Doble subasta

Una subasta doble o doble subasta es un proceso de compra y venta de bienes con múltiples vendedores y múltiples compradores. Los compradores potenciales presentan sus ofertas y los vendedores potenciales presentan sus precios de venta a la institución del mercado, y luego la institución del mercado elige algún precio p que equilibra el mercado: todos los vendedores que pidieron menos de p venden y todos los compradores que ofertaron más de p compran en este precio p. También se incluyen los compradores y vendedores que ofertan o piden exactamente p. Un ejemplo común de subasta doble es la bolsa de valores.

Además de su interés directo, las subastas dobles recuerdan a la subasta walrasiana y se han utilizado como herramienta para estudiar la determinación de los precios en los mercados ordinarios. También es posible una subasta doble sin ningún intercambio de divisas en el comercio de trueque. Una subasta doble de trueque es una subasta en la que cada participante tiene una demanda y una oferta que consta de múltiples atributos y no hay dinero involucrado. Para el modelado matemático del nivel de satisfacción se utiliza la distancia euclidiana, donde la oferta y la demanda se tratan como vectores.

Un ejemplo simple de una subasta doble es un escenario de comercio bilateral, en el que hay un solo vendedor que valora su producto como S (por ejemplo, el costo de producir el producto) y un solo comprador que valora ese producto como B.

Análisis Economico

Desde la perspectiva de un economista, el problema interesante es encontrar un equilibrio competitivo, una situación en la que la oferta sea igual a la demanda.

En el escenario de comercio bilateral simple, si B ≥ S entonces cualquier precio en el rango [ S, B ] es un precio de equilibrio, ya que tanto la oferta como la demanda son iguales a 1. Cualquier precio por debajo de S no es un precio de equilibrio ya que hay un exceso de demanda, y cualquier precio por encima de B no es un precio de equilibrio ya que hay un exceso de oferta. Cuando B < S, cualquier precio en el rango (B, S) es un precio de equilibrio, ya que tanto la oferta como la demanda son iguales a 0 (el precio es demasiado alto para el comprador y demasiado bajo para el vendedor).

En una subasta doble más general, en la que hay muchos vendedores, cada uno de los cuales tiene una sola unidad y muchos compradores, cada uno de los cuales quiere una sola unidad, se puede encontrar un precio de equilibrio utilizando el ordenamiento natural de los compradores y vendedores:

Ordenamiento natural

• Ordene a los compradores en orden decreciente de su oferta: b ₁ ≥ b ₂ ≥...≥ b _n.
• Ordene a los vendedores en orden creciente de su oferta: s ₁ ≤ s ₂ ≤...≤ s _n.
• Sea k el índice más grande tal que b _k ≥ s _k (el "índice de equilibrio").

Todo precio en el rango [max(s _k, b _k+1),min(b _k, s _k+1)] es un precio de equilibrio, ya que tanto la demanda como la oferta son k. Es más fácil ver esto considerando el rango de precios de equilibrio en cada uno de los 4 casos posibles (nótese que por definición de k, b _k+1 < s _k+1):

	sk + 1 > bk	s k+1 ≤ segundo k
segundo k+1 < s k	[ s k, b k ]	[ s k, s k+1 ]
segundo k+1 ≥ s k	[ segundo k+1, segundo k ]	[ segundo k+1, s k+1 ]

Análisis de teoría de juegos

Una subasta doble puede analizarse como un juego. Los jugadores son compradores y vendedores. Sus estrategias son ofertas para compradores y precios de venta para vendedores (que dependen de las valoraciones de compradores y vendedores). Los pagos dependen del precio de la transacción (determinado por el subastador) y la valoración de un jugador. El problema interesante es encontrar un equilibrio de Nash, una situación en la que ningún comerciante tiene un incentivo para cambiar unilateralmente su precio de oferta/demanda.

Considere el escenario de comercio bilateral, en el que el comprador presenta una oferta de b y el vendedor presenta s.

Supongamos que un subastador fija el precio de la siguiente manera:

• Si s > b, entonces no ocurre ningún intercambio (el vendedor quiere más de lo que paga el comprador);
• Si s ≤ b entonces p =(b + s)/2.

