Dodecaedro rómbico
| Rhombic dodecahedron | |
|---|---|
 (Haga clic aquí para el modelo giratorio) | |
| Tipo | Catalán sólido |
| Coxeter diagrama |     |
| Notación de Conway | jC |
| Tipo de cara | V3.4.3.4 rhombus |
| Caras | 12 |
| Edges | 24 |
| Vertices | 14 |
| Vertices por tipo | 8{3}+6{4} |
| Grupo de simetría | Oh, B3, [4,3], (*432) |
| Grupo de rotación | O, [4,3]+, (432) |
| Ángulo Dihedral | 120° |
| Propiedades | isohedral, isotoxal, paralelohedron |
 Cuboctahedron (poliedro dual) |  Net |
En geometría, el dodecaedro rómbico es un poliedro convexo con 12 caras rómbicas congruentes. Tiene 24 aristas y 14 vértices de 2 tipos. Es un sólido catalán y el poliedro dual del cuboctaedro.
Propiedades
El dodecaedro rómbico es un zonoedro. Su dual poliédrico es el cuboctaedro. La longitud de la diagonal de la cara larga es exactamente √2 veces la longitud de la diagonal de la cara corta; por lo tanto, los ángulos agudos en cada cara miden arccos(1/< /span>3), o aproximadamente 70,53°.
Al ser el dual de un poliedro de Arquímedes, el dodecaedro rómbico es transitivo de caras, lo que significa que el grupo de simetría del sólido actúa transitivamente en su conjunto de caras. En términos elementales, esto significa que para dos caras cualesquiera A y B, hay una rotación o reflexión del sólido que lo deja ocupando la misma región del espacio mientras mueve la cara A hacia la cara B.
El dodecaedro rómbico puede verse como la cáscara convexa de la unión de los vértices de un cubo y un octaedro. Los 6 vértices donde se encuentran 4 rombos corresponden a los vértices del octaedro, mientras que los 8 vértices donde se encuentran 3 rombos corresponden a los vértices del cubo.
El dodecaedro rómbico es uno de los nueve poliedros convexos de arista transitiva, los otros son los cinco sólidos platónicos, el cuboctaedro, el icosidodecaedro y el triacontaedro rómbico.
El dodecaedro rómbico se puede utilizar para teselar espacios tridimensionales: se puede apilar para llenar un espacio, de forma muy similar a como los hexágonos llenan un plano.
Este poliedro en una teselación que llena el espacio puede verse como la teselación de Voronoi de la red cúbica centrada en las caras. Es la zona de Brillouin de cristales cúbicos centrados en el cuerpo (bcc). Algunos minerales como el granate forman un hábito cristalino dodecaédrico rómbico. Como señaló Johannes Kepler en su libro de 1611 sobre los copos de nieve (Strena seu de Nive Sexangula), las abejas melíferas utilizan la geometría de los dodecaedros rómbicos para formar panales a partir de una teselación de células, cada una de las cuales es un prisma hexagonal cubierto con medio dodecaedro rómbico. El dodecaedro rómbico también aparece en las celdas unitarias del diamante y los diamantoides. En estos casos, faltan cuatro vértices (tres vértices alternos), pero los enlaces químicos se encuentran en los bordes restantes.
La gráfica del dodecaedro rómbico no es hamiltoniana.
Un dodecaedro rómbico se puede diseccionar en 4 trapezoedros trigonales obtusos alrededor de su centro. Estos romboedros son las células de un panal trapezoédrico trigonal. Analogía: un hexágono regular se puede diseccionar en 3 rombos alrededor de su centro. Estos rombos son las tejas de un rombo.
Las colecciones del Louvre incluyen un troquel en forma de dodecaedro rómbico que data del Egipto ptolemaico. Las caras están inscritas con letras griegas que representan los números del 1 al 12: Α Β Γ Δ Ε Ϛ Z Η Θ Ι ΙΑ ΙΒ. Se desconoce la función del dado.
Dodecaedro Rhombic disecado en 4 rhombohedra
Hexagon diseccionado en 3 rhombi
Un cristal de granate
Esta animación muestra la construcción de un dodecaedro rhombic de un cubo, invirtiendo las pirámides de cara central de un cubo.
