Dominio GCD

En matemáticas, un dominio MCD es un dominio integral R con la propiedad de que dos elementos cualesquiera tienen un máximo común divisor (MCD); es decir, existe un ideal principal mínimo único que contiene el ideal generado por dos elementos dados. De manera equivalente, dos elementos cualesquiera de R tienen un mínimo común múltiplo (MCM).

Un dominio MCD generaliza un dominio de factorización único (UFD) a un entorno no noetheriano en el siguiente sentido: un dominio integral es un UFD si y sólo si es un dominio MCD que satisface la condición de cadena ascendente en los ideales principales (y en particular si es noetheriano).

Los dominios GCD aparecen en la siguiente cadena de inclusiones de clases:

rngs . anillos . Anillos conmutativos . dominios integrales . dominios cerrados integralmente . dominios GCD . dominios de factorización únicos . principales dominios ideales . Euclidean domains . campos . campos cerrados algebraicamente

Propiedades

Cada elemento irreducible de un dominio GCD es primario. Un dominio GCD está cerrado integralmente, y cada elemento no cero es primal. En otras palabras, cada dominio GCD es un dominio Schreier.

Por cada par de elementos x, y de un dominio MCD R, un MCD d de x y y y un MCM m de x y y se pueden elegir de modo que dm = xy, o expresado de otra manera, si x y y son elementos distintos de cero y d es cualquier MCD d de x y y, entonces xy/d es un MCM de x y y, y viceversa. De ello se deduce que las operaciones de MCD y MCM convierten el cociente R/~ en una red distributiva, donde "~" denota la relación de equivalencia de ser elementos asociados. La equivalencia entre la existencia de GCD y la existencia de LCM no es un corolario del resultado similar en redes completas, ya que el cociente R/~ no necesita ser una red completa para un dominio GCD R.

Si R es un dominio MCD, entonces el anillo polinómico R[X₁,... ,X_n] también es un dominio GCD.

R es un dominio GCD si y sólo si las intersecciones finitas de sus principales ideales son principales. En particular, ()a)∩ ∩ ()b)=()c){displaystyle (a)cap (b)=(c)}, donde c{displaystyle c} es la LCM de a{displaystyle a} y b{displaystyle b}.

Para un polinomio en X sobre un dominio MCD, se puede definir su contenido como el MCD de todos sus coeficientes. Entonces, el contenido de un producto de polinomios es el producto de sus contenidos, como lo expresa el lema de Gauss, que es válido en dominios MCD.

Ejemplos

• Un dominio de factorización único es un dominio GCD. Entre los dominios del GCD, los dominios de factorización únicos son precisamente los que son también dominios atómicos (lo que significa que al menos una factorización en elementos irreducibles existe para cualquier no unidad cero).
• Un dominio Bézout (es decir, un dominio integral donde cada ideal generado finitamente es principal) es un dominio GCD. A diferencia de los principales dominios ideales (donde cada uno ideal es principal), un dominio Bézout no necesita ser un dominio de factorización único; por ejemplo, el anillo de funciones enteras es un dominio Bézout no atómico, y hay muchos otros ejemplos. Un dominio integral es un dominio Prüfer GCD si y sólo si es un dominio Bézout.
• Si R es un dominio GCD no atómico, entonces R[X] es un ejemplo de un dominio GCD que no es un dominio de factorización único (ya que no es atómico) ni un dominio Bézout (desde X y un elemento no invertible y no cero a de R generar un ideal que no contiene 1, pero 1 es sin embargo un GCD X y a); más generalmente cualquier anillo R[X₁,...X_nTiene estas propiedades.
• Un anillo monoide conmutativo R[X;S]{displaystyle R[X;S] es un dominio GCD iff R{displaystyle R. es un dominio GCD y S{displaystyle S. es un grupo GCD sin torsión. A GCD-semigroup is a semigroup with the additional property that for any a{displaystyle a} y b{displaystyle b} en el semigrupo S{displaystyle S., existe un c{displaystyle c} tales que ()a+S)∩ ∩ ()b+S)=c+S{displaystyle (a+S)cap (b+S)=c+S}. En particular, si G{displaystyle G. es un grupo abeliano, entonces R[X;G]{displaystyle R[X;G]} es un dominio GCD iff R{displaystyle R. es un dominio GCD y G{displaystyle G. es libre de torsión.
• El anillo Z[− − d]{displaystyle mathbb {Z} [{sqrt {-d}}} no es un dominio GCD para todos los enteros libres de cuadrado d≥ ≥ 3{displaystyle dgeq 3}.

Dominios G-GCD

Muchas de las propiedades del dominio MCD se trasladan a los dominios MCD generalizados, donde los ideales principales se generalizan a ideales invertibles y donde la intersección de dos ideales invertibles es invertible, de modo que el grupo de ideales invertibles forma una red. En los anillos MCD, los ideales son invertibles si y sólo si son principales, lo que significa que las operaciones MCD y LCM también pueden tratarse como operaciones sobre ideales invertibles.

Los ejemplos de dominios G-GCD incluyen dominios GCD, anillos polinomiales sobre dominios GCD, dominios de Prüfer y dominios π (dominios donde cada ideal principal es el producto de ideales primos), que generaliza la propiedad GCD de los dominios Bézout y únicos. dominios de factorización.