Subasta de oferta sellada al primer precio

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Una subasta de oferta sellada de primer precio (FPSBA, First-price sealed-bid auction) es un tipo común de subasta. También se conoce como subasta a ciegas. En este tipo de subasta, todos los postores presentan simultáneamente ofertas en sobre cerrado para que ningún postor conozca la oferta de ningún otro participante. El mejor postor paga el precio que se presentó.

Análisis estratégico

En una FPSBA, cada postor se caracteriza por su valoración monetaria del artículo en venta.

Supongamos que Alice es una postor y su valoración es $a$ . Entonces, si Alicia es racional:

Nunca ofertará más que $a$ , porque ofertar más que $a$ solo puede hacer que pierda valor neto.
Si ella hace una oferta exactamente $a$ , entonces no perderá pero tampoco ganará ningún valor positivo.
Si ofrece menos de $a$ , entonces puede tener alguna ganancia positiva, pero la ganancia exacta depende de las ofertas de los demás.

A Alicia le gustaría ofertar la cantidad más pequeña que pueda hacerla ganar el artículo, siempre que esta cantidad sea menor que $a$ . Por ejemplo, si hay otro postor, Bob, y él ofrece $y$ y ${ estilo de visualización y <a}$ , entonces a Alicia le gustaría ofertar ${displaystyle y+varepsilon}$ (dónde $varepsilon$ está la cantidad más pequeña que se puede agregar, por ejemplo, un centavo).

Desafortunadamente, Alice no sabe lo que van a ofertar los otros postores. Además, ni siquiera conoce las valoraciones de los otros postores. Por lo tanto, estratégicamente, tenemos un juego bayesiano, un juego en el que los agentes no conocen los pagos de los otros agentes.

El desafío interesante en este juego es encontrar un equilibrio bayesiano de Nash. Sin embargo, esto no es fácil incluso cuando solo hay dos postores. La situación es más sencilla cuando las valoraciones de los postores son variables aleatorias iid, es decir, existe una distribución previa conocida y las valoraciones de los postores se extraen todas de la misma distribución.

Ejemplo

Supongamos que hay dos postores, Alice y Bob, cuyas valoraciones $a$ y $b$ se extraen de una distribución uniforme continua en el intervalo [0,1]. Entonces, es un equilibrio Bayesiano-Nash cuando cada postor ofrece exactamente la mitad de su valor: Alice ofrece ${ estilo de visualización a/2}$ y Bob ofrece ${ estilo de visualización b/2}$ .

PRUEBA: La prueba toma el punto de vista de Alicia. Suponemos que ella sabe que Bob hace una oferta ${ estilo de visualización f (b) = b/2}$ , pero no lo sabe $b$ . Encontramos la mejor respuesta de Alice a la estrategia de Bob. Supongamos que Alice hace una oferta $X$ . Hay dos casos:

${displaystyle xgeq f(b)}$ . Entonces Alice gana y disfruta de una ganancia neta de ${displaystyle hacha}$ . Esto sucede con probabilidad ${ estilo de visualización f ^ {-1} (x) = 2x}$ .
${ estilo de visualización x <f (b)}$ . Entonces Alice pierde y su ganancia neta es 0. Esto sucede con probabilidad ${ estilo de visualización 1-f^{-1} (x)}$ .

Considerándolo todo, la ganancia esperada de Alice es: ${displaystyle G(x)=f^{-1}(x)cdot (ax)}$ . La ganancia máxima se alcanza cuando ${displaystyle G'(x)=0}$ . La derivada es (ver Funciones inversas y derivación): ${displaystyle G'(x)=-f^{-1}(x)+(ax)cdot {1 over f'(f^{-1}(x))}}$

y es cero cuando la oferta de Alice $X$ satisface: ${displaystyle f^{-1}(x)=(ax)cdot {1 over f'(f^{-1}(x))}}$

Ahora, dado que estamos buscando un equilibrio simétrico, también queremos que la oferta de Alice sea $X$ igual a $fa)$ . Entonces tenemos: ${displaystyle f^{-1}(f(a))=(af(a))cdot {1 over f'(f^{-1}(f(a)))}}$ ${displaystyle a=(af(a))cdot {1 over f'(a)}}$ ${ Displaystyle af'(a)=(af(a))}$

La solución de esta ecuación diferencial es: ${ estilo de visualización f (a) = a/2}$ .