Dimensiones
Denotando por a la longitud del borde de un dodecaedro rómbico,
- el radio de su esfera inscrita (tangente a cada uno de los rostros del dodecaedro róbico) es
- ()OEIS: A157697),
- el radio de su midsphere
- ()OEIS: A179587),
- el radio de la esfera que pasa a través de las seis orden 4 vértices, pero no a través de las ocho orden 3 vértices, es
- ()OEIS: A020832),
- el radio de la esfera que pasa a través de las ocho orden 3 vértices es exactamente igual a la longitud de los lados
Área y volumen
El área de superficie A y el volumen V del dodecaedro rómbico con longitud de arista a son:
Proyecciones ortogonales
El dodecaedro rómbico tiene cuatro proyecciones ortogonales especiales a lo largo de sus ejes de simetría, centradas en una cara, una arista y los dos tipos de vértice, triple y cuádruple. Los dos últimos corresponden a los planos B2 y A2 de Coxeter.
| Projective simetría | [4] | [6] | [2] | [2] |
|---|---|---|---|---|
| Rhombic dodecahedron |  |  |  |  |
| Cuboctahedron (dual) |  |  |  |  |
Coordenadas cartesianas
 Variaciones de piritoedro entre cubo y dodecahedron rhombic |  Expansión de un dodecaedro rhombic |
Para una longitud de arista √3, los ocho vértices donde tres caras se encuentran en sus ángulos obtusos tienen coordenadas cartesianas:
- (±1, ±1, ±1)
Las coordenadas de los seis vértices donde se encuentran cuatro caras en sus ángulos agudos son:
- (±2, 0, 0), (0, ±2, 0) y (0, 0, ±2)
El dodecaedro rómbico puede verse como un caso límite degenerado de un piritoedro, con permutación de coordenadas (±1, ±1, ±1) y (0, 1 + h, 1 − h2) con parámetro h = 1.
Estas coordenadas ilustran que un dodecaedro rómbico puede verse como un cubo con una pirámide cuadrada unida a cada cara, y que las seis pirámides cuadradas podrían encajar juntas en un cubo del mismo tamaño, es decir, el dodecaedro rómbico tiene el doble de volumen. del cubo inscrito con aristas iguales a las diagonales cortas de los rombos.
Formas topológicamente equivalentes
Paraleloedro
El rhombic dodecahedron es un paraleleohedro, un poliedro que llena el espacio, dodecahedrille, siendo el dual al tetroctahedrille o medio panal cúbico, y descrito por dos diagramas de Coxeter: 
y 
. Con D3d simetría, se puede ver como un trapezohedro trigo alargado.
 El dodecaedro rhombico puede tessellate espacio por copias traduccionales de sí mismo, como puede el dodecaedro románico estelar. |  El rhombic dodecahedron se puede construir con 4 conjuntos de 6 bordes paralelos. |
Dodecaedro rómbico diédrico
Otras construcciones de simetría del dodecaedro rómbico también llenan el espacio y, como paralelotopos, son similares a variaciones de octaedros truncados que llenan el espacio.
Por ejemplo, con 4 caras cuadradas y caras rómbicas de 60 grados, y simetría diédrica D4h, orden 16. Puede verse como un cuboctaedro con pirámides cuadradas aumentadas en la parte superior e inferior..
 |  Net | Coordinaciones
|
Dodecaedro de Bilinski
 Bilinski dodecahedron con bordes y caras frontales coloreadas por sus posiciones de simetría. |  Bilinski dodecahedron coloreado por bordes paralelos |
En 1960, Stanko Bilinski descubrió un segundo dodecaedro rómbico con 12 caras de rombos congruentes, el dodecaedro de Bilinski. Tiene la misma topología pero diferente geometría. Las caras rómbicas en esta forma tienen la proporción áurea.
| Primera forma | Segunda forma |
|---|---|
|  |
| √2:1 | √5 + 1/2:1 |
Dodecaedro deltoidal
.jpg)
Otra variación topológicamente equivalente, a veces llamada dodecaedro deltoidal, es isoédrica con simetría tetraédrica de orden 24, lo que distorsiona las caras rómbicas en cometas (deltoides). Tiene 8 vértices ajustados hacia adentro o hacia afuera en conjuntos alternos de 4, con el caso límite una envoltura tetraédrica. Las variaciones se pueden parametrizar mediante (a,b), donde b y a dependen entre sí de modo que la El tetraedro definido por los cuatro vértices de una cara tiene volumen cero, es decir, es una cara plana. (1,1) es la solución rómbica. A medida que a se acerca a 1/2, b tiende al infinito. Siempre se cumple que 1/a + 1/b = 2, con a, b > 1/ 2.
