Donde t{displaystyle t} es un parámetro.

Ejemplos

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The following curves represent the solutions to two Clairaut's 's equations:

• 
  f()p)=p2{displaystyle f(p)=p^{2}
• 
  f()p)=p3{displaystyle f(p)=p^{3}

En cada caso, las soluciones generales se representan en negro mientras que la solución singular está en violeta.

Extensión

Por extensión, una ecuación diferencial parcial de primer orden de la forma

u=xux+Sí.uSí.+f()ux,uSí.){displaystyle displaystyle u=xu_{x}+yu_{y}+f(u_{x},u_{y}}}

Did you mean:

is also known as Clairaut's 's equation.