Generalización

Denotamos por:

$v_{i}$ - la valoración del licitador $i$ ;
$y_{yo}$ - la valoración máxima de todos los licitadores excepto $i$ , es decir, ${displaystyle y_{i}=max _{jneq i}{v_{j}}}$ .

Entonces, una FPSBA tiene un BNE simétrico único en el que la oferta del jugador $i$ viene dada por: ${displaystyle E[y_{i}|y_{i}<v_{i}]}$

Variante compatible con incentivos

El FPSBA no es compatible con los incentivos ni siquiera en el sentido débil de la compatibilidad de incentivos bayesiano-nash (BNIC), ya que no existe un equilibrio bayesiano-nash en el que los postores informen su valor real.

Sin embargo, es fácil crear una variante de FPSBA que sea BNIC, si los antecedentes sobre las valoraciones son de conocimiento común. Por ejemplo, para el caso de Alice y Bob descrito anteriormente, las reglas de la variante BNIC son:

El mejor postor gana;
El mejor postor paga la mitad de su oferta.

En efecto, esta variante simula las estrategias de equilibrio Bayesiano-Nash de los jugadores, por lo que en el equilibrio Bayesiano-Nash, ambos postores ofertan su verdadero valor.

Este ejemplo es un caso especial de un principio mucho más general: el principio de la revelación.

Comparación con la subasta de segundo precio

La siguiente tabla compara la FPSBA con la subasta de segundo precio de oferta sellada (SPSBA):

Subasta:	Primer precio	segundo precio
Ganador:	Agente con la oferta más alta	Agente con la oferta más alta
El ganador paga:	oferta del ganador	Segunda oferta más alta
El perdedor paga:	0	0
estrategia dominante:	Sin estrategia dominante	Ofertar con sinceridad es la estrategia dominante
Equilibrio bayesiano de Nash	$i$ Ofertas del postor ${displaystyle {frac{n-1}{n}}v_{i}}$	El postor $i$ hace una oferta veraz $v_{i}$
Ingresos del subastador	${displaystyle {frac {n-1}{n+1}}}$	${displaystyle {frac {n-1}{n+1}}}$

Los ingresos del subastador se calculan en el caso del ejemplo, en el que las valoraciones de los agentes se extraen de forma independiente y uniforme al azar de [0,1]. A modo de ejemplo, cuando hay $n=2$ agentes:

En una subasta al primer precio, el subastador recibe el máximo de las dos ofertas de equilibrio, que es ${ estilo de visualización max (a/2, b/2)}$ .
En una subasta de segundo precio, el subastador recibe el mínimo de las dos ofertas verdaderas, que es ${ estilo de visualización min (a, b)}$ .

En ambos casos, el ingreso esperado del subastador es 1/3.

El hecho de que el ingreso sea el mismo no es una coincidencia, es un caso especial del teorema de equivalencia del ingreso. Esto se cumple solo cuando las valoraciones de los agentes son estadísticamente independientes; cuando las valoraciones son dependientes, tenemos una subasta de valor común, y en este caso, los ingresos en una subasta de segundo precio suelen ser más altos que en una subasta de primer precio.

El artículo en venta no podrá venderse si la oferta final no es lo suficientemente alta para satisfacer al vendedor, es decir, el vendedor se reserva el derecho de aceptar o rechazar la oferta más alta. Si el vendedor anuncia a los postores el precio de reserva, se trata de una subasta pública de precio de reserva. Por el contrario, si el vendedor no anuncia el precio de reserva antes de la venta sino sólo después de la venta, se trata de una subasta secreta de precio de reserva.

Comparación con otras subastas

Una FPSBA se diferencia de la subasta inglesa en que los postores solo pueden presentar una oferta cada uno. Además, como los postores no pueden ver las ofertas de otros participantes, no pueden ajustar sus propias ofertas en consecuencia.

Se ha argumentado que FPSBA es estratégicamente equivalente a la subasta holandesa.

Lo que efectivamente son FPSBA se denominan comúnmente licitaciones para adquisiciones por parte de empresas y organizaciones, particularmente para contratos gubernamentales y subastas para arrendamientos mineros. Se cree que FPSBA conduce a bajos costos de adquisición a través de la competencia y baja corrupción a través de una mayor transparencia, aunque pueden implicar un costo adicional ex post más alto del proyecto completado y tiempo adicional para completarlo.

Una subasta generalizada de primer precio es un mecanismo de subasta no veraz para la búsqueda patrocinada (también conocida como subasta de posición).

Una generalización de las subastas de primer y segundo precio es una subasta en la que el precio es una combinación convexa del primer y segundo precio.