- (±2, 0, 0), (0, ±2, 0), (0, 0, ±2)
- ()a, a, a), (-a, −a, a), (-a, a, −a), (a, −a, −a)
- () -b, −b, −b), (-b, b, b), (b, −b, b), (b, b, −b)
| (1,1) | ()7/8,7/6) | ()3/4,3/2) | ()2/3,2) | ()5/8,5/2) | ()9/16,9/2) |
|---|---|---|---|---|---|
 |  |  |  |  |  |
Poliedros relacionados
| Uniform octaedral polyhedra | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Simetría: [4,3], (*432) | [4,3]+ (432) | [1]+,4,3] = [3,3] (*332) | [3]+4] (3*2) | |||||||
| {4,3} | t{4,3} | r{4,3} r{31.1} | t{3,4} t{31.1} | {3,4} {3}1.1} | rr{4,3} s2{3,4} | tr{4,3} | sr{4,3} | h{4,3} {3,3} | h2{4,3} t{3,3} | S{3,4} s{31.1} |
 | | | | | | |  | | ||
 =  | = | = | |  = o  | = o | = | ||||
 |  |   |   |   |   |  |  |   |   |   |
| Duals to uniform polyhedra | ||||||||||
| V43 | V3.82 | V(3.4)2 | V4.62 | V34 | V3.43 | V4.6.8 | V34.4 | V33 | V3.62 | V35 |
| | | | | | |  | | | |
| | | | | | | ||||
 |  | |  |  |  |  |  |  |  |  |
Cuando se proyecta sobre una esfera (ver a la derecha), se puede ver que los bordes forman los bordes de dos tetraedros dispuestos en sus posiciones duales (la stella octangula). Esta tendencia continúa con el icositetraedro deltoidal y el hexecontaedro deltoidal para los pares duales de los otros poliedros regulares (junto con la bipirámide triangular si se deben considerar mosaicos inadecuados), dando a esta forma el nombre sistemático alternativo de dodecaedro deltoidal.
| Simmetría *n32 [n,3] | Spherical | Euclid. | Hiperb compacto. | Paraco. | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| *232 [2,3] | *332 [3,3] | *432 [4,3] | *532 [5,3] | *632 [6,3] | *732 [7,3] | *832 [8,3]... | *∞32 [∞,3] | |
| Gráfico Config. |  V3.4.2.4 | V3.4.3.4 |  V3.4.4.4 |  V3.4.5.4 |  V3.4.6.4 |  V3.4.7.4 |  V3.4.8.4 |  V3.4.∞.4 |
Este poliedro es parte de una secuencia de poliedros rómbicos y mosaicos con simetría de grupo Coxeter [n,3]. El cubo puede verse como un hexaedro rómbico donde los rombos son cuadrados.
| mutaciones de la simetría de los azulejos cuasiregulares duales: V(3.n)2 | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| *n32 | Spherical | Euclidean | Hiperbólico | ||||||||
| *332 | *432 | *532 | *632 | *732 | *832... | *∞32 | |||||
| Tiling |  | |  |  |  |  |  | ||||
| Conf. | V(3.3)2 | V(3.4)2 | V(3.5)2 | V(3.6)2 | V(3.7)2 | V(3.8)2 | V(3.∞)2 | ||||
| *n42 mutaciones de simetría de los azulejos dobles cuasiregulares: V(4.n)2 | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Simmetría *4n2 [n,4] | Spherical | Euclidean | Hiperbólico compacto | Paracompactar | Noncompact | ||||||
| *342 [3,4] | *442 [4,4] | *542 [5,4] | *642 [6,4] | *742 [7,4] | *842 [8,4]... | * [∞,4] | [iπ/λ,4] | ||||
| Tiling Conf. | V4.3.4.3 |  V4.4.4.4 |  V4.5.4.5 |  V4.6.4.6 |  V4.7.4.7 |  V4.8.4.8 |  V4.∞.4. | V4.∞.4. | |||
De manera similar se relaciona con la serie infinita de mosaicos con las configuraciones de caras V3.2n.3.2n, la primera en el plano euclidiano, y el resto en el plano hiperbólico.