La utilidad del comprador es:

• 0 si s > b;
• Bp si s ≤ b (donde B es el verdadero valor del comprador).

La utilidad del vendedor es:

• 0 si s > b;
• pS si s ≤ b (donde S es el verdadero valor del vendedor).

En un caso de información completa cuando las valoraciones son de conocimiento común para ambas partes, se puede demostrar que el continuo de equilibrios de Nash eficientes en estrategia pura existe con Esto significa que, si B>S, no habrá equilibrio en el que ambos jugadores declaren su valores verdaderos: el comprador podrá ganar declarando un valor más bajo, o el vendedor podrá ganar declarando un valor más alto.

En un caso de información incompleta (información asimétrica), un comprador y un vendedor solo conocen sus propias valoraciones. Suponga que estas valoraciones se distribuyen uniformemente en el mismo intervalo. Entonces se puede demostrar que tal juego tiene un equilibrio bayesiano de Nash con estrategias lineales. Es decir, existe un equilibrio cuando las ofertas de ambos jugadores son algunas funciones lineales de sus valoraciones. También trae mayores ganancias esperadas para los jugadores que cualquier otro equilibrio bayesiano de Nash (ver el teorema de Myerson-Satterthwaite).

Diseño del mecanismo

¿Cómo debe determinar el subastador el precio de negociación? Un mecanismo ideal cumpliría las siguientes propiedades:

1. Racionalidad Individual (RI): ninguna persona debe perder por unirse a la subasta. En particular, para todo comprador comercial: p ≤ B, y para todo vendedor comercial: p ≥ S.

2. El presupuesto equilibrado (BB) viene en dos sabores:

• Presupuesto equilibrado fuerte (SBB): todas las transferencias monetarias deben realizarse entre compradores y vendedores; el subastador no debe perder ni ganar dinero.
• Presupuesto equilibrado débil (WBB): el subastador no debe perder dinero, pero puede ganarlo.

3. Veracidad (TF), también llamada compatibilidad de incentivos (IC) o prueba de estrategia: también viene en dos sabores (cuando TF sin calificar generalmente significa la versión más fuerte):

• La noción más fuerte es la compatibilidad de incentivos de estrategia dominante (DSIC), lo que significa que informar el valor real debe ser una estrategia dominante para todos los jugadores. Es decir, un jugador no debería poder ganar espiando a otros jugadores y tratando de encontrar una declaración 'óptima' que sea diferente de su valor real, independientemente de cómo jueguen los otros jugadores.
• La noción más débil es la compatibilidad de incentivos de equilibrio de Nash (NEIC), lo que significa que existe un equilibrio de Nash en el que todos los jugadores informan sus valoraciones reales. Es decir, si todos los jugadores menos uno son veraces, es mejor que el jugador restante también sea veraz.

4. Eficiencia económica (EE): el bienestar social total (la suma de los valores de todos los jugadores) debe ser el mejor posible. En particular, esto significa que, después de que se haya completado todo el comercio, los artículos deben estar en manos de aquellos que más los valoran.

Desafortunadamente, no es posible lograr todos estos requisitos en el mismo mecanismo (ver el teorema de Myerson-Satterthwaite). Pero hay mecanismos que satisfacen algunos de ellos.

Mecanismo promedio

El mecanismo descrito en el apartado anterior se puede generalizar a n jugadores de la siguiente forma.

• Ordene a los compradores y vendedores en el ordenamiento Natural y encuentre el índice de equilibrio k.
• Establezca el precio en el promedio de los k -ésimos valores: p =(b _k + s _k)/2.
• Que los primeros k vendedores vendan el bien a los primeros k compradores.

Este mecanismo es:

• IR - porque por orden, los primeros k jugadores valoran cada artículo como mínimo p y los primeros k vendedores valoran cada artículo como máximo p.
• BB - porque todas las transferencias monetarias son entre compradores y vendedores.
• EE - porque los n elementos están en manos de los n jugadores que más los valoran.
• No FT, porque el comprador k tiene un incentivo para reportar un valor más bajo y el vendedor k tiene un incentivo para reportar un valor más alto.

Mecanismo VCG

Un mecanismo VCG es un mecanismo genérico que optimiza el bienestar social al mismo tiempo que logra la veracidad. Lo hace haciendo pagar a cada agente por el "daño" que sus deseos causan a la sociedad.

En el entorno comercial bilateral simple, esto se traduce en el siguiente mecanismo:

• Si b ≤ s entonces no se realiza ningún intercambio y el producto permanece con el vendedor;
• Si b > s entonces el producto va al comprador, el comprador paga s y el vendedor recibe b.

Este mecanismo es:

• IR, ya que el comprador paga menos de su valor y el vendedor recibe más de su valor.
• FT, ya que el precio pagado por el comprador lo determina el vendedor y viceversa. Cualquier intento de informar incorrectamente hará que la utilidad del informador incorrecto sea cero o negativa.
• EE, porque el producto va para quien más lo valora.
• No BB, porque el subastador tiene que pagar b - s. El subastador en realidad tiene que subsidiar el comercio.

En el escenario general de doble subasta, el mecanismo ordena a los compradores y vendedores en el ordenamiento Natural y encuentra el índice de equilibrio k. Luego, los primeros k vendedores entregan el artículo a los primeros k compradores. Cada comprador paga el precio de equilibrio más bajo max(s _k, b _k+1), y cada vendedor recibe el precio de equilibrio más alto min(b _k, s _k+1), como en la siguiente tabla:

	sk + 1 > bk	s k+1 ≤ segundo k
segundo k+1 < s k	Cada comprador paga s k y cada vendedor recibe b k	Cada comprador paga s k y cada vendedor recibe s k+1
segundo k+1 ≥ s k	Cada comprador paga b k+1 y cada vendedor recibe b k	Cada comprador paga b k+1 y cada vendedor recibe s k+1

Similar al escenario de comercio bilateral, el mecanismo es IR, TF y EE (optimiza el bienestar social), pero no es BB - el subastador subsidia el comercio.

El teorema de la unicidad de los precios implica que este problema de los subsidios es inevitable: cualquier mecanismo veraz que optimice el bienestar social tendrá los mismos precios (hasta una función independiente de los precios de compra/venta de cada comerciante). Si queremos mantener la veracidad del mecanismo sin tener que subsidiar el comercio, debemos comprometer la eficiencia e implementar una función de bienestar social menos que óptima.

Mecanismo de reducción del comercio

El siguiente mecanismo renuncia a un solo trato para mantener la veracidad:

• Ordene a los compradores y vendedores en el ordenamiento Natural y encuentre el índice de equilibrio k.
• Los primeros k -1 vendedores entregan el artículo y reciben s _k del subastador;
• Los primeros k -1 compradores reciben el artículo y pagan b _k al subastador.

Este mecanismo es:

• IR, como antes.
• TF: los primeros k -1 compradores y vendedores no tienen ningún incentivo para cambiar su declaración ya que esto no tendrá efecto en su precio; el k -ésimo comprador y vendedor no tienen ningún incentivo para cambiar ya que de todos modos no comercian, y si entran en el comercio (p. ej., b _k aumenta su declaración por encima de b _{k -1}), su beneficio del comercio será negativo.
• No BB, porque el subastador se queda con un excedente de (k -1)(b _k - s _k). (sin embargo, se considera débilmente equilibrado en el presupuesto, ya que el subastador al menos no tiene que subsidiar el comercio sino que se queda con un superávit).
• No EE, porque b _k y s _k no comercian, aunque el comprador k valora el artículo más que el vendedor k.

Si tratáramos de hacer eficiente este mecanismo dejando que el k -ésimo comprador y el vendedor comerciaran, esto lo haría falso porque entonces tendrían un incentivo para cambiar sus precios.

Aunque el bienestar social no es óptimo, es casi óptimo, ya que el trato prohibido es el trato menos favorable. Por lo tanto, la ganancia del comercio es al menos óptima.

Tenga en cuenta que en el entorno de comercio bilateral, k = 1 y renunciamos al único trato eficiente, por lo que no hay comercio en absoluto y la ganancia del comercio es 0. Esto está de acuerdo con el teorema de Myerson-Satterthwaite.

El mecanismo de reducción del comercio puede generalizarse a un mercado distribuido espacialmente, es decir, los compradores y vendedores se encuentran en varios lugares diferentes, y es posible que algunas unidades del bien deban transportarse entre estos lugares. El costo de transporte se suma así al costo de producción de los vendedores.

Mecanismo de McAfee

El siguiente mecanismo es una variación del mecanismo de reducción del comercio:

• Ordene a los compradores y vendedores en el ordenamiento Natural y encuentre el índice de equilibrio k.
• Calcula: p =(b _{k +1} + s _{k +1})/2.
• Si b _k ≥ p ≥ s _k, entonces los primeros k compradores y vendedores intercambian el bien al precio p.
• De lo contrario, los primeros k -1 vendedores negocian por s _k y los primeros k -1 compradores negocian por b _k como en el mecanismo de reducción del comercio.

De manera similar al mecanismo de reducción del comercio, este mecanismo es IR, TF, no BB (en el segundo caso) y no EE (en el segundo caso). Suponiendo que los valores de los compradores y vendedores están todos acotados por encima de cero, es posible demostrar que la pérdida de eficiencia comercial está acotada por 1/min (número de compradores, número de vendedores).

Mecanismos de reducción probabilística

Dado un p ∈[0,1], después de presentar las ofertas, utilice el mecanismo de reducción de comercio con probabilidad p y el mecanismo VCG con probabilidad 1- p. Este mecanismo hereda todas las propiedades de sus padres, es decir, es IR y TF. El parámetro p controla la compensación entre EE y BB:

• La pérdida de ganancia del comercio es 0 (logrado por VCG) o 1/ k (logrado por reducción del comercio); por lo tanto, la pérdida esperada en la ganancia del comercio es como máximo: p / k.
• El excedente del subastador es negativo (en el caso de VCG) o positivo (en el caso de reducción del comercio); por tanto, el superávit esperado es p *(superávit-en-reducción-del-comercio)-(1- p)*(déficit-en-VCG). Si los valores de los comerciantes provienen de una distribución conocida, se puede seleccionar p tal que el excedente esperado sea 0, es decir, el mecanismo es BB ex-ante.

En una variante de este mecanismo, después de que se presentan las ofertas, los k -1 vendedores baratos comercian con los k -1 compradores caros; cada uno de ellos recibe/paga el pago esperado del mecanismo original, es decir, cada comprador paga y cada vendedor recibe . Entonces, con probabilidad p, el comprador k paga y compra el bien al vendedor k que recibe. Al igual que la primera variante, esta variante es IR y tiene la misma eficiencia y superávit esperados. Su ventaja es que "oculta" su carácter aleatorio a casi todos los comerciantes. La desventaja es que ahora el mecanismo es veraz solo ex-ante; es decir, un comerciante neutral al riesgo no puede ganar en expectativa informando mal su valor, pero después de conocer los resultados del lote, puede arrepentirse de no informar lo contrario.

Comparación

(capítulo 4) proporcionan tanto una comparación teórica como una comparación empírica de los diversos mecanismos.

Subastas dobles en una cadena de suministro

El modelo básico de doble subasta implica un mercado único. Puede ampliarse para gestionar una cadena de suministro, una cadena de mercados en la que los compradores de un mercado se convierten en vendedores en el mercado siguiente. Por ejemplo, los agricultores venden frutas en el mercado de frutas; los fabricantes de jugo compran frutas en el mercado de frutas, hacen jugo y lo venden en el mercado de jugos a los consumidores.

El modelo se puede ampliar aún más para manejar los mercados en un gráfico acíclico dirigido arbitrariamente.

Enfoque modular

Dütting, Roughgarden y Talgam-Cohen propusieron recientemente un enfoque modular para el diseño de subastas dobles. Este marco considera que las subastas dobles se componen de algoritmos de clasificación para cada lado del mercado y una regla de composición, y se pueden aplicar a mercados complejos. Una consecuencia inmediata de este marco es que los mecanismos clásicos de doble subasta, como el mecanismo de reducción del comercio, no solo son a prueba de estrategias, sino también débilmente a prueba de estrategias grupales (lo que significa que ningún grupo de compradores y vendedores puede beneficiarse de un informe erróneo conjunto de sus preferencias).