 V3.4.3.4 (Drawn como una red) |  V3.6.3.6 Plano eucaclidiano Tiro de rizo |  V3.8.3.8 Tiquete de avión hiperbólico (Desenvainado en un modelo de disco Poincaré) |
Estelaciones
Como muchos poliedros convexos, el dodecaedro rómbico se puede estrellar extendiendo las caras o aristas hasta que se juntan para formar un nuevo poliedro. Dorman Luke ha descrito varias de estas estelaciones.
La primera estelación, a menudo llamada simplemente dodecaedro rómbico estrellado, es bien conocida. Puede verse como un dodecaedro rómbico con cada cara aumentada al unirle una pirámide de base rómbica, con una altura de pirámide tal que los lados se encuentran en los planos de las caras vecinas:
La primera estelación del dodecaedro róbico
Modelo 3D de descomposición en 12 pirámides y 4 semi-cubos
Lucas describe cuatro estelaciones más: la segunda y tercera estelaciones (que se expanden hacia afuera), una formada quitando la segunda de la tercera, y otra agregando el dodecaedro rómbico original al anterior.
| Segundo | Tercera |
|---|---|
 Gran dodecahedron rhombic estelar |  Dodecaedro románico estelar |
Politopos relacionados
El dodecaedro rómbico forma el casco de la proyección del primer vértice de un teseracto a tres dimensiones. Hay exactamente dos formas de descomponer un dodecaedro rómbico en cuatro romboedros congruentes, dando ocho posibles romboedros como proyecciones de los teseractos de 8 celdas cúbicas. Un conjunto de vectores proyectivos son: u = (1,1,−1,−1), v = (−1,1,−1,1), < i>w = (1,−1,−1,1).
El dodecaedro rómbico forma la sección transversal máxima de un cuerpo de 24 celdas y también forma el casco de su proyección paralela del primer vértice en tres dimensiones. El dodecaedro rómbico se puede descomponer en seis bipirámides cuadradas congruentes (pero no regulares) que se reúnen en un solo vértice en el centro; estos forman las imágenes de seis pares de células octaédricas de 24 células. Las 12 células octaédricas restantes se proyectan sobre las caras del dodecaedro rómbico. La falta de regularidad de estas imágenes se debe a una distorsión proyectiva; las facetas de las 24 celdas son octaedros regulares en 4 espacios.
Esta descomposición proporciona un método interesante para construir el dodecaedro rómbico: cortar un cubo en seis pirámides cuadradas congruentes y unirlas a las caras de un segundo cubo. Las caras triangulares de cada par de pirámides adyacentes se encuentran en el mismo plano y, por tanto, se fusionan formando rombos. Las 24 celdas también se pueden construir de forma análoga utilizando dos teseractos.
Uso práctico
En el diseño de las ruedas de reacción de las naves espaciales, se utiliza habitualmente una configuración tetraédrica de cuatro ruedas. Para ruedas que funcionan por igual (desde el punto de vista del par máximo y del momento angular máximo) en ambas direcciones de giro y en las cuatro ruedas, las envolventes de par máximo y momento máximo para el sistema de control de actitud de 3 ejes (considerando actuadores idealizados) se obtienen proyectando el teseracto que representa los límites del par o impulso de cada rueda en el espacio 3D a través de la matriz 3 × 4 de ejes de rueda; el poliedro 3D resultante es un dodecaedro rómbico. Tal disposición de ruedas de reacción no es la única configuración posible (una disposición más simple consiste en tres ruedas montadas para girar alrededor de ejes ortogonales), pero es ventajosa porque proporciona redundancia para mitigar el fallo de una de las cuatro ruedas (con un rendimiento general degradado). disponible en las tres ruedas activas restantes) y en proporcionar una envoltura más convexa que un cubo, lo que conduce a una menor dependencia de la agilidad en la dirección del eje (desde el punto de vista del actuador/planta). Las propiedades de masa de la nave espacial influyen en el impulso y la agilidad general del sistema, por lo que una menor variación en el límite de la envolvente no conduce necesariamente a una mayor uniformidad en los sesgos de los ejes preferidos (es decir, incluso con un límite de rendimiento perfectamente distribuido dentro del subsistema actuador, los ejes de rotación preferidos no son necesariamente arbitrarios). a nivel del sistema).
El poliedro es también la base de la cuadrícula HEALPix, utilizada en cosmología para almacenar y manipular mapas del fondo cósmico de microondas, y en gráficos por computadora para almacenar mapas ambientales